2026年【中考数学】第一轮复习分类训练21特殊四边形的判定与性质【附答案】

这是一份2026年【中考数学】第一轮复习分类训练21特殊四边形的判定与性质【附答案】，共22页。
A. AB∥CDB. AB=BCC.∠B=∠DD. AC=BD
2.(2025 内蒙古)如图,四边形ABCD 是一个矩形草坪,对角线AC,BD 相交于点O,H是BC边的中点,连接OH,且OH=20 m,AD=30 m，则该草坪的面积为( )
A.2400m2 B.1800m2 C.1200m2 D.600m2
3.(2025 辽宁)如图,在矩形ABCD 中,点E在边AD 上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为( )
A.1B.5C.2 2 D.10
4.(2025 绥化)一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个夹角为60°，则这个矩形的面积是( )
A.25 B.253 C.255 D.503
5.(2025 兰州)如图,四边形ABCD 是矩形,对角线AC,BD 相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF 交对角线BD 于点 P.若P 为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE=( )
A.95°B.100°C.110°D.145°
6.(2025 广东)如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连接 DE,AF 相交于点 G,连接 CG. 若 AB =8,BC =12,则tan∠GCF的值是( )
A.1010B. 13 C.31010D. 23
7.(2025 内江)如图,在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,点E,F 分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,点G为BE的中点,点 H为EF 的中点,连接GH,则GH 的最大值是 .
8.(2025 青海)如图,在 △ABC中,点O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作 AE‖BC交DO 的延长线于点 E,连接AD,BE.
(1)求证：四边形AEBD 是平行四边形；
(2)若AB=AC,试判断四边形AEBD 的形状，并证明.
9.(2025云南)如图,在 △ABC中， ∠ABC=90∘,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB..连接AD,CD.记. AB=a,BC=b,△AOB的周长为l₁ ,△BOC的周长为 l2,，四边形ABCD的周长为 l3.
(1)求证:四边形ABCD 是矩形;
(2)若 l2−l1=2,l3=28,求AC的长.
10.(2025 北京)如图,在 △ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DF ⟂BC,，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC.
(1)求证:四边形 DFCG是矩形;
(2)若 ∠B=45∘,DF=3,DG=5,求BC和AC的长.
11.(2024长沙)如图,在 ▱ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O. ∠ABC=90∘.
(1)求证:AC=BD;
(2)点E在BC边上,满足 ∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求CE的长及 tan∠CEO的值.
考点2 菱形的判定与性质
12.(2025 泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线相等B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直D.对角相等
13.(2025云南)如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC,BD 相交于点O.若AC=6,BD=5,,则菱形ABCD 的面积是 .
14.(2025青海)如图,在菱形ABCD 中,BD=6,E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,,则菱形ABCD 的面积为 .
15.(2025福建)如图,菱形ABCD 的对角线相交于点O,EF 过点O且与边AB,CD分别相交于点 E,F.若(OA=2,OD=1,则 △AOE与 △DOF的面积之和为 .
16.(2025 兰州)如图,在菱形ABCD 中, AE⟂BC,垂足为E,交 BD于点 F,BE=CE.若 AB=43,则 AF=_.
17.(2025 辽宁)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O,AC=8,BD=12,点 E 在线段 OA 上,AE=2,点F 在线段OC上，OF=1,,连接BE,点 G为BE 的中点,连接FG,则 FG 的长为
18.(2025 内蒙古)如图,在菱形ABCD 中, AB=45,,对角线 BD 的长为16,E是AD的中点,F是BD 上一点,连接EF.若BF=3,则EF 的长为 .
19.(2025 长春)如图, ▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5:OA=4,OB=3,求证： ▱ABCD是菱形.
20.新课标开放性试题(2025 青岛)如图，在 ▱ABCD中,E为AB的中点，F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点 B作 BG‖AF交FE的延长线于点 G，连接AG.
(1)求证: △AEF≅△BEG.
(2)已知 (从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号)，请判断四边形AGBF 的形状，并证明你的结论.
条件①： EF=12CD;
条件②： EF⟂GD.
21.(2025 贵州)如图,在 ▱ABCD中，E为对角线AC上的中点，连接BE,且. BE⟂AC,,垂足为 E.延长BC 至 F,使(CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD 于点 G.
(1)求证: ▱ABCD是菱形；
(2)若BE=EF,EC=4,求 △DCF的面积.
22.(2025 扬州)如图,在 ▱ABCD中，对角线AC 的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.
(1)求证:四边形AFCE 是菱形;
(2)若AB=3,BC=5,,CE平分 ∠ACD,,求DE的长.
考点3 正方形的判定与性质
23.(2024陕西)如图,正方形 CEFG的顶点G在正方形ABCD 的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为( )
A.2B.3 C.52 D.83
24.(2025湖北)如图,折叠正方形 ABCD 的一边 BC,使点 C 落在BD 上的点 F 处,折痕BE 交AC 于点 G.若 DE=22,则 CG的长是( )
A.2B.2 C.2+1 D.22−1
25.新课标开放性试题(2024龙东地区)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件： ，使得菱形ABCD 为正方形.
26.(2025 北京)如图,在正方形ABCD 中,点E在边 CD 上,( CF⟂BE,垂足为 F. 若 AB = 1,∠EBC =30°,则△ABF 的面积为 .
27.(2025 浙江)【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD 上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E 在对角线 BD 上.
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成的，请写出△ABE≌△CBE 的证明过程.
(2)若裁剪过程中满足 DE=DA,求“机翼角”∠BAE 的度数.
28.(2025长沙)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF.
(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2)连接EF,若.BC=12,BE=5,求EF的长.
29.(2025 广安)如图,E,F是正方形ABCD 的对角线 BD 上的两点，BD=10,DE=BF,连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证: △ADE≅△CBF;
(2)若四边形AECF的周长为 434,求EF 的长.
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30.(2025 烟台)如图,在菱形ABCD中, ∠BAD=60∘,对角线AC=6cm.点M从点A 出发,沿AC方向以1 cm/s的速度向点 C运动，同时，点N从点 C 出发，沿CD 方向以 3cm/s的速度向点D 运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点 P.在此过程中，点P 的运动路径长为 cm.
31.(2025 南充)如图,AC 为正方形 ABCD 的对角线,CE 平分 ∠ACB,交AB于点E，把 △CBE绕点 B 沿逆时针方向旋转 90∘得到 △ABF,,延长CE交AF 于点 M,连接DM,交AC 于点 N.给出下列结论:①CM⊥AF;②CF=AF;③∠CMD=45°; ④ANCN=2−1.以上结论正确的是 .(填写序号)
32.(2025青岛)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为CD,AD的中点.连接BF 并延长交AE于点 G，交 CD 的延长线于点 M，H为BE的中点,连接GH,CH,CG.下列结论:①CH∥AE;②∠M=30°;③S△cn= 320S正方形ABc;④AG·MF =CD·AF.其中正确的是 (填写序号).
33.(2025 兰州)如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,,对角线AC,BD 相交于点O,动点 P 从点 O 出发沿0→A→B 方向以 2cm/s的速度运动，同时点 Q 从点 C 出发沿C→D 方向以1 cm/s的速度运动,当点 Q 到达点 D 时,P,Q同时停止运动.若运动时间为x(s)，△CPQ 的面积为 ycm2,则点P 分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是()
A.均为一次函数B.一次函数，二次函数
C.均为二次函数D.二次函数，一次函数
34(2025 威海)把一张矩形纸片按照如图(1)所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图(2)或图(3)所示的正方形.若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形 EFGH的面积等于四边形ABCD 面积的2倍，则 mn=_
1 D
2 C 由题意知点O 是AC 的中点.又∵H是 BC边的中点,∴OH是△ABC的中位线,∴AB=2OH=40 m(依据: 三角形的中位线定理),∴S细BABCD =AB·AD =40×30=1200(m²).
3 D ∵四边形ABCD 是矩形,∴CD=AB=3,AD =BC,∠A= 90∘,∴BC=BE=AB2+AE2=32+42=5,∴AD=5, ∴DE=5−4=1,∴CE=DE2+CD2=12+32=10.
4 B 如图,矩形ABCD中,AC,BD 交于点O,AC=10,∠AOB=60°,∴ BO = AO =5,∴ △AOB 是等边三角形,∴AB =5, ∠BAC=60∘,∴BC=53,∴S加水BABCD=AB⋅BC=253.
5 C ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC =90°,AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=35°.∵ P 为 EF 的中点,∠ABC =90°,∴EP=PF = BP,∴∠PFB =∠PBF =35°,∴∠EPB =70°,∴∠DPE=110°.
6 B ∵E,F分别是BC边的三等分点,∴BE=EF =FC=4,∴ EC=8.∵AD∥EF,∴△ADG∽△FEG(相似模型:“8”字型相似)， ∴EGDG=EFAD=13.如图,过点 G作 GH⊥BC 于点 H,则GH∥DC,∴△EGH∽△EDC(相似模型:“A”字型相似), ∴EHEC=GHDC=EGED=14,∴ EH = GH = 2,∴ CH = 6, ∴tan∠CCF=GHCH=13.
75
【解析】如图,连接 BD,BF.∵ AB =8,AD =6,∴ BD = AB2+AD2=10.∵点G为BE 的中点,点 H 为 EF 的中点,∴BF=2GH,∴当BF有最大值时,GH有最大值.∵点F 是边CD上的点,∴ 当点 F 与点 D 重合时,BF 有最大值,为10,∴GH的最大值为5.
8 (1)证明:∵点O为AB的中点,
∴OA=OB.
∵AE∥BC,
∴∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO.
在△AEO 和△BDO中,
{∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO,OA=OB,
∴△AEO≌△BDO(AAS),
∴AE=BD.
∵AE∥BD,
∴四边形AEBD 是平行四边形.
(2)当AB=AC时,四边形AEBD 是矩形.
证明如下；
∵AB=AC,点D 是BC边上的中点,
∴AD⊥BC 即∠ADB=90°.
由(1)得四边形AEBD 是平行四边形，
∴四边形AEBD 是矩形.
9.10
(1)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC.
又∵OB=OD,
∴四边形ABCD 是平行四边形(依据：对自线互相平分的四边形是平行四边形).
又∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD 是矩形(依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形).
2∵l1=OA+OB+AB,l2=OB+OC+BC,OA=OC,
∴l₂-l₁ = BC - AB = b - a =2,l₃ = 2(AB + BC) =2(a+b)=28,
∴{b−a=2,b+a=14,,{a=6,b=8,
∴AB=6,BC=8,∴AC=AB2+BC2=10.
10 (1)证明:∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DG∥FC.
又DG=FC,∴四边形DFCG是平行四边形.
∵DF⊥BC,∴∠DFC=90°,
∴四边形 DFCG是矩形(依据：有一个角是直角的平行四边形是矩形).
(2)∵∠B=45°,∠DFB=90°,DF=3,
∴BF=3,∴BC=BF+FC=BF+DG=3+5=8.
∵D,E分别是AB,AC的中点,
∴DE=12BC=4,AC=2CE,
∴EG=DG-DE=5-4=1.
∵四边形DFCG是矩形,∴CG=DF=3,
∴CE=12+32=10,
∴AC=2CE=210.
(1)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,且∠ABC=90°,所以四边形ABCD 是矩形，
所以AC=BD.
(2)在)Rt△ABC中, AC=AB2+BC2=62+82=10.
所以 CO=12AC=5.
因为∠CEO=∠COE,
所以CE=CO=5.
如图,过点O作OF⊥BC于点 F.
因为四边形ABCD 是矩形,所以OB=OC,
所以 CF=12BC=4,
所以EF=CE-CF=5-4=1.
在Rt△COF中, OF=OC2−CF2=52−42=3,
所以 tan∠CEO=OFEF=3.
12 A
13. 15
14. 12
【解析】∵ E,F 分别为 AB,BC 的中点,且 EF=2,∴AC= 2EF=4,∴S吸ABCO=12AC⋅BD=12×4×6=12.
15. 1
思维导引
菱形ABCD — →AB∥CD,OA=OC—→△COE≌△AOE→
S△COr=S△AOE→S△AOE+S△OOP=S△COD
【解析】∵在菱形ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,OC=OA=2,∴∠OCF=∠OAE.又∵∠COF=∠AOE,∴△COF≌△AOE, ∴S△COF=S△AOS,∴S△AOE+S△DOP=S△COP+S△OOF=S△COD= 12CO⋅OD=1.
16.4
【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴ BC=AB=43.如图，连接AC,∵AE⊥BC,BE =CE,∴AE 垂直平分 BC,BE =2 3∴AC=AB = BC,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABE =60°,∴∠FBE=∠ABF=∠BAF=30°,∴AF=BF=-BE30°=4.
17. 13
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA =OC = 12AC=4,OB=OD=12BD=6,∴BC=OB2+OC2= 6²+4²=2 13.∵AE=2,OF=1,∴OE=4-2=2,FC=4-1=3,∴EF=2+1=3,∴EF=FC.又∵ 点G为BE的中点,∴GF 是△EBC的中位线,∴ GF=12BC=13.
一题多解
利用坐标求解.如图，以点O 为原点，直线BD 为x轴；建立平面直角坐标系,易知E(0,2),F(0,-1),B(-6,0).∵点G为BE的中点,.;. G−31,∴FG=−32+1+12=13,
18.85
【解析】如图,连接AC交BD 于点O,则AC⊥BD.过点E作EG⊥OD 于点G,则EG∥AC,∴△DEG∽△DAO,∴EGAO=BG/OD= DEAD=12,∵四边形ABCD 是菱形,∴AD =AB =4 5,BO= OD=12BD=8,∴AO=AD2−OD2=4,∴EG4=DG8=12,∴EG=2,DG=4,∴FG=BD-BF-DG =16-3-4=9, ∴EF=FG2+EG2=92+22=85.
19 证明:∵ AB2=52=25,OA2=42=16,OB2=32=9,
∴OB2+OA2=AB2,
∴∠AOB=90∘(依据：勾股定理的逆定理)，
∴AC⊥BD.
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形(依据：对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20(1)证明:∵BG∥AF,∴∠AFE=∠BGE,∠FAE=∠GBE.
∵E是AB的中点,∴AE=BE,
∴△AEF≌△BEG(AAS).
(2)答案一:①
四边形AGBF 是矩形.
证明:由(1)知△AEF≌△BEG,∴AF=BG.
又∵AF∥BG,
∴四边形AGBF 是平行四边形(依据：有一组对边平行业相等的四边形是平行四边形)，
∴EF=12FG.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.
∵EF=12CD,∴EG=AB
∴四边形AGBF 是矩形(依据：对自线相等的平行四边形是矩形).
答案二：②
四边形AGBF为菱形.
证明:由(1)知△AEF≌△BEG,∴EF=EG.
又∵EA=EB,
∴四边形AGBF为平行四边形(依据：对自线互相平分的四边形是平行四边形).
∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD.
又∵EF⊥CD,∴EF⊥AB,
∴四边形AGBF 为菱形(依据：对角线互相垂直的平行四边形是益形).
21 (1)方法一(利用线段的垂直平分线)；
∵E是对角线AC的中点,BE⊥AC,
∴BE是AC的垂直平分线，
∴AB=CB,
∴平行四边形ABCD 是菱形.
方法二(利用全等三角形)：
∵E是对角线AC的中点,∴AE=EC.
∵BE⊥AC,∴∠AEB=∠CEB=90°.
又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴AB=CB,
∴平行四边形ABCD 是菱形.
方法三(利用对角线互相垂直且平分判定菱形)：
如图，连接ED，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAC=∠ACB.
∵E是对角线AC的中点,∴AE=EC,
∴△AED≌△CEB(SAS),
∴∠AED=∠BEC=∠AEB=90°,ED=EB,
∴B,E,D三点共线(注意:连接ED 后不能直接得出B,E,D三点兴线，需要合理证明).
∵BE⊥AC,
∴BD⊥AC,
∴平行四边形ABCD 是菱形.
(2)如图,∵BE=EF,∴∠1=∠4.
∵CF=CE,∴∠3=∠4,∴∠1=∠4=∠3.
∵∠2是△CEF 的外角,
∴∠2=∠3+∠4=2∠4.
设∠1=x,则∠2=2x.
∵BE⊥AC,∴∠1+∠2=90°,∴x+2x=90°,解得x=30°,即∠1=∠4=∠3=30°,∠2=60°.
在Rt△BEC中,BC=2EC=8.
∵四边形ABCD 是菱形,
∴∠5=∠2=60°,CD=BC=8,
∴∠2=∠5=∠6=60°.
∵CF=CE,∴CG⊥EF,
∴在Rt△CGF中, GF=CF⋅sin60∘=23,
∴S△DCF=12CD·GF=12×8×23=83.
22 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
又∵AO=CO,∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,
∴AE=CF.
又∵AE∥CF,
∴四边形AFCE 是平行四边形.
∵直线EF 是对角线AC的垂直平分线，
∴AE=CE(依据：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)，
∴四边形AFCE 是菱形(依据：一组邻边相等的平行四边形是盖形).
(2)由(1)知AE=CE,∴∠EAC=∠ECA.
∵CE平分∠ACD,∴∠ECD=∠ECA,
∴∠ECD=∠EAC.
又∵∠CDE=∠ADC,
..△CDE∽△ADC,
CDAD=DEDC,即 35=DE3
∴DE=95.
23 B 由题意可得AD=CD=AB=6,GF=CG=CE=2,∴DG=4.∵AD∥BE∥GF,∴△ADH∽△FGH,.. YF==08,1即 62= DH4−DH,∴DH=3.
24 B 如图,设AC,BD 交于点 O.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BOC=∠BCD=90°,∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°.由折叠,得∠BFE = ∠BCD =90°,EF = EC,∠1 = ∠2,∴∠3=∠4.又∠3 =∠5,∴∠4=∠5,∴CG=CE,∴CG=EF.∵∠DFE= 90°,∠BDC =45°,DE =2 2,∴ EF =2,∴CG=2.
一题多解
方法一思路如下：易得CE=EF=2,∴AB =CD=2+2 2 ∴AC=4+22.∵AB‖CD,∴△ABG△CEG,∴AGCG=ABCE= 2+222=1+2,∴CG=12+2AC=12+2×4+22=2.方法二思路如下：如图，设AC，BD 交于点 O.易得 CE= EF=2,∴CD=2+22,∴OC=2+2..过点G作GH⊥BC于点H.易证OG=GH.在 Rt△CGH中,∠GCH=45°,∴CG= 2GH=2OG,∴OC=OG+GC=OG+2OG=2+2,∴OC= 2,∴CG=2.
25 AC=BD(答案不唯一)AC=BD
26 38
【解析】如图，过点 F 作. FG⟂AB于点 G，则 FG‖BC, ∴∠GFB=∠EBC=30∘.由题意知BC =AB =1,∴ BF = 32BC=32,∴GF=32BF=34,∴S△ABF=12AB·FG=12× 1×34=38.
27(1)证明:在正方形ABCD中,
BA=BC,∠ABD=∠CBD =45°.
在△ABE 和△CBE中,
{BA=BC,∠ABE=∠CBE,BE=BE,
所以△ABE≌△CBE(SAS).
(2)在正方形ABCD中,∠BAD=90°,∠ADB=45°.
因为DE=DA,所以∠DAE=∠DEA=67.5°,
所以 ∠BAE=90∘−67.5∘=22.5∘.
28(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB∥CD且AB=CD.
又∵BE=DF,
∴AB-BE=CD-DF,
∴AE=CF.
又∵AE∥CF,
∴四边形AECF 是平行四边形(依据：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
(2)如图,过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形,BC=12,
. CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°.
又∵∠EHC=90°,
∴四边形EBCH 是矩形,
∴HC=EB=5,EH=BC=12.
又∵DF=BE=5,
∴HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.
在Rt△EHF 中,由勾股定理,得 EF=EH2+FH2= 122+22=148=237.
29(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=BC,∠ADE=∠CBF=45°.
在△ADE和△CBF 中, {AD=CB,∠ADE=∠CBF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)如图,连接AC交 BD 于点 O.
∵四边形ABCD 为正方形,BD=10,
∴BD⊥AC,OA =OC =OB =OD = 12BD=5,
∴AF=CF,AE=CE.
由(1)知△ADE≌△CBF,
∴AE=CF,∴AF=CF=AE=CE,
∴四边形AECF 是菱形,∴ EF=2OF.
∵四边形AECF的周长为 434,
∴AF=14×434=34,
∴OF=AF2−OA2=3,
∴EF=6.
30 .23π3
【解析】由题意可知 AMCN=13如图,过点 D 作DE⊥AC 于点E,则 AE=EC=12AC=3cm(依据：等腰三角形“三线合 −"),∴AD=AEcs30∘=23cm,∴ADAC=236=33=13, ∴AMCN=ADAC.又∵∠DAM =∠ACN=30°,∴△DAM∽△ACN,∴∠NAC =∠MDA.∵ ∠APM =∠PAD +∠MDA =∠PAD +∠NAC=∠DAM=30°,∴∠APD =150°,∴ 点 P 在△APD 的外接圆上，设其圆心为点 O，如图所示，在优弧AD 上任取点Q,连接AQ,DQ,OA,OD,则∠Q=180°-∠APD=30°(依据:圆内接四边形对角互补),OA =OD,∴∠AOD=2∠Q=60°(依据:圆周自定理),∴ △OAD 是等边三角形,∴ OA = AD=2 3 cm，由题意知 CD=AD=23cm,点N从点 C 运动到点D所需时间为 23÷3=2s,，点M从点A 运动到点 C 所需时间为6÷1=6(s)，∴点N到达点D时，两点同时停止运动，此时点P 与点 D 重合,∴点 P 的运动路径是AD,∴ 点 P 的运动路径长为 60π⋅23180=23π3cm.
31①③④
【解析】由旋转可得BE=BF.如图,过点 E作EG⊥AC 于点G,又 CE 平分∠BCA,∴EG = EB.∵ EC = EC,∴ Rt△ECG≌Rt△ECB,∴CB=CG.又∠BAC=45°,∴AG=EG,∴EB=AG,∴BF=AG,∴CF=AC.若CF=AF,则△ACF 是等边三角形,则∠ACF=60°,不符合题意,故②中结论错误.又 CM 平分∠ACF,∴CM⊥AF,故①中结论正确.连接BM,则AM=BM,∴∠MAB= ∠MBA,∴ ∠MAD = ∠MBC. 又 AD= BC,∴△MAD≌△MBC,∴ ∠ADM =∠BCM = ∠ACM. 又∠AND =∠MNC,∴∠CMN=∠DAN=45°,故③中结论正确.设 MD,AB交于点 P,∵ ∠ADM=∠ACM =∠BCM =22.5°,∴∠APN=67.5°,∠ANP = ∠DAC +∠ADM =45°+22.5°= 67.5°,∴∠APN=∠ANP,∴ AP =AN.同理可得CD=CN.设 CN=CD=a,则 AC=2a,∴AN=2a−α=2−1a,∴ANCN= 2−1aa=2−1,故④中结论正确.
32①④
33 D ∵四边形ABCD 是正方形, AB=2,∴OC=2,∠ACD=45°.由题意得 CQ =x.当点 P 在 OA 上时,PC =PO +OC= 2x+2.如图,过点 P 作 PH⊥CD 于点 H,则 PH=x+1, ∴y=12x+1⋅x=12x2+12x.当点 P 在 AB 上时，易知点P到CD 的距离为2,∴ y=12×2⋅x=x.故选D.
34 2+32
【解析】根据题意得，四边形 EFGH 的面积为 m2+π22= m2+n24,四边形 ABCD 的面积为 m−n22=m2−mn+n24.∵四边形 EFGH 的面积等于四边形 ABCD 面积的 2 倍, ∴m2+n24=2m2−mn+n24,整理得 4m2−8mn+n2=0, ∴4mn2−8⋅mn+1=0.设 mn=ι,ι>1,∴4t2−8t+1=0,解得 t1=2+32,ι2=2−32舍去)， ∴mn=2+32.