河南省开封市等2地2026届高三上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A B. C. D.
3. 函数的极小值为（ ）
A. B. C. D. 7
4. 已知双曲线一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ）
A. 12B. 8C. D.
5. 在中，，，，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
6. 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C D.
8. 已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二．多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9
B. 若，，且，则C，D相互独立
C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D. 若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20
10. 已知均为正实数，且，则（ ）
A. B.
C D.
11. 已知正数满足，则（ ）
A. 是的函数B. 是的函数
C. D. 的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数与的图象关于直线对称，则______．
13. 写出一条与圆和抛物线都相切直线的方程__________.
14. “四进制”是一种以为基数的计数系统，使用数字，，，来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以的相应次方（从开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；四进制数转换为十进制数为；现将所有由，，组成的位（如：，）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被整除的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，集合．
（1）若存在，使得，求的取值范围
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的单调递减区间；
（2）先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，.

（1）求棱的长；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 图1是一种可以作出椭圆的工具．是滑槽（足够长）的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线为椭圆．当时，记画出的曲线为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求曲线的方程；
（2）过坐标原点的任一直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，过点的任一直线与交于，两点．
（i）求证：；
（ii）求四边形面积的取值范围．
19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设．
（1）求t的值；
（2）求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
（3）求的面积．