山东省实验中学2026届高三上学期第三次诊断性考试数学试卷含答案（word版）

这是一份山东省实验中学2026届高三上学期第三次诊断性考试数学试卷含答案（word版），文件包含山东省实验中学2026届高三12月第三次诊断数学试题与解析docx、山东省实验中学2026届高三上学期第三次诊断性考试数学试题+答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.若复数 满足 ,则 的值为
A. B. C. 2 D.
【答案】D
2.已知等比数列 满足 ,若 ,则 的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
3.已知点 ， ， ，则 在 上的投影向量为
A. B. C. D.
【答案】B
4.已知 为偶函数,则 的值为
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
【答案】A
5.设全集 ,集合 ,则集合
A. B. C. D.
【答案】B
6.设 ,则 的值为
A. B. C. D.
【答案】C
7.在 中,“ ” 是 “ ” 的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不必要条件, 又不充分条件
【答案】C
8.一项 “过关游戏” 规则规定: 在第 关要抛掷一颗骰子 次,如果这 次抛掷所出现的点数的和大于 ,则算过关. 则某人连过前三关的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在长方体 中, ,则
A.
B. 与平面 所成的角为
C. 与平面 所成的角为
D. 三棱锥 的体积为
【答案】ABD
10.将函数 图象的所有点的横坐标缩短为原来的 ,再向左平移 个单位长度得到 的图象,则
A. 的最小正周期为
B. 是 图象的一条对称轴
C. 当且仅当
D. 若方程 在区间 上有两个不等实根,则
【答案】ACD
11.已知函数 有三个零点 ,则
A.
B.
C. 若 成等差数列,则 成等比数列
D. 若 成等差数列,则
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知一组样本数据:3,7, ，其中 ，该组样本的中位数为 10.5，若要使该组样本的方差最小，则 的值为________.
【答案】31.5
13.已知正四棱台 ，高为 ，则该正四棱台外接球的表面积为_______.
【答案】
14.已知 ,则 ________.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中, 所对应的边分别为 ,已知 , 点 在线段 上，且 .
(1)当 时，求 的长；
(2)当 时，求 的面积 .
【解析】(1)因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
又 ,
所以 ,因为 为三角形内角, ,
所以 ,可得 ,
因为 ,所以 ,
由 ,
可得 ，
代入 ， ，
得 .
(2)因为 ，所以 ，
两边平方得 ，
即 ,
解得 ,
又 ，所以 .
16.如图，在直三棱柱 中， ，点 满足 ， 点 为 的中点.
(1)证明: ；
(2)若异面直线 和 所成角为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
【解析】(1)如图，取 中点 ，连接 ， ，设 与 交于点 ，
由于 ， 为 中点，
所以 ,
在直三棱柱 中，有 平面 ，又 平面 ，
所以 ,又 ,
所以 平面 ,
又 平面 ,所以 ,
又 ,可得四边形 是正方形,
所以 ,
又 ，可得点 为 的中点，
又 为 的中点，
所以 是 的中位线, 为 的中位线,
所以 ，
所以 ，
又 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 .
(2)如图，以 为原点， ， 所在的直线为 轴， 轴如图建系，
则 , , , ,
设 ,则 ,
则异面直线 和 所成角为 ,
解得 ,即 ,
设平面 的一个法向量为 , 由 ,得 ,令 ,得 ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 ,得 ,令 ,得 ,
平面 与平面 所成角的余弦值 .
17.已知数列 的前 项和为 ,数列 的前 项积为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求使得 成立的 的最大值；
(3)求数列 的前 项和 .
【解析】
(1)因为 ，所以，在 中令 ，得 . 所以
当 时,由 及 ,得 ,所以 .
又 ,所以 是首项为 3,公差为 2 的等差数列.
. 所以 .
(2)由(1)知 .
当 时, ,满足上式,所以 ,
则 .
当 时, ,不满足上式,所以
当 时, ,显然成立;
当 时,有 ,所以 ,又 ,所以 的最大值为 45 .
(3)设 ，
当 时， ，
当 时, -12 分
所以
.
所以 .
18.已知函数 ，直线 为曲线 的切线.
(1)求 的值；
(2)用 表示 中的最小值，设函数 ，若函数 为增函数,求 的取值范围.
【解析】(1)对 求导得 .
设直线 与曲线 切于点 ,则
解得 ,所以 的值为 1 .
(2)记函数 ，下面考察函数 的符号， 对函数 求导得 .
当 时, 恒成立.
当 时, ,
从而 .
在 上恒成立,故 在 上单调递减.
,
又曲线 在 上连续不间断,所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的 ,使 .
,
,从而 , ,
由函数 为增函数,且曲线 在 上连续不断知 在 , 上恒成立.
① 当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 记 ,则 ,
当 变化时, 变化情况列表如下:
,
故“ 在 上恒成立”只需 ,即 .
② 当 时， ，当 时， 在 上恒成立，
综合①②知，当 时，函数 为增函数.
故实数 的取值范围是 .
19.将一个平面 边形 的每个顶点赋值 0 或 1 两个数中的一个,同时染红或蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同,称 边形 “点亮”.
(1)在 中，已知 赋值 0 且染红色，求 所有 “点亮” 的方法个数；
(2)现对四边形 的每个顶点随机赋值 0 或 1，同时随机染红色或染蓝色，求四边形 “点亮” 的概率;
(3)求 边形的所有 “点亮” 的方法个数(结果用 表示 .
【解析】(1)列举满足条件的 “点亮”: , ,共 7 种; 3 分
(2)对四边形 的每个顶点随机赋值 0 或 1，同时随机染红色或染蓝色，每个顶点有 4 种方法,四边形 共有 种方法,
其中能 “点亮” 的有 84 种,故 ; 7 分
(3)对于 边形 ，若相邻两个顶点上所赋值的数字不同，则在它们所在的边上标上 ； 若颜色不同,则标上 ; 若数字和颜色都相同,则标上 . 于是,对于给定的点 上的设置 (共有 4 种)，按照边上的字母可以依次确定点 上的设置. 为了使得最终回到 时的设置与初始时相同，标有 和 的边都是偶数条.
所以，“点亮” 的方法数等于在边上标记 、 、 使得标有 和 的边都是偶数条的方法数的 4 倍.
设标有 的边有 条,标有 的边有 条.
选取 条边标记 的有 种方法,在余下的边中取出 条边标记 的有第 种方法,其余的边标记 . 由乘法原理知共有 种标记方法 .
对求和，＂点亮＂的方法数为．①
这里，约定．
当为奇数时，，此时，．②
代入式①中得
当为偶数时，若，则式②仍然成立；若，则边形的所有边都标记，此时种标记方法．
于是，能＂点亮＂的方法数为.
综上，“点亮”的方法数是：当为奇数，有种；当为偶数，有种.3
(3,+∞)
-
0
+
减
极小值
增