内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含详解）含答案解析

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含详解）含答案解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．命题“，”的否定是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
5．已知在上是减函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知实数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．设函数，则（ ）
A．是偶函数B．在区间上单调递减
C．最大值为2D．其图象关于点对称
11．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象向左平移个单位长度后得到函数
C．的图象关于直线对称
D．若方程在上有且只有6个根，则
三、填空题
12．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ．
13．已知函数在区间上有且仅有两个零点，则的最大值是
14．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则 （用表示），由可以得出的关于的不等式为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的最小正周期，对称中心坐标和的单调递减区间；
(2)当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
16．（1）已知，试比较与的大小．
（2）已知命题，命题，其中．当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17．已知集合，，回答下列问题：
(1)设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若不存在实数使且同时成立，求实数的取值范围.
18．已知函数的最大值为3．
(1)若的定义域为，求的单调递增区间；
(2)若，求的值．
19．根据要求完成下列问题：
(1)若、、．
①求证：；
②求证：；
③在②中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由．
(2)设x、，求证：成立的充要条件是.
1．B
根据给定条件，利用交集的定义求解即得.
【详解】由集合，得.
故选：B
2．C
根据全称量词命题的否定定义即可求解.
【详解】命题“，”中含有全称量词，
故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，
所以该命题的否定为：“，”.
故选：C.
3．D
将条件式弦化切结合角范围求得，利用二倍角正切公式求解.
【详解】依题意得，解得或3.
因为，所以，
所以.
故选：D.
4．A
根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：A
5．D
根据分段函数、一次函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数在上是减函数，
则函数在上为减函数，则，可得，
函数在上为减函数，则，
且有，解得.
综上所述，.
故选：D.
6．D
根据并集的定义求解即可.
【详解】由集合，，得.
故选：D.
7．B
先求函数的定义域，定义域不同则不是同一个函数，定义域相同再看对应关系是否相同，对应关系相同则是同一个函数，对应关系不同则不是同一个函数.
【详解】对于A，和定义域均为R， ，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为，定义域为R，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为R，定义域为，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误；
故选：B.
8．D
利用存在量词命题的否定直接判断即可.
【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以所求否定是“”．
故选：D
9．BCD
利用举实例判断A选项，利用不等式的基本性质判断B选项，利用作差法比较大小判断C，D选项．
【详解】解：因为，所以
选项A，当，，时，则，故A错误；
选项B，由于，所以，则，故B正确；
选项C，因为，所以，则，则，故C正确；
选项D，，，，，故D正确.
故选：BCD．
10．ABD
A选项，利用辅助角公式得到，利用函数奇偶性定义得到A正确；B选项，根据在上的单调性得到B正确；C选项，在A选项基础上得到最大值；D选项，代入得到，D正确.
【详解】A选项，
，
由于定义域为R，且，
故为偶函数，A正确；
B选项，时，，
由于在上单调递减，故在上单调递减，B正确；
C选项，的最大值为，C错误；
D选项，当时，，故图象关于点对称，D正确.
故选：ABD
11．ACD
根据图象得到 再由得到，然后由的图象过点求得解析式后逐项判断.
【详解】由图象得，，而，则，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，
因此，A正确；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是：
，非奇非偶函数，B错误；
，C正确；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：ACD.
12．
【解析】由扇形的面积公式直接求解.
【详解】由扇形面积公式，
可得圆心角，
故答案为：.
13．/
先利用辅助角公式化简题中函数，再结合的范围及正弦函数的性质即可得解.
【详解】因为，
则由，得，
因为函数在区间上恰有两个零点，
所以，解得，
所以的最大值是.
故答案为：.
14． （也可以写作）
确定，根据线段间的关系计算，确定，根据得到不等式.
【详解】，，
，
由可得，即．
故答案为：；
15．(1)，对称中心为，单调递减区间
(2)最小值为，
（1）根据二倍角的正弦公式，余弦公式，辅助角公式化简函数解析式；利用周期公式求周期，利用整体思想，结合正弦函数的性质依次求对称中心坐标和单调递减区间即可；
（2）由自变量的取值范围确定变量的取值范围，利用正弦函数的性质，即可求最小值和取得最小值时x的值.
【详解】（1）
，
所以，函数的最小正周期为.
由，解得，
所以函数的对称中心为；
由，解得.
所以函数的单调递减区间为.
（2）当时，，
当，即时，函数取得最小值，最小值为．
16．（1） ；（2） ．
（1）利用作差法判断即可；
（2）首先求出命题、所对应的不等式的解集，即可得到是的真子集，从而得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）
，
；
（2），
，
，解得，
命题对应不等式的解集为；
又，
，
当时，不等式的解集为，
命题对应不等式的解集为，
当时，若是的必要不充分条件，
即是的真子集，
，，即.
17．(1)
(2)或
(3)或
（1）首先解一元二次不等式求出集合，即可求出，依题意真包含于，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围；
（3）依题意，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围.
【详解】（1）由，即，解得或，
所以或，
所以，
即命题，
又命题，且是成立的充分不必要条件，即推得出，推不出，
所以真包含于，又，所以，解得，
即实数的取值范围为；
（2）因为，所以，
若，即，解得，此时符合题意；
若，则或，解得或，
综上可得实数的取值范围或；
（3）因为不存在实数使且同时成立，
所以，
若，即，解得，此时符合题意；
若，则，解得；
综上可得实数的取值范围为或.
18．(1)和
(2)
（1）利用二倍角公式将化简并利用最值可得，再由三角函数单调性解不等式即可求得单调递增区间；
（2）代入解析式可求得，再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求，最后利用诱导公式可求．
【详解】（1）将化简可得，
因为，所以．此时，
当时，
令．得；令，得，
所以的单调递增区间为和．
（2）由（1）知．
由，得，
所以．又因为．所以，
所以．
所以，
所以．
19．(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到，
(2)证明见解析
【详解】（1）①∵，且、，
∴，∴；
②∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∵、，
∴，由①知，
∴，
∴；
③∵，，
∴或（只要写出其中一个即可）；
（2）①充分性：如果，则有和两种情况，
当时，当时，则、，等式成立，
当时，则、，等式成立，
当时，等式成立，
当时，即、或、，
当、时，、，等式成立，
当、时，、，等式成立，
∴当时，等式成立，
∴当时，成立，
②必要性：若且，则，
即，则，故，
综上所述，是等式成立的充要条件.