专题01 集合——高考数学二轮复习狂练1000题（解析）

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下列不等式中，解集是空集的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】A、B、D选项二次不等式对应的二次函数均开口向上，所以一定存在实数使得函数值大于（等于）0，即不为空集；
C选项二次不等式对应二次函数的开口向上，且，不存在使得函数值小于0，即不等式解集为空集.
故选：C.
在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【详解】①中自然数集有元素0，∴，正确；
②中有理数集里面没有无理数，∴，不正确；
③有理数集包含了集合，∴，不正确；
④集合中的元素都在集合里面，∴，正确.
故选：B.
已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
故选：D
已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】因为集合，集合
则.
故选：C.
集合，，若，则a可能是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【详解】，整理得，∴或，
∵，∴，而，∴.
故选：B
已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
故选：D
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】.
故选：D.
已知集合，，那么集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】
故选：A
已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】，∴
故选：A
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】∵，∴，∴
∴.
故选：C
若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，故.
故选：C.
已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 7
【答案】B
【详解】由，得，所以，又，所以，所以的真子集的个数为.
故选：B．
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，∴，即，
，
∴，
故选：D.
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵，∴或，∴，
∵，即，∴，
∴.
故选：B.
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解，∴，则，
解，∴，则，
∴.
故选：B.
集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵，即，∴，故
∴.
故选：B.
已知全集，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，所以，，
因为，所以，，
所以，，，
因为，所以.
故选：D.
已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】∵，∴，∴，
∵，∴，
∴.
故选：D.
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵，，
∴，
故选：A
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由，解得，所以，
而，所以，
所以.
故选：C
已知集合，，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解不等式，得或，
即或，而，
若，则，
即的取值范围是，
故选：A
关于的不等式解集中恰有2个整数，则实数取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【详解】由可得，
当时，无解，不满足题意；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为和0，因此可得，即；
当时，原不等式解得，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得，即；
综上所述：或，
所以实数的取值范围为或．
故选：B．
设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ）
A. 12B. 15C. 31D. 32
【答案】B
【详解】∵，
∴满足“，则”的的集合是子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，
∴将集合看作4个元素，求其非空子集个数为：.
故选：B.
已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果.
因为，所以.
若，则，即；
若，则解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
已知集合，若存在，使得，则集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵，即从集合中8个元素任选4个组成集合，共有个，
设，使得，则这样的集合有，，，共计5个，
∴若集合存在，使得时的个数有个.
故选：B.
¤多选题
已知集合，则下列各项为中的元素的是（ ）
A. 0B.
C. D.
【答案】ABD
【详解】A选项：，且，∴，故A正确；
B选项：，且，∴，故B正确；
C选项：，且，∴，故C不正确；
D选项：，且，∴，故D正确.
故选：ABD
已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【详解】由题意可知：，所以A选项不正确；
∵二次不等式解集的端点是对应方程的两根，
∴代入不等式左边，所以B选项正确；
∵，∴，所以C选项正确；
∵，∴，无法判定，所以D选项不正确；
故选：BC
¤填空题
若集合是16和24的公约数，则8______．
【答案】
【详解】根据题意求得集合，即可得结果.
因为是16和24的公约数，所以．
故答案为：.
已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．
【答案】
【详解】
要想越小，则取值越小，
故时，；故时，；故时，；故时，；
故集合中最小的4个元素所构成的集合为，
故答案为：.
已知集合，，则=______.
【答案】
【详解】
∴
故答案为：
已知集合或，，若，则实数m的取值范围是________.
【答案】
【详解】得，即，
∵，∴
故答案为：
已知关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】∵令，对称轴：
∴在上单调递增，
∴当时，，
∵，即集合中存在元素使得不等式成立，
∴
故答案为：
已知集合，集合，若，则实数的值是______.
【答案】-3
【详解】∵
∴，即是方程的解
则，
∴或
当时，方程化简为与集合相同，
此时，不符合题意，舍去.
当时，方程化简为，
此时，，.
综上所述：
故答案为：-3
定义集合的“长度”是，其中．已如集合，且都是集合的子集，若，集合的“长度”大于，则的取值范围是______．
【答案】或
【详解】集合，且都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
若，
要使集合的“长度”大于，故或，
即或，又，
故的取值范围是或．
故答案为：或
¤解答题
设是小于11的正整数，．求：
（1）；
（2）．
【答案】
（1）
（2）
【小问1详解】
∴，
【小问2详解】，∴
，∴
已知全集，集合是奇数，.
（1）求；
（2）若集合，，求C.
【答案】（1）（2）
【小问1详解】集合，集合，
∵，∴，∴
集合
∴
【小问2详解】∵，∴且
，∴且
∴
已知全集为，集合， ，求：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【小问1详解】解得，∴，
∴.
【小问2详解】.
【小问3详解】.
不等式的解集为.
（1）求；
（2）若函数的值域为，求.
【答案】（1）（2）
【小问1详解】由得，解得，所以的解集为.
【小问2详解】由于，则，
则.
已知集合，，.
（1）求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【小问1详解】，
或，∴
【小问2详解】，则，即
已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.（2）
【小问1详解】∵，∴或，即或，
当时，，
或.
【小问2详解】若“”是“”的必要不充分条件，则，
则或，解得或，
即
已知集合，，
（1）若，求的值；
（2）求；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）或
【小问1详解】∵，
∴，∴
【小问2详解】解得或，即或，
则
【小问3详解】，
①时，解得则；
②时，解得
∴或
已知集合，，.
（1）求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或（2）
【小问1详解】因为或，
，
所以或.
【小问2详解】
若是的充分条件，则，
所以，解得，
故的取值范围为.
已知集合，
（1）求，；
（2）求，；；
（3）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1），（2）;;（3）
【小问1详解】由，得，所以，
由得，所以
【小问2详解】由（1）得;;
【小问3详解】由，得，
所以，解得，
所以.
已知集合，．
（1）若，全集，试求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围；
【答案】（1）（2）（3）
【小问1详解】解不等式得，∴
解得，∴，
当时，，
∴，∴
∴.
【小问2详解】由（1）可知，，
∵，
∴，
∴实数的取值范围：.
【小问3详解】由（1）可知，，
∵，∴
∴
∴实数的取值范围：.
设集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1） 或（2）
【小问1详解】
当时，，解得，即.
解得，即，
∴，
或，则或
【小问2详解】
由题意可知，
∵，∵，
∴，
由（1）知，
∴且等号不能同时取，解得.
已知集合，
（1）若，求实数m的取值范围;
（2）设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【小问1详解】，由可得，
当B为空集时，则，可得，
当B不为空集时，则可得，
综上所述，m的取值范围为
【小问2详解】若p是q的充分条件，则，则，可得，
故m的取值范围为
已知全集，集合,.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【小问1详解】由，可得，
解得，即，
当时，即，解得，
即，故.
于是.
【小问2详解】由“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集.
因，由可知，
故得，解得.
故实数的取值范围为.
已知且，设S是空间中n个不同的点构成的集合，其中任意四点不在同一个平面上表示点A，B间的距离，记集合
（1）若四面体ABCD满足：平面BCD，，且
①求二面角的余弦值：
②若，求
（2）证明：
参考公式：
【答案】（1）①；②（2）证明见解析
【小问1详解】以C为原点，方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，，，
①设平面CAD的法向量，
则，即，取，
设平面BAD的法向量为，
则，即，取，
所以，
即二面角的余弦值为；
②，，，
所以；
【小问2详解】设，，，下证，
设S中任意不同的两点的个距离中，距离等于的有个，，2，，k，
则，
记S中n个不同点分别为，，，，设到点的距离等于的点的个数为个，，k；，2，，，
则，，，
所以，
考虑由S中的点构成的满足的点组的个数，
一方面，当A取，时，这样的点组有个，故有，
另一方面，因为S中任意四个点不共面，所以对任，点A的选取至多有3种，故有 ①，
所以
，
结合①得