2025-2026学年浙江省宁波市青藤书院九年级（上）期中数学试卷 （含答案+解析）

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市青藤书院九年级（上）期中数学试卷 （含答案+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，从上面看得到的形状图是( )
A.
B.
C.
D.
2.若ab=43，则a−bb的值为( )
A. 13B. −13C. 14D. −14
3.如图是某旅游景点的两个入口(A,B)和三个出口(C,D,E)，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从B口进入，从E口离开的概率是( )
A. 16
B. 13
C. 23
D. 12
4.如图，若点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD)，AB=4，则AD的长是( )
A. 3B. 2 5−2C. 6−2 5D. 2 5−1
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120∘，则∠BOD的度数是( )
A. 80∘
B. 120∘
C. 140∘
D. 160∘
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. a>0，b>0，c>0
B. a0，c>0
C. a0，c0，
故选：B.
利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a0)，对称轴在y轴左边；当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac0，
∴c=4.
(1)分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
(2)利用比例中项的定义得到c2=ab=16，然后求出16的算术平方根即可．
本题考查的是比例线段和特殊角的三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
18.【答案】解：(1)如图，点G即为所求；
(2)如图，点P即为所求．
δ
【解析】(1)连接AC，BD交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN交CD一点G，点G即为所求；
(2)同法作出线段MN，连接BF交MN于点O，连接DO，延长DO交BC一点P，点P即为所求(可以证明PB=DF，DF=CE).
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】见解答．
13.
【解析】(1)列表如下：
由表格可知，共有9种等可能的结果，分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3).
(2)由表格可知，点P在函数y=(x−2)2+1的图象上的结果有：(1,2)，(2,1)，(3,2)，共3种，
∴点P在函数y=(x−2)2+1的图象上的概率为39=13.
(1)根据题意列表即可．
(2)由表格可得出所有等可能的结果数以及点P在函数y=(x−2)2+1的图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、二次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意得：DE⊥AB，CA=CB=1.6米，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=55∘，AB=2AE，
在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin55∘≈1.6×0.82=1.312(米)，
∴AB=2AE≈2.6(米)，
∴两灯臂末端A、B之间的距离约为2.6米；
(2)在Rt△ACE中，∠ACE=55∘，AC=1.6米，
∴CE=AC⋅cs55∘≈1.6×0.57=0.912(米)，
∵CD=8米，
∴ED=EC+CD=0.912+8≈8.9(米)，
∴灯臂末端A到地面的距离约为8.9米．
【解析】(1)连接AB，延长DC交AB于点E，根据题意可得：DE⊥AB，CA=CB=1.6米，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ACE=∠BCE=55∘，AB=2AE，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，即可解答；
(2)在Rt△ACE中，利用锐角三角函数定义求出CE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)连接OD，
∵AB=AC，∠B=30∘，
∴∠ACB=30∘，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30∘，
∴∠COD=180∘−2×30∘=120∘，
∴∠DEC=12∠COD=60∘；
(2)连接AD，过O作OH⊥CD于点H，
∵∠AED=∠ACD=30∘，
∴∠AED=∠B=30∘，
∴BD=DE=6，
∵AC是直径，
∴AD⊥CD，
∴D为BC中点，
∴CD=BD=6，
∴DH=3，OH= 3，OD=2 3，
∴S=120π×(2 3)2360−12×6× 3=4π−3 3.
【解析】(1)先求出∠COD的度数，再得出∠DEC的度数；
(2)求出扇形COD的面积和△COD的面积，即可得到阴影部分的面积．
本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理等，掌握扇形面积计算是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵对称轴是直线x=32，
∴b=32，
∵y=−12x2+bx+c的图象经过点A(3,2)，
∴c=2，
∴y=−12x2+32x+2；
(2)∵y=−12x2+32x+2，
∴其最大值为4ac−b24a=258；
(3)∵y=−12x2+bx+c的对称轴是直线x=32，
∴当x=32时，二次函数取得最大值258，
当x=0时，二次函数值为2，
而258−2=98，
∴当t=32时，恰好符合，
根据二次函数的对称性可得，当320，
∴CE=( 10+ 2)m，
∵∠ABF=∠ACE=∠DCE，
∴sin∠ABF=sin∠DCE=DECE=2m( 10+ 2)m= 10− 24，
∴∠ABF的正弦值为 10− 24.
【解析】(1)由AB是⊙O的直径，得∠AFB=90∘，而∠ACE=∠B，所以∠FAE+∠ACE=∠FAE+∠B=90∘，由∠ADC=90∘，∠FEA=∠CED，得∠FEA+∠DCE=∠CED+∠DCE=90∘，因为∠ACE=∠DCE，所以∠FAE=∠FEA，则AF=EF，所以△AEF是等腰三角形；
(2)连结BC，可推导出∠BCE=∠BEC，则BC=BE=8，而AE=2，则AB=10，所以BDBC=cs∠ABC=BCAB=45，AC=6，求得BD=325，由CDBC=sin∠ABC=ACAB=35，求得CD=245，因为DE=BE−BD=85，所以CE= CD2+DE2=8 105，由AFAB=cs∠FAB=cs∠CED=DECE，求得AF= 10；
(3)连结BC，设OA=OB=r，OD=OE=m，则AB=2r，DE=2m，所以BD=r−m，BC=BE=r+m，由BDBC=BCAB=cs∠ABC，得BC2=AB⋅BD，所以(r+m)2=2r(r−m)，求得r=(2+ 5)m，则BD=(1+ 5)m，BC=(3+ 5)m，由CE2−DE2=BC2−BD2，求得CE=( 10+ 2)m，所以sin∠ABF=sin∠DCE=DECE= 10− 24.
此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法、二次根式的化简、解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．t(秒)
0
2
3
……
s(分米)
0
4
9
……
C
D
E
A
(A,C)
(A,D)
(A,E)
B
(B,C)
(B,D)
(B,E)
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)