2025-2026学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知5x=4y(y≠0)，则下列比例式正确的是( )
A. x5=y4B. x5=4yC. xy=54D. x4=y5
2.小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数.这个事件是( )
A. 必然事件B. 确定性事件C. 不可能事件D. 随机事件
3.已知⊙O的半径为2cm，OP= 3cm，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O内B. 点P在⊙O上C. 点P在⊙O外D. 无法确定
4.在Rt△ABC中，∠C=90∘，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值( )
A. 缩小2倍B. 放大2倍C. 不变D. 无法确定
5.下列命题是真命题的是( )
A. 三点确定一个圆
B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
D. 相等的圆心角所对的弧相等
6.如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE//BC，DF//AC，下列比例式正确的是( )
A. ADAE=AEAC
B. ADDB=AEEC
C. ABAC=AEAD
D. ADAE=ECDB
7.如图是由全等的含60∘角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，C在格点上，则tan∠CAB的值为( )
A. 12B. 32C. 33D. 2 33
8.如图，已知A，B，C为⊙O上的三点，且AC=BC=2，∠ACB=120∘.点P从点A出发，沿着逆时针方向运动到点B，连接CP与弦AB相交于点D，当△ACD为直角三角形时，弧AP的长为( )
A. 2π
B. 12π
C. 43π或12π
D. 2π或43π
9.如图，在△ABC中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，且相交于F点，若BF=AF，BDCD=52，则AFDF的值为( )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 72
10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，E是AB上一点，且AC=AE，连接CE交⊙O连于点F，连接BD交CF于点G，若EG=4，FG=8，则CE长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知线段c是线段a、b的比例中项，如果a=2cm，b=8cm，则c= cm.
12.一个质地均匀的正方体骰子，六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6，将它投掷一次，正面朝上的数字大于4的概率是______.
13.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果tanB=2，BC=2，那么AC= .
14.如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC=12，高AD=10.若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为 .
15.如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30∘得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE=4，则图中阴影部分的面积为 .
16.如图，点E是菱形ABCD的边AB上，将△ADE沿DE折叠，点A的对应点F恰好在边BC上，若BE=6，BF=5，则DE的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：sin30∘−3tan45∘+ 8cs30∘+6tan230∘.
18.(本小题8分)
为了让孩子们掌握垃圾分类知识，树立环保意识，李老师制作了一盒垃圾分类卡片，其中，“可回收物”卡片有30张，“易腐垃圾”卡片22张，“其他垃圾”卡片20张以及若干张“有害垃圾”卡片，这些卡片除图案外都相同．
(1)从这盒卡片中任取一张，使“其他垃圾”卡片的概率是15，求“有害垃圾”卡片的数量．
(2)现从中取出4张卡片：A.塑料瓶，B.旧书本，C.过期药品，D.剩饭菜(其中A，B为可回收物，C为有害垃圾，D为易腐垃圾)，将取出的四张卡片放入一个不透明的袋子中，小聪和小明从袋子中各取一张卡片，问两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率(要求列表或画树状图).
19.(本小题8分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格.每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的三个顶点都是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法.
(1)在图①中，在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，连结DE，使S△ADES四边形DBCE=13；
(2)在图②中，在△ABC内部取一点F，连结AF、BF、CF，使S△ABF=S△BCF=S△ACF；
(3)在图③中，在△ABC内部取一点G，连结BG、CG.使S△BCG=34S△ABC.
20.(本小题8分)
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m，∠DCE=30∘，点E，C，A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45∘，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27∘.
(1)求DE的长；
(2)求塔AB的高度.(tan27∘取0.5， 3取1.7，结果取整数)
21.(本小题8分)
如图：在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE=2AE，CE=6.求GE、CO的长.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E.(1)若DE的度数=50∘，求∠C的度数；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，若BC=8，AF=3BF，求BD的长.
23.(本小题10分)
【基础巩固】
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，BC=CD，求证：BC2=BD⋅AB；
【尝试应用】
(2)如图2，在△AEC中，∠E=90∘，D为AE边上一点，若∠A=2∠ECD，ED⋅AC=5，求CD；
【拓展提高】
(3)如图3，四边形ABCD中，CD//AB，AD⊥AB，AD=DC=2，tanB=2，点F是边DA延长线上一点，连接CF交边AB于点M，过点C作∠FCE=∠B交射线BA于点E，设AM=x，AE=y，求y关于x的函数关系式.
24.(本小题12分)
如图1，已知AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，连接AC，BD相交于点E.
(1)求证：AE×CE=BE×DE；
(2)如图2，点F是弧CD上一点，若∠FCA=∠CBE，
①求证：DF//AC；
②若BD//CF，CE=4，tan∠CAB=12，求半径OB的长；
③如图3，连接EF，若tan∠DBA=13，若△DEF是直角三角形，且∠DEF=90∘，请求出tan∠FCA的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵5x=4y，
∴x4=y5，xy=45，
∴A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D.
利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件，
故选：D.
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可知：2> 3，
∴⊙O的半径>OP，
∴点P在⊙O内，
故选：A.
根据点到圆心的距离即可得出答案．
本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外．
4.【答案】C
【解析】解：∵把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，
∴∠A的大小不变，
∴sinA的值不变，
故选：C.
根据三边成比例的两个三角形相似可得把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形，从而可得∠A的大小不变，即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，原说法错误，故该选项不符合题意；
B、平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，故该选项不符合题意；
C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，原说法正确，故该选项符合题意；
D、在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误，故该选项不符合题意；
故选：C.
据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
本题考查了命题的真假，圆的基础知识，垂径定理，三角形外心，掌握其相关知识点是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.
∴ADAE=ABAC.所以A、C和D选项错误；
故选：B.
由DE//BC，得到AO△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边的比成比例即可判断．
本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，连接BE，交AC于点D
设菱形的边长为a，
∴BD=3a，DE=2a，AE=4a，AD= (4a)2−(2a)2=2 3a.
∴tan∠CAB=tan∠DAB=DBAD=3a2 3a= 32.
故选：B.
如图，连接BE，交AC于点D，由菱形的性质可得，BE⊥AC，设菱形的边长为a，则BD=3a，DE=2a，AE=4a，勾股定理求得AD，进而根据tan∠CAB=tan∠DAB=DBAD，计算求解即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握以上知识点是关键．
8.【答案】D
【解析】解：当∠ADC=90∘，连接OA，OD，如图所示，
∵∠ACB=120∘，AC=BC=2，
∴∠ACD=12∠ACB=60∘，点D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴点C，D，O共线．
∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC=60∘，AO=AC=2，
∴∠AOP=120∘，
∴弧AP的长=120π×2180=4π3；
当∠ACD=90∘时，则∠ACP=90∘，
∴AP为直径，
∴弧AP的长=180π×2180=2π.
所以弧AP的长为4π3或2π.
故选：D.
当∠ADC=90∘，连接OA，OD，先证明点C，D，O共线时，再证明△OAC是等边三角形，得到AO=AC=2，∠AOC=60∘，可知∠AOP=120∘，然后根据求弧长公式求解即可；当∠ACD=90∘时，则∠ACP=90∘，可知AP为直径，再利用弧长公式求解．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，弧长公式，注意分情况讨论．
9.【答案】D
【解析】解：∵BDCD=52，
∴设BD=5a，CD=2a，
∴BC=BD+CD=7a，
∵在△ABC中，AD和BE分别是BC，AC边上的高，
∴∠BDF=∠AEF=90∘，∠BEC=∠ADC=90∘，∠AEF=∠ADC=90∘，
在△BDF和△AEF中．
∠BDF=∠AEF=90∘∠BFD=∠AFEBF=AF，
∴△BDF≌△AEF(AAS)，
∴DF=EF，
∴BF+EF=AF+DF，
∴BE=AD，
在△BEC和△ADC中，
∠BEC=∠ADC=90∘∠C=∠CBE=AD，
∴△BEC≌△ADC(AAS)，
∴BC=AC=7a，
在△AEF和△ADC中，
∠FAE=∠CAD，∠AEF=∠ADC=90∘，
∴△AEF∽△ADC，
∴AFAC=EFCD，
∴AF7a=EF2a，
∴AFEF=72，
∵DF=EF，
∴AFDF=72.
故选：D.
根据BDCD=52，设BD=5a，CD=2a，则BC=BD+CD=7a，先证明△BDF和△AEF全等得DF=EF，进而得BE=AD，由此可判定△BEC和△ADC全等得BC=AC=7a，再证明△AEF和△ADC相似得AFAC=EFCD，由此得AFEF=72，然后根据DF=EF即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接BC，
∵EG=4，FG=8，
∴EF=12，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC，
∴∠ACE=∠ABF=∠BEF，
∴BF=EF=12，
设ACD=α，则∠CAE=90∘−α，
∵AE=AC，
∴∠ACE=180∘−∠CAE2=45∘+12α，
∴∠DCF=∠ACE−⊥ACD=45∘−12α，
∴∠FBG=∠DCF=45∘−12α，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠FCB=90∘−∠ACE=45∘−12α，
∴∠FBG=∠FCB，
∵∠F=∠F，
∴△FBG∽△FCB，
∴FBFC=FGFB，12FC=812，
∴FC=18，
∴CE=FC−EF=6；
故选：C.
连接BC，易得BF=EF=12，设ACD=α，则∠CAE=90∘−α，易得∠FBG=∠FCB，=45∘−12α，从而可证△FBG∽△FCB，即可得解．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴c2=ab，
又∵a=2cm，b=8cm，
∴c2=ab=16，
解得c=±4.
又∵c为线段的长度，
∴c=−4舍去；
即c=4cm.
故答案为：4.
根据比例中项的概念，得c2=ab，再利用比例的基本性质计算得到c的值．
此题考查了比例中项的定义，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．
12.【答案】13
【解析】解：扔一次骰子朝上的数字有6种等可能结果，其中数字满足大于4的有5、6这2种结果，
∴正面朝上的数字大于4的概率是26=13，
故答案为：13.
直接利用概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13.【答案】4
【解析】解：∵tanB=ACBC=2，
∴AC=2BC，
∵BC=2，
∴AC=4，
故答案为：4.
利用正切的定义计算即可．
本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】7229
【解析】解：设正方形边长MN为a，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90∘，
∵MN//BC，
∴∠APM=∠ADB=90∘，
∵MN//BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴MNBC=APAD，
∴a12=12−4a10，
∴a=7229，
即正方体的棱长为7229.
故答案为：7229.
设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到∠APM=∠ADB=90∘，根据相似三角形的性质可得结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
15.【答案】2π−4
【解析】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC=AD，∠CAD=30∘，
∴∠BOC=60∘，∠ACE=(180∘−30∘)÷2=75∘，
∴∠BCE=90∘−∠ACE=15∘，
∴∠BOE=2∠BCE=30∘，
∴∠EOC=90∘，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE=4，
∴OE=OC=2 2，
∴S阴影=S扇形OEC−S△OEC=90π×(2 2)2360−12×2 2×2 2=2π−4，
故答案为：2π−4.
连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
16.【答案】6 6
【解析】解：在菱形ABCD中，∠A=∠C，AD=CD，
根据折叠的性质可得∠A=∠AFE=∠C=α，AD=DF=CD，
∴∠BFE=∠CDF=∠BFD−α，
如图，延长CB至点G，使EG=EB=6，
则∠G=∠EBG=∠C=α，
∴△EGF∽△FCD，
∵CD=DF，
∴∠C=∠DFC=α，
∴∠EFG=∠DFC=α=∠EBG，
∴△EBG∽△FEG，
∴EGGF=BGEG，即65+BG=BG6，
解得BG=4(负值舍去)，
∴FG=9，
∴EF=AE=9，AB=AD=15，
∴CF=BC−BF=10，
过D作DM⊥AE于点M，过D作DN⊥AB于点N，
则CM=FM=12CF=5，
∴DM= CD2−CM2=10 2，
在△ADN和△CDM中，
∠ANM=∠MCD∠A=∠CAD=CD，
∴△ADN≌△CDM(AAS)，
∴DN=DM=10 2，AN=CM=5，
∴EN=4，
在Rt△DEN中，DE= DN2+EN2= 200+16=6 6.
故答案为：6 6.
延长CB至点G，使EG=EB=6，易证△EGF∽△FCD(三等角模型)，再证△EBG∽△FEG，可求BG=4，则EF=EG=AE=9，AB=BD=15，进而利用等面积和勾股定理求解即可．
本题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17.【答案】 6−12.
【解析】解：sin30∘−3tan45∘+ 8cs30∘+6tan230∘
=12−3×1+2 2× 32+6×( 33)2
=12−3+ 6+6×13
=12−3+ 6+2
= 6−12.
先把特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设“有害垃圾”卡片有x张，
由题意得2030+22+20+x=15，
∴x=28
答：“有害垃圾”卡片有28张；
(2)画树状图如图：
共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，
∴小聪和小明两人取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的概率为212=16.
【解析】(1)设“有害垃圾”卡片有x张，由概率公式得出方程，解方程即可；
(2)画树状图，共有12个等可能的结果，小聪和小明取到的卡片恰好都是“可回收物”卡片的结果有2个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】如图①中，线段DE即为所求；
如图，点F即为所求；
如图，点G即为所求(答案不唯一)
【解析】(1)如图①中，线段DE即为所求；
(2)如图，点F即为所求；
(3)如图，点G即为所求(答案不唯一).
(1)取AB的中点D，连接DE即可；
(2)判断出S△ABF=S△BCF=S△ACF=4，求出△BCF的BC边上的高为43，△ABF的AB边上的高为 2，作出直线n，直线m(直线n到BC的距离为43，直线n到AB的距离为 2)，直线m，n的交点F即为所求；
(3)求出△BCG的面积为9，可知BC边上的高为3，取格点G，连接GB，GC即可．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】解：(1)由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，
CD=6m，∠DCE=30∘，
∴DE=12CD=3(m)，
∴DE的长为3m；
(2)由题意得：BA⊥EA，
在Rt△DEC中，DE=3m，∠DCE=30∘，
∴CE= 3DE=3 3(m)，
在Rt△ABC中，
设AB=hm，
∵∠BCA=45∘，
∴AC=ABtan45∘=h(m)，
∴AE=EC+AC=(3 3+h)m，
∴线段EA的长为(3 3+h)m；
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF=EA=(3 3+h)m，DE=FA=3m，
∵AB=hm，
∴BF=AB−AF=(h−3)m，
在Rt△BDF中，
∵∠BDF=27∘，
∴BF=DF⋅tan27∘≈0.5(3 3+h)m，
∴h−3=0.5(3 3+h)，
解得：h=3 3+6≈11，
∴AB=11m，
∴塔AB的高度约为11m.
【解析】(1)根据题意可得：DE⊥EC，然后在Rt△DEC中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
(2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，设AB=hm，根据题意得：DF=EA=(3 3+h)m，DE=FA=3m，则BF=(h−3)m，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而列出关于h的方程，进行计算即可解答．
本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴AG//CD，
∴△CDE∽△GAE，
∴DEAE=CEGE，
∵DE=2AE，CE=6，
∴21=6GE，
∴GE=3.
∵AD//BC，
∴△BOC∽△DOE，
∴COEO=BCDE，
∵BC=AD=3AE，DE=2AE，
∴CO6−CO=BCDE=32，
∴CO=3.6.
【解析】根据▱ABCD可得AD//BC，AB//CD，证明△CDE∽△GAE，从而DEAE=CEGE，代入即可求解GE，再证明△BOC∽△DOE，得到COEO=BCDE，即可得求出CO.
本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
22.【答案】(1)连接AD，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90∘，
∴∠ADC=180∘−∠ADB=90∘，
∵DE的度数=50∘，
∴∠DAC=12×50∘=25∘，
∴∠C=90∘−∠DAC=65∘；
(2)连接OD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴DB=12BC=12×8=4，
∵AF=3BF，
∴AB=4BF，
∴2OB=4BF，
∴OB=2BF，
∴BF=OF，
∵DF⊥AB，
∴OD=DB=4，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60∘，
∴BD的长=60π×4180=4π3.
【解析】(1)连接AD，由圆周角定理得到∠ADB=90∘，求出∠ADC=180∘−∠ADB=90∘，由圆周角定理推出∠DAC=12×50∘=25∘，因此∠C=90∘−∠DAC=65∘；
(2)连接OD，由线段垂直平分线的性质推出△OBD是等边三角形，得到∠BOD=60∘，即可求出BD的长=60π×4180=4π3.
本题考查圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，弧长的计算，关键是由圆周角定理推出∠DAC=12×50∘=25∘，由线段垂直平分线的性质推出△OBD是等边三角形，由弧长公式即可求出弧BD的长．
23.【答案】∵AB=AC，BC=CD，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠BDC.
∴△ABC∽△CBD，
∴BCBD=ABBC，
∴BC2=BD⋅AB.
5.
y=13−3x9+x
【解析】(1)证明：∵AB=AC，BC=CD，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠BDC.
∴△ABC∽△CBD，
∴BCBD=ABBC，
∴BC2=BD⋅AB.
(2)如图，延长AE，使EF=DE，连接CF，根据等腰三角形的性质，CD=CF，∠DCF=2∠DCE.
∵∠CFD=∠AFC，∠A=∠DCF.
∴△CFD∽△AFC，
∴AC=AF.
同理(1)可得CD2=CF2=EF⋅AF=ED⋅AC=5.
∴CD= 5.
(3)过点C作BE的垂线，垂足为G.易知四边形ADCG为正方形，则AG=CG=2.
由tanB=CGBG=2，BG=1，AB=BG+AG=3.
∵∠MCE=∠CBE，∠MEC=∠CEB，
∴△MCE∽△CBE，
同理(1)可得CE2=ME⋅BE=(x+y)(3+y)，
在Rt△CGE中，CE2=CG2+EG2=4+(3+y)2.
∴(x+y)(3+y)=4+(3+y)2.
整理得：y=13−3x9+x.
(1)先由两角相等证明△ABC∽△CBD，然后由相似三角形对应边成比例即可得出结论．
(2)通过构造等腰△CDF，再由两角相等证明△CFD∽△AFC得到AC=AF，即可由(1)的结论求出CD.
(3)通过辅助线CG由tanB=2求出BG的长度，然后由两角相等证明△MCE∽△CBE，再结合相似三角形对应边成比例和勾股定理得出关于x和y的等式，整理即可求出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解答本题的关键．
24.【答案】如图，连接AD.
在△ADE和△BCE中，∠AED=∠BEC，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴DECE=AEBE，
∴AE×CE=BE×DE.
①如图，连接DC.
∵∠FCA=∠CBE=∠CBD，
∴CD=AF，
∴AD=CF，
∴∠CDF=∠ACD，
∴DF//AC；
②2 5；③1或2
【解析】(1)证明：如图，连接AD.
在△ADE和△BCE中，∠AED=∠BEC，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴DECE=AEBE，
∴AE×CE=BE×DE.
(2)①证明：如图，连接DC.
∵∠FCA=∠CBE=∠CBD，
∴CD=AF，
∴AD=CF，
∴∠CDF=∠ACD，
∴DF//AC.
②如①图所示，当BD//CF时，同理可得∠DCF=∠BDC，则BC=DF，
结合①结论可知DF//AC，故四边形CEDF为平行四边形，则DF=CE.
∴BC=CE=4.
由tan∠CAB=12可得AC=2BC，
∴AC=2CE=8.
由于直径AB所对的圆周角∠ACB=90∘，
故在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=4 5.
∴OB=AB2=2 5.
③如图，连接AD、AF、BF，DE交AF于点G.
根据题意可知∠ADB=∠AFB=90∘.
∵∠DEF=∠ADE=90∘，
∴AD//EF，
结合DF//AC可得四边形ADFE为平行四边形，G为其对称中心，则DG=GE=DE2.
设DE=m，AD=EF=n，由若tan∠DBA=13=ADBD可得，BD=3n，
则BE=3n−m，
在△FEG和△BEF中，∠FEG=∠BEF=90∘，∠EFG=90∘−∠BFE=∠EBF，
∴△FEG∽△BEF，
∴EFBE=GEEF，即EF2=BE⋅GE.
∴n2=(3n−m)⋅m2，整理得：2n2−3mn+m2=0，
解得：m=2n或m=n，
∵∠FCA=∠CBD=∠DAE，
∴tan∠FCA=tan∠DAE=DEAD=mn=1或2.
(1)通过两角对应相等证明△ADE∽△BCE，然后由对应边成比例整理可得结论．
(2)①根据∠FCA=∠CBD推出AD=CF，进而得到∠CDF=∠ACD，即可证明结论；
②先根据BD//CF推出BC=DF，然后证明四边形CEDF为平行四边形，得到BC=CE，进而求出AC和BC的长度，再由勾股定理求出AB，即可得到OB的长度；
③先证明四边形ADFE为平行四边形，再通过构造△FEG∽△BEF，然后根据对应边成比例求出AD和DE长度的数量关系，最后由tan∠FCA=tan∠DAE求出答案．
本题考查了圆周角定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，在圆中构造相似三角形是解答本题的关键．