内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含答案）含答案解析

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含答案）含答案解析，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若方程x2+y2−2x−m=0表示圆，则m的范围是( )
A. (−∞,−1)B. [−1,+∞)C. (−1,+∞)D. (−∞,−1]
2.已知圆M:x2+y2+2ax=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N:(x+6)2+(y−3)2=9的位置关系是( )
A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离
3.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=2分成长度相等的四段弧，则a2+b2=( )
A. 2B. 2C. 3D. 4
4.已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>0)的右焦点为F( 3,0)，点P在C上，点P到直线x=4 33的距离为 33，则|PF|=( )
A. 13B. 12C. 32D. 1
5.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2−6x−8y+m=0外切，则m=( )
A. 9B. 11C. 19D. 21
6.已知圆C:(x−4)2+(y+3)2=4和两点A(−a,0),B(a,0)(a>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则a的最大值为( )
A. 3B. 5C. 7D. 9
7.若双曲线经过点− 3,6，且它的两条渐近线方程是y=±3x，则双曲线的离心率是( )
A. 103B. 10C. 103D. 10
8.若e1,e2,e3是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使得a=xe1+ye2+ze3，我们把有序实数组(x,y,z)叫做基底e1,e2,e3下向量a的斜坐标．设向量p在基底a,b,c下的斜坐标为−1,2,3，则向量p在基底a+b,a−b,c下的斜坐标为( )
A. (12,−32,3)B. (−12,−32,3)C. (−12,32,3)D. (12,−32,−3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i,j,k是空间中三个向量，则下列说法错误的是( )
A. 对于空间中的任意一个向量m，总存在实数x,y,z，使得m=xi+yj+zk
B. 若i,j,k是空间的一个基底，则i−3j,j+k,k−2i也是空间的一个基底
C. 若i⊥j，k⊥j，则i//k
D. 若i,j,k所在直线两两共面，则i,j,k共面
10.下列说法不正确的是( )
A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B. 点(0,1)关于直线y=x的对称点为(1,1)
C. 直线x−y−3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0
11.下列说法正确的是( )
A. 若abc≠0，且直线ax+by+c=0不经过第二象限，则ab>0，bc0)上一点M的横坐标为3，且|MF|=2p，则抛物线方程为 ．
13.已知直线l1:x+2my−1=0与l2:(3m−1)x−my−1=0平行，则实数m= ．
14.已知方程x2m−2+y22m−3=1表示双曲线，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆O:x2+y2=8,M(−1,2)是圆O内一点，P(4,0)是圆O外一点．
(1)AB是圆O中过点M最长的弦，CD是圆O中过点M最短的弦，求四边形ACBD的面积；
(2)过点P作直线l交圆于E、F两点，求▵OEF面积的最大值，并求此时直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知点A(2,4)，直线l:x−2y+1=0，且点M,N均在直线l上，AM⊥l，
(1)求点M的坐标：
(2)若|MN|= 5，求直线AN的方程．
17.(本小题15分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 53，上、下顶点分别为A，B，右顶点为C，且▵ABC的面积为6．
(1)求E的方程；
(2)若点P为E上异于顶点的一点，直线是AP与BC交于点M，直线CP交y轴于点N，试判断直线MN是否过定点?若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，设PA=a，PB=b，PC=c，

(1)以a,b,c为空间基底表示向量MN．
(2)求证：MN//平面PAD．
19.(本小题17分)
如图，在正三棱柱A1B1C1−ABC中，D，E，F分别为AC，CC1，BC的中点，A1A=2 3，AB=2．

(1)证明：平面A1B1E．
(2)若B1F⊥平面α，求平面α与平面A1B1E夹角的余弦值．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.A
6.C
7.C
8.A
9.ACD
10.BCD
11.BD
12.y2=4x
13.0或16．
14.32,2
15.【详解】(1)M(−1,2)在圆x2+y2=8内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即AB为直径，
而CD是过M且与AB垂直的弦
此时AB=4 2，圆心(0,0)到直线CD的距离d= 12+22= 5，
从而可得，CD=2 3，
∴S=12×2 3×4 2=4 6；
(2)|OE|=|OF|=2 2，S▵OEF=12×|OE|×|OF|×sin∠EOF，
当∠EOF=π2时，▵OEF面积的最大值为4，
此时，O到直线l的距离为2，|OP|=4，
∴直线l的倾斜角为π6或5π6，
则直线l的斜率为± 33，
∴直线l的方程为y=± 33(x−4)．

16.【详解】(1)设M(m,n)，由题意可得：m−2n+1=0n−4m−2×12=−1，解得：m=3n=2,
所以点M的坐标为(3,2)．
(2)设N(s,t)，由(1)知点M的坐标为(3,2)．
根据题意可得s−2t+1=0 (s−3)2+(t−2)2= 5，解得s=5t=3或s=1t=1,
所以点N的坐标为(5,3)或(1,1)，
当点N为(5,3)时，直线AN的方程为y−3=3−45−2(x−5)，即x+3y−14=0，
当点N为(1,1)时，直线AN的方程为y−1=1−41−2(x−1)，即3x−y−2=0，
综上所述：直线AN的方程为3x−y−2=0或x+3y−14=0．

17.【详解】(1)由题意知ca= 53,12a⋅2b=6,c2=a2−b2, 解得a=3，b=2，c= 5，
所以E的方程为x29+y24=1．
(2)显然直线AP的斜率存在，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y=kx+2，
又直线BC的方程为y=23x−2，由y=kx+2y=23x−2，解得x=−123k−2，y=−6k+43k−2，
即M−123k−2,−6k+43k−2．
由x29+y24=1,y=kx+2得4+9k2x2+36kx=0，解得x=0或x=−36k4+9k2，
当x=−36k4+9k2时，y=k−36k4+9k2+2=8−18k24+9k2，即P−36k4+9k2,8−18k24+9k2，
所以直线CP的斜率kCP=8−18k24+9k2−0−36k4+9k2−3=6k−49k+6，
所以直线CP的方程为y=6k−49k+6(x−3)，令x=0，得y=4−6k3k+2，即N0,4−6k3k+2．
所以直线MN的斜率kMN=−6k+43k−3−4−6k3k+2−123k−3−0=4k3k+2，
所以直线MN的方程为y=4k3k+2x+4−6k3k+2，
即y=4k3k+2(x−3)+2，所以直线MN过定点(3,2)．


18.【详解】(1)MN=PN−PM=12PC−12PA+PB=−12a−12b+12c；
(2)取DC中点H，连接HM，HN，

因为H是DC中点，N是PC中点，所以HN//DP，
因为HN⊄平面PAD，DP⊂平面PAD，
所以HN//平面PAD，
同理，得HM//DA，HM⊄平面PAD，DA⊂平面PAD，
所以HM//平面PAD，
又HN∩HM=H，HN⊂平面HNM，HM⊂平面HNM，
故平面HNM//平面PAD，
因为MN⊂平面HNM，
所以MN//平面PAD．

19.【详解】(1)因为D，F分别为AC，BC的中点，所以．
在正三棱柱ABC−A1B1C1中，
所以．
又DF⊄平面A1B1E，A1B1⊂平面A1B1E，所以平面A1B1E．
(2)取AB的中点O，连接OC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A1−1,0,2 3，B11,0,2 3，E0, 3, 3，F12, 32,0
A1E=1, 3,− 3，A1B1=(2,0,0)．
设平面A1B1E的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1B1=2x=0,n⋅A1E=x+ 3y− 3z=0,
取y=1，则n=(0,1,1)
易知B1F=−12, 32,−2 3是平面α的一个法向量，
所以csn,B1F=n⋅B1FnB1F=3 32 26=3 7852．
故平面α与平面A1B1E夹角的余弦值为3 7852．