2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年吉林省长春市高新区慧仁学校九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.计算(−2)×4的结果为( )
A. −8B. −2C. 2D. 8
2.如图所示的几何体，其俯视图为( )
A. B. C. D.
3.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 110∘
D. 135∘
4.下列运算中，结果正确的是( )
A. m3⋅m3=m6B. m3+m3=m6C. (m3)2=m5D. m6÷m2=m3
5.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图是一个根据某市的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC根部与圭表的冬至线之间的距离(即BC的长)为a.已知，冬至时该市的正午日光入射角∠ABC约为27∘，则立柱AC高约为( )
A. asin27∘B. acs27∘C. atan27∘D. atan27∘
6.不等式3x+1>4的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC.若∠CAB=50∘，则∠CBD的度数是( )
A. 30∘B. 25∘C. 20∘D. 15∘
8.如图，双曲线y=12x(x>0)经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是( )
A. 4.5
B. 3.5
C. 3
D. 2.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.因式分解：a2−7a=______.
10.已知最简二次根式 a+3与 18是同类二次根式，则a的值为 .
11.若二次函数y=2x2−x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 .
12.已知一次函数y=kx−2(k为常数，且k≠0)的函数值y随自变量x的增大而减小，则该一次函数的图象不经过第 象限.
13.如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC、DE交于点F.若AEEB=23，则S△ADFS△AEF= .
14.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，BE=2，EC=4，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG.现给出以下结论：
①∠EAG=45∘；
②EG=BE+DG；
③GF=GC；
④S△GFC=125.
其中正确的结论是______.(写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+1)2−2(x+1)，其中x=2 2.
16.(本小题6分)
计算：(π−6)0+ 27−2cs60∘+|− 2|.
17.(本小题6分)
每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率.
18.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，BC=DC，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE.
(1)求证：四边形BCDE是菱形．
(2)连结BD，若BD=AD=4，tan∠A=12，则CE的长为______.
19.(本小题7分)
某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
(1)A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中______(填“A”或“B”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
(2)根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个；
(3)若以(2)中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
20.(本小题7分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法.
(1)在图①中的线段AB上找一点D，连结CD，使S△ACD=12S△ABC；
(2)在图②中的线段BC上找一点E，连结AE，使S△ABE=13S△ABC；
(3)在图③中△ABC的内部找一点F，连结BF、CF，使S△BCF=13S△ABC.
21.(本小题8分)
长春神鹿峰玻璃栈道已成为吉林省旅游度假新景点.甲、乙两人在笔直的栈道上从相距m米的栈道两端A、B分别出发，匀速相向而行，甲、乙两人先后到达栈道的另一端驻足观景，甲的速度比乙大.在此过程中，若两人各自行走的路程y(米)与乙出发的时间x(分)之间的函数关系如图所示.
(1)m=______.
(2)求出甲行走的距离y与x之间的函数解析式.
(3)在两人驻足观景前，当两人行走的距离相同时，直接写出此时甲距栈道B端的距离.
22.(本小题9分)
【问题呈现】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：
如图①，在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC+BC=DF.求证：∠ACB=2∠F.
【方法探究】以下是小强的方法：
证明：如图②，延长AC到点G，使CG=CB，连结BG.
∵CG=CB，
∴∠CBG=∠G，
∴∠ACB=∠CBG+∠G=2∠G.
接下来只需证明∠G=∠F，进而就能得出∠ACB=2∠F.
请你补全余下的证明过程．
【方法总结】从上面的方法可以看出，通过“化折为直”，不仅可以构造等腰三角形，还可以得到角的倍、半关系，可谓一举两得．
【方法应用】如图③，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=35∘，延长BC到点D，使DC=BC，点E在边AC上，连结DE，当DE+EC=AC时，∠DEC的大小为______ ∘.
【拓展延伸】如图④，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=50∘.若AB+BC=10，求边AC的长．(精确到0.1)
[参考数据：sin25∘≈0.423，cs25∘≈0.906，tan25∘≈0.466]
23.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.点E是边AD的三等分点，且AE=2.点P是边AB上的动点(P不与点A重合)，PE绕点E逆时针旋转90∘得到线段EQ，连结PQ.
(1)过点Q作边AD的垂线段AH，交AD于H，求证：△APE≌△HEQ；
(2)当A，Q，C三点共线时，求线段PQ的长；
(3)线段CQ的长度的最小值是______；
(4)四边形BCQP面积的最大值是______；此时线段BP的长度是______.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+c(b,c为常数)的对称轴为直线x=2，且经过点A(4,3).点P在该抛物线上，其横坐标为m.
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当−1≤x≤6，y的取值范围是______；
(3)将此抛物线上P，A两点之间的部分(包括P，A两点)记为图象G，当图象G与直线y=m+32只有一个公共点时，求m的取值范围；
(4)设点Q的坐标为(−1,3−m)，当PQ不与坐标轴平行时，以PQ为对角线构造矩形PMQN，且PM⊥y轴.当抛物线在矩形PMQN内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，直接写出m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−2)×4=−8.
故选：A.
根据有理数的乘法的运算方法，求出(−2)×4的结果即可．
此题主要考查了有理数的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
2.【答案】C
【解析】解：该几何体的主视图是：
.
故选：C.
根据俯视图是从物体的上面看得到的图形，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3.【答案】A
【解析】解：∵正八边形的外角和为360∘，
∴每一个外角为360∘÷8=45∘.
故选：A.
由多边形的外角和定理直接可求出结论．
本题考查了多边形外角和定理，掌握外角和定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：m3⋅m3=m6，故此选项符合题意；
B、m3+m3=2m3，故此选项不符合题意；
C、(m3)2=m6，故此选项不符合题意；
D、m6÷m2=m4，故此选项不符合题意；
故选：A.
根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，∠ABC=27∘，
∵tan∠ABC=ACBC，
∴AC=BC⋅tan∠ABC=atan27∘，
故选：D.
根据∠ABC的正切函数求解即可．
此题考查了三角函数的应用，正切掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵3x+1>4，
∴3x>4−1，
3x>3，
则x>1，
将解集表示在数轴上如下：
故选：A.
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CAB=50∘，
∴∠ABC=90∘−50∘=40∘，
由题意得，BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=20∘.
故选：C.
由圆周角定理得到∠ACB=90∘，由直角三角形的性质得到∠ABC=40∘，根据角平分线的定义即可求得答案．
本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，过点A作AM⊥y轴，垂足为M，连接OB，则S△AOM=S△OBD=12|k|=12×12=6，
∵E是OA的中点，即OE=AE，而DE//AM，
∴DE=12AM，OD=12OM，
∵S△AOM=S△OBD=6，
即12AM⋅OM=12OD⋅BD=6，
∴AM⋅OD=12BD⋅OD，
∴BD=2AM，
∴DE=12AM=14BD，
∴DE=13BE，
∵S△ODE=14S△AOM=14×6=32，
∴S△ABE=3S△ODE=3×32=4.5，
故选：A.
根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形中位线定理、相似三角形的性质进行计算即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质是正确解答的关键．
9.【答案】a(a−7)
【解析】解：a2−7a=a(a−7).
故答案为：a(a−7).
用提取公因式法分解因式即可．
本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
10.【答案】−1
【解析】解： 18= 9×2=3 2，
由题意得：a+3=2，
解得：a=−1，
故答案为：−1.
根据二次根式的性质把 18化简，再根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
11.【答案】m≤18
【解析】解：∵二次函数y=2x2−x+m的图象与x轴有交点，
∴Δ=(−1)2−4×2×m≥0，
解得m≤18，
即m的取值范围为m≤18.
故答案为：m≤18.
利用根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4×2×m≥0，然后解不等式即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
12.【答案】一
【解析】解：∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k0时，y随x的增大而增大，当k