山东省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次诊断性考试数学试题（原卷版+解析版）

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2025.12
注意事项：
1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.
2.本试卷满分150分，分为选择题和非选择题.
3.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则的值为（ ）
A B. C. 2D.
2. 已知等比数列满足，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 已知点，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知为偶函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 设全集，集合，，则集合（ ）
6. 设.求的值为.
A B. C. D.
7. 在中，“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不必要条件，又不充分条件
8. 一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在长方体中，，，，则（ ）
A. B. 与平面所成的角为
C. 与平面所成的角为D. 三棱锥的体积为
10. 将函数图象的所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度得到的图象，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是图象一条对称轴
C. 当且仅当（）
D. 若方程在区间上有两个不等实根，则
11 已知函数有三个零点，，（），则（ ）
A.
B.
C. 若，，成等差数列，则，，成等比数列
D. 若，，成等差数列，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为______.
13. 已知正四棱台，，高为，则该正四棱台外接球的表面积为______.
14. 已知，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，、、所对应的边分别为、、，已知，，点在线段上，且.
（1）当时，求的长；
（2）当时，求的面积.
16. 如图，在直三棱柱中，，，点满足，点为的中点.

（1）证明：；
（2）若异面直线和所成角为，求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求使得成立的的最大值；
（3）求数列的前项和.
18. 已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．
（1）求实数值；
（2）用表示中的最小值，设函数，若函数
为增函数，求实数的取值范围．
19. 将一个平面边形的每个顶点赋值0或1两个数中的一个，同时染红或蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同，称边形“点亮”.
（1）在中，已知赋值0且染红色，求所有“点亮”的方法个数；
（2）现对四边形的每个顶点随机赋值0或1，同时随机染红色或蓝色，求四边形“点亮”的概率；
（3）求边形的所有“点亮”的方法个数（结果用表示）.