2025-2026学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年吉林省长春市南关区九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 48B. 6C. 1 5D. 12
2.一元二次方程x2−3x=0的根是( )
A. x1=0，x2=3B. x1=0，x2=−3
C. x1=−3，x2=3D. x1=1，x2=3
3.下列计算正确的是( )
A. 8+ 2= 10B. 8− 2= 6C. 8× 2=4D. 8÷ 2= 2
4.某班级有18位女同学和22位男同学，班上每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀.若老师随机从盒中抽出1张纸条，则抽到男同学名字的概率为( )
A. 12B. 911C. 920D. 1120
5.如图，甲、乙两位登山者同时从点A出发，一段时间后，甲步行m米到达点C，乙步行n米到达点B.若坡角为α，则甲、乙两人的垂直距离CD可以表示为( )
A. (m−n)csα米B. (m−n)sinα米C. m−ncsα米D. m−nsinα米
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D、E、F分别为AB、AC、AD的中点，连结CD、EF.若EF=3，则AB的长为( )
A. 9
B. 10
C. 12
D. 15
7.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC与△DEF是第一象限内以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OD上.若OA：AD=1：2，点A的坐标为(2,3)，则点D的坐标为( )
A. (6,4)
B. (4,6)
C. (6,9)
D. (9,6)
8.若关于x的一元二次方程ax2+bx−8=0(a≠0)有一个根为x=2025，则一元二次方程a(x+3)2+bx+3b=8(a≠0)有一个根为( )
A. x=2022B. x=2023C. x=2025D. x=2028
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.化简： (−3)2=______.
10.sin30∘+tan45∘=______.
11.二次根式 x−2有意义的条件是______.
12.若关于x的方程x2+4x+3−m=0没有实数根，则m的取值范围是 .
13.如图，AD//BE//CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=4，DE=3，EF=6，则AC的长为 .
14.如图，点E是正方形ABCD内一点，△ADE是等边三角形，连结BE、BD，BD与AE交于点F.给出下面四个结论：①∠EAB=2∠EDB；②△ABE∽△BEF；③S△BEFS△ABE=2− 3；④S△DBES△BEF= 3+2.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算： 40÷ 5+ 14× 72− 32.
16.(本小题6分)
解方程：x2−4x−10=0.
17.(本小题6分)
第十五届全运会开幕式上，吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”以活泼可爱的形象亮相，成为全场焦点.如图，现有三张正面分别印有“喜洋洋”、“乐融融”和“全运会会徽”图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片正面向下洗匀，小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.用画树状图(或列表)的方法，求小明抽出的两张卡片图案不同的概率.
18.(本小题7分)
已知代数式x2−3x+8，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
19.(本小题7分)
如图，为了测量旗杆BC的高度，在距离旗杆底部11米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=49∘.求旗杆BC的高.(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin49∘≈0.75，cs49∘≈0.66，tan49∘≈1.15)
20.(本小题7分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中的边AB上找一点D，使AD=BD；
(2)在图②中的边AB上找一点E，使AE=AC；
(3)在图③中的边AB上找一点F，连结CF，使△ACF∽△CBF.
21.(本小题8分)
为了倡导全民阅读，某校决定在双休日向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月共有1000人进馆，第三个月共有1440人进馆.
(1)求进馆人数的月平均增长率；
(2)已知该校图书馆每月能接纳人数不超过1750人，在进馆人数的月平均增长率不变的条件下，该校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数？请说明理由.
22.(本小题9分)
【问题提出】
如图①，在▱ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边BC上，AF与DE交于点P.若BFBC=35，求PEPD的值.
【问题解决】
如图②，在探究问题时，小亮尝试构造相似三角形求解.
以下是小亮的部分解题过程：
解：分别延长AF、DC交于点M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC.
∵BFBC=35，
BC=BF+CF，
∴CFAD=25，
∵AD//BC，
请补全缺失的解题过程.
【问题拓展】
(1)如图③，在▱ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边BC上，AF与DE交于点P.若BFBC=a，则PEPD的值为______；(用含a的代数式表示)
(2)如图④，在四边形ABCD中，AD//BC，点G在边AB的延长线上，DG与AC交于点P.若ABAG=m，ADBC=n，则PDPG的值为______.(用含m、n的代数式表示)
23.(本小题10分)
定义：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果a、b、c满足a+b+c=0，那么该一元二次方程称为“零点方程”.
(1)下列一元二次方程是“零点方程”的是______；(填序号)
①x2+x−2=0；②5x2−8x+3=2；③(x−1)2=0.
(2)求证：当a≠c时，“零点方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若某“零点方程”的一个根为x= 3，则这个方程可以是______；
(4)关于x的方程5x2−px+q=0是“零点方程”，且x=p是这个方程的一个根，求p的值.
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于点D，BC=8，AD=2.点P为边BC上一动点，连结AP，以AP为边作直角三角形APQ，使∠APQ=90∘，且AP=2PQ、点Q与点B在直线AP的两侧.
(1)求证：△APQ∽△CDA；
(2)当AQ⊥BC时，BP的长为______；
(3)当点Q落在边AC上时，求BP的长；
(4)连结CQ，当AQ所在直线将△PQC的面积分成1：3两部分时，直接写出BP的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A. 48=4 3，故选项A不符合题意；
B. 6是最简二次根式，故选项B符合题意；
C.1 5= 55，故选项C不符合题意；
D. 12= 22，故选项D不符合题意．
故选：B.
先根据二次根式的性质化简，然后再根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了最简二次根式，二次根式的性质与化简，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：x2−3x=0，
x(x−3)=0，
∴x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3.
故选：A.
利用因式分解法把方程转化为x=0或x−3=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3.【答案】C
【解析】解：A、原式=2 2+ 2=3 2，所以A选项错误；
B、原式=2 2− 2= 2，所以B选项错误；
C、原式= 8×2=4，所以C选项正确；
D、原式= 8÷2=2，所以D选项错误．
故选：C.
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
本题考查二次根式的混合运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵某班级有18位女同学和22位男同学，
∴抽到男同学名字的概率为2218+22=1120.
故选：D.
根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】B
【解析】解：由题意得：BC=AC−AB=(m−n)米，∠CBD=α，
在Rt△CBD中，sin∠CBD=CDBC，
∴CD=BC⋅sin∠CBD=(m−n)sinα米，
故选：B.
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴CD=2EF=2×3=6，
∵∠ACB=90∘，D是AB的中点，
∴AB=2CD=12.
故选：C.
由三角形中位线定理推出CD=2EF=6.由直角三角形斜边中线的性质得到AB=2CD=12.
本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边的中线，关键是由三角形中位线定理推出CD=2EF，由直角三角形斜边中线的性质得到AB=2CD.
7.【答案】C
【解析】解：∵OA：AD=1：2，
∴OA：OD=1：3，
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴ABDE=OAOD=13，
∵点A的坐标为(2,3)，
∴点D的坐标为(2×3,3×3)，即(6,9)，
故选：C.
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质求出ABDE，再根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：一元二次方程a(x+3)2+bx+3b=8(a≠0)化为a(x+3)2+(x+3)b−8=0，
把方程看作作关于(x+3)的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx−8=0(a≠0)有一个根为x=2025，
∴关于(x+3)的一元二次方程a(x+3)2+(x+3)b−8=0的一个根为x+3=2025，
解得x=2022，
即关于x的一元二次方程a(x+3)2+bx+3b=8的一个根为x=2022.
故选：A.
把方程a(x+3)2+(x+3)b−8=0看作作关于(x+3)的一元二次方程，则利用题意得到x+3=2025，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.【答案】3
【解析】解： (−3)2= 9=3，
故答案为：3.
先算出(−3)2的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把 (−3)2化为 9的形式是解答此题的关键．
10.【答案】32
【解析】解：sin30∘+tan45∘=12+1=32.
故答案为32.
分别把各特殊角度的三角函数值代入进行计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值．
11.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，再解不等式即可．
考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】m