吉林省长春市高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年九年级上册期末考试数学试卷（含答案）

这是一份吉林省长春市高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年九年级上册期末考试数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放天气预报B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．抛掷一枚硬币，落地时正面朝上D．任意画一个三角形，其内角和是
3．关于x的一元二次方程用配方法可变形为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ）
A．12B．6C．18D．16
5．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
6．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．(2，1)B．(2，0)C．(3，3)D．(3，1)
7．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．与轴交点坐标为D．函数的最大值是3
8．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（ ）
A．向上平移5个单位B．向左平移5个单位
C．向下平移5个单位D．向右平移5个单位
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9． ．
10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率（结果保留两位小数）约是 ．
11．如图，在中，，点D是边的中点，若，，则 ．
12．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ．
13．如图，是用12个相似的直角三角形（点的对应点是点）组成的图案，若，则的长为 ．
14．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点的坐标为．则下面四个结论：①；②；③不等式的解为；④；⑤，其中正确的序号为 ．
三、解答题（共78分）
15．计算：
16．解方程：
17．在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字1，2，3的小球，他们的形状、大小，质地完全相同，揽匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盘子，搅匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字．用列表法或树状图法求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率．
18．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长为）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？
19．如图，在中，，．
(1)实践操作：利用无刻度直尺和圆规作图（保留作图痕迹）要求：延长至点，使，连接；
(2)在（1）的条件下，设，求的值．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，请按下列要求计算并用无刻度的直尺画出图形．（保留作图痕迹）
(1)如图1，在中，______；
(2)如图2，在边上取一点，使得；
(3)如图3，在边上找一点，使得．
21．如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为，试解答下列问题：
（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式.
（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？
22．【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积．
【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．

以下是小明求解的值的部分过程：
解：在正方形中，
，
．
∵点E是边的中点，
．
，
．
．
请你补全缺失的求解过程．
【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________．
23．如图，在中，，，，为边中点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，连接．
(1)线段的长为_____；
(2)当时，求的值；
(3)当点落在内部（不包括边界）时，求线段长度的取值范围；
(4)当点落在的角平分线上时，直接写出线段的长度．
24．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，点在这条抛物线上，点的横坐标为．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)若，则的取值范围是_____；
(3)当抛物线上、两点之间部分最大值和最小值的差为时，求的值；
(4)当点在第一象限时，连接、，以、为邻边构造平行四边形，当对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为时，直接写出的值．
参考答案
1．B
解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故选：B．
2．D
解：、打开电视机，正在播放天气预报是随机事件，故本选项不符合题意；
、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故本选项不符合题意；
、抛掷一枚硬币，落地时正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；
、因为三角形内角和是，所以任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，故本选项符合题意；
故选：．
3．C
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，则，解得：．
故选：A．
5．B
解：如图：过A作交延长线于D，
由勾股定理可得：，
所以．
故选B．
6．A
由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴，
又∵点A(6，3)、B(6，0)．
∴OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选A．
7．D
解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，故A和B的说法都错误，
∴函数的最大值为3，故D说法正确；
当时，，
∴与轴交点坐标为，故C说法错误；
故选：D．
8．C
解：把函数，向下平移5个单位得，
令，得，
解得：，，
图象与x轴的两个交点为，
∴两交点距离为2，满足要求．
故选：．
9．
解：．
故答案为：．
10．0.82
解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约为0.82．
故答案为：0.82．
11．8
解：，点D是边的中点，，
．
，，
．
故答案为：8．
12．
解：如图：连接，
∵点D、E分别为的中点，
∴，
当时，的值最小，此时的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．##
解：∵有12个相似的直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：．
故答案为：．
14．①②④
解：∵抛物线开口向下，
∴
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，
∴抛物线与x轴的一个交点A的坐标为，
∴由函数图象可得当或时，，
∴不等式的解为或，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线，当时，y有最大值，
∴（m为任意实数），即（m为任意实数），
所以④正确；
∵时，，即，把代入得，
∴，所以⑤错误；
正确的序号为①②④，
故答案为：①②④．
15．2
解：
．
16．，
解：，
，
，
或，
，．
17．两次取出小球上的数字相同的概率为．
列表得：
∴一共有9种情况，两次取出的小球上的数字之和为奇数的有（2，3），（1，2），（3，2），（2，1），共有4种；
∴两次取出小球上的数字相同的概率为．
18．为
解：设矩形的边为，
由题可得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
答：当羊圈边为时，能围成一个面积为的羊圈．
19．(1)见解析
(2)
（1）解：如图：即为所求．
（2）解：，，，
∴，
，
，
，
，，
，，
∴
．
20．(1)1
(2)答案见解析
(3)答案见解析
（1）解：由勾股定理得：
，，
，
，
．
故答案为：1；
（2）由（1）知：，，
如图，取的中点D，连接，
则，
则点D即为所求；
（3）取格点M，N使，， ，
连接交于点E，
则，
，
，，
，
则点E即为所求．
21．（1）；（2）这次跳投时，球出手处离地面.
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴可设抛物线的函数关系式为.
∵篮圈中心在抛物线上，将它的坐标代入上式，得，
∴，
∴
（2）设这次跳投时，球出手处离地面，
因为（1）中求得，
∴当时，
.
∴这次跳投时，球出手处离地面.
22．见详解；
解：在正方形中，
，
，
∵点E是边的中点，
．
，
，
，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．(1)4
(2)
(3)
(4)
（1）解：∵在中，，，，
∴．
故答案为：4．
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∵为边中点，
∴，即，
如图，延长交于G，
∵，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转至，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
（3）解：如图：当点F在上时，
∵将线段绕点顺时针旋转至，连接，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：；
如图：当点F在上时，过D作则，，
∴，
∴，即，,
∵将线段绕点顺时针旋转至，连接，
∴，，
∴,
∴,
∴．
综上，线段长度的取值范围．
（4）解：如图：连接，作，即，
∵点落在的角平分线上，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
经检验是原方程的解，
∴，
∵，，
∴．
24．(1)
(2)
(3)或
(4)
（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴当时，有最大值4；
∵当时，；当时，；
∴当，则的取值范围是．
（3）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点在抛物线上关于对称轴对称的点坐标为，
如图：当时，最高点为A，最低点为P，即最大值为3，最小值，

则最大值和最小值之差，
解得：（不符合题意舍去）或；
当时，最高点为点P，最低点为A，即最大值为，最小值3，
则最大值和最小值之差，
解得：（不符合题意舍去）或；
当时，最高点为顶点，最低点为A，即最大值为4，最小值3，
则最大值和最小值之差，不符合题意；
当时．最高点为顶点．最低点为P，即最大值为4，最小值为，
则最大值与最小值的差明显大于1，不符合题意．
综合上述，当或时，、两点之间部分最大值和最小值的差为．
（4）解：如图：由题意可知：、，，设，
∵以、为邻边构造平行四边形，
∴，解得：，即，
设所在的直线方程为，
，解得：，
∴所在的直线方程为，
①如图：当点P在对称轴的左侧，即时，延长交y轴于C，过B作轴交于D，
∴，
∴，
∴；
∵平行四边形，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∵对称轴把平行四边形分成的两部分图形面积比为，
∴当，
∴，解得：（不符合题意舍去）；
当，
∴，解得：（不符合题意舍去）；
②如图：当点P在对称轴的右侧，即时，延长交y轴于C，过B作轴交与D，对称轴与分别相交于点E、M、F，
∴四边形是平行四边形，
∴
由①可知：，，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∴；
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∴；
∴，，
∴，，
∴
，
∴当，
∴，解得：；
当，
∴，解得：（不符合题意舍去）；
综上所述，．
射击次数
“射中九环以上”的次数
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
求解过程缺失
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）