2025_2026学年甘肃省兰州市红古区九年级上学期10月期中数学试题-附答案

这是一份2025_2026学年甘肃省兰州市红古区九年级上学期10月期中数学试题-附答案，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2+2x−5=0的一次项系数是（ ）
A.1B.2C.−5D.0

2.下列有关菱形、矩形、正方形具有的共同性质是（ ）
A.邻边相等B.对角相等
C.对角线互相垂直D.对角线相等

3.将一元二次方程x2−6x−9=0化成(x+a)2=b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是( )
A.−3，−18B.3，18C.3，−18D.−3，18

4.“长城是中华民族的骄傲”的英文是“TheGreatWallistheprideftheChinesenatin”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（ ）
A.17B.37C.110D.18

5.如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A，C对应的刻度（单位：cm）分别为1和5，则BD的长为（ ）
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

6.若m，n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则m2+4m+n的值是（ ）
A.6B.12C.0D.18

7.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC=（ ）
A.125∘B.130∘C.135∘D.145∘

8.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（ ）
(1+x)=12.93
(1+x)2=12.93
+8.98(1+x)2=12.93
+8.98(1+x)+8.98(1+x)2=12.93

9.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（ ）
A.20cmB.15cmC.10cmD.5cm

10.关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0与bx2+ax+c=0称为“交换二次方程”．如x2+2x+5=0与2x2+x+5=0就是“交换二次方程”．现有关于x的一元二次方程：(m−2)x2−4x+1=0与(n+6)x2+3x+1=0是“交换二次方程”．那么代数式mx2+nx+2031能取到的最小值是（ ）
A.2036B.2030C.2032D.2026

11.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD // x轴，AD=4，∠A=60∘．将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是（ ）
A.0,3B.0,−3C.0,23D.0,−23
二、填空题

12.当m=__________时，关于x的方程(m−3)xm2−7−x=5是一元二次方程．

13.在▱ABCD中，给出下列条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC．其中能使▱ABCD成为菱形的是________________．

14.定义运算：m※n=mn2−mn−2，例如：4※1=4×12−4×1−2=−2.则方程2※x=1的根的情况为________．

15.如图，ABCD和DEFG是两个不等的正方形，连接BG交DE于H，如果△BHE面积为10，则△DHF面积为__________________．
三、解答题

16.解方程：x2−4x−32=0

17.如图，在正方形ABCD中，G是边BC上一点，连接AG，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF∥DE，且交AG于点F．求证：AE=BF．

18.如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
（2）在(1))条件下，连接BC,CD,AC，AC与BD交于点O，若AB=13，BD=10，求点B到AD的距离．

19.落日熔金，沙海与碧波相映成辉，千年壁画随歌声苏醒．8月29日，由抖音主办，甘肃省文化和旅游厅、敦煌市委宣传部指导举办的鸣沙山月牙泉“抖音七夕落日派对”隆重启幕．如图，现准备利用活动场地一面墙MN(MN最长可用25m)，用总长为40m的丝带（靠墙一面不用丝带）围成一个矩形ABCD观众区．当AB长度为多少时，矩形观众区的面积为150m2？

20.如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，以BC为对角线向外作四边形BECF，使∠BCF=∠AEB，∠CBF=∠DEC．求证：四边形BECF是矩形．

21.阅读理解材料：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，求nm+mn的值．
解：由题意知m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=1，mn=−1，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=1+2−1=−3．
解决以下问题：
（1）方程x2−4x−3=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2________，x1x2=________．
（2）已知实数m，n满足m2−3m+1=0，n2−3n+1=0，且m≠n，求1m+1n的值．

22.为了解同学们对某月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
（1）本次被抽样调查的学生总人数为________，扇形统计图中，m= ________；
（2）请补全条形统计图；
（3）甲、乙两位同学根据调查的数据发现，A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率

23.已知关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+3m−12=0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根，当m=_______时，矩形ABCD是正方形，此时正方形的边长是________．

24.平凉米香醋历史悠久，相传可追溯至远古的黄帝问道广成子时期．某超市销售一批精装平凉米香醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元．为了扩大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋每降价1元时，平均每天可多售出4瓶．超市要想使这批米香醋的销售利润平均每天达到396元，每瓶醋应降价多少元？

25.在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张长8cm，宽6cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形．
【解答问题】
（1）方案设计正确的是________（写出序号即可）；
（2）请选择一种正确的方案进行证明；
（3）直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少．

26.综合与探究
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：
（1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
性质探究：
（2）如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论：
①________；
②________；
问题解决：
（3）如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE,EG,GC,EC,BG，问EC,BG有什么位置关系和数量关系？直接写出结果．
拓展应用：
（4）如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB,CD的中点．试探索BD与MN的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
2025-2026学年甘肃省兰州市红古区九年级上学期10月期中数学试题
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案．
【解答】
一元二次方程x2+2x−5=0的一次项系数是2．
故选：B．
2.
【答案】
B
【考点】
矩形的性质
利用菱形的性质证明
正方形的性质
【解析】
本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，根据菱形、矩形、正方形的性质逐项分析判断，即可求解．
【解答】
解： A． 邻边相等：菱形和正方形满足，但矩形邻边不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意．
B． 对角相等：菱形、矩形、正方形均为平行四边形，对角均相等，本选项符合题意．
C． 对角线互相垂直：菱形和正方形满足，但矩形对角线不一定垂直（仅正方形垂直），本选项不符合题意；
D． 对角线相等：矩形和正方形满足，但菱形对角线不一定相等（仅正方形相等），本选项不符合题意．
综上，三者共同性质为对角相等，
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】
解：∵x2−6x−9=0，
∴x2−6x=9，
则x2−6x+9=18，
即x−32=18，
∴a=−3，b=18.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
求某事件的频率
【解析】
本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可．
【解答】
解：一共40个字母，字母“i”出现了4次，
∴P=440=110；
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
根据矩形的性质求线段长
【解析】
本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出AC的长度，根据矩形的性质即可求解．
【解答】
解：由题意得：AC=4cm，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4cm．
故选：C．
6.
【答案】
A
【考点】
已知式子的值，求代数式的值
根与系数的关系
【解析】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉掌握根与系数的关系是解题的关键．
把x=m代入x2+3x−9=0可得到m2+3m=9，再由根与系数的关系可得到m+n=−3，转化m2+4m+n为m2+3m+(m+n)，再分别代入m2+3m=9和m+n=−3运算即可．
【解答】
已知m，n是一元二次方程x2+3x−9=0的两个根，则m2+3m=9．
由根与系数的关系，得m+n=−3，
因此m2+7m+n=m2+3m+(m+n)=9−3=6．
故选：A．
7.
【答案】
C
【考点】
三角形内角和定理
根据正方形的性质求角度
【解析】
由正方形的性质可得∠ACB=∠BAC=45∘，可得∠1+∠BCP=45∘，由∠1=∠2得到∠2+∠BCP=45∘，由三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠BAC=45∘，
∴∠1+∠BCP=45∘，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BCP=45∘，
∵∠2+∠BCP+∠BPC=180∘，
∴∠BPC=180∘−(∠2+∠BCP)=135∘．
故选：C．
8.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式．
根据题意可得出第二周的票房为8.98(1+x)，第三周的票房为8.98(1+x)2，将第三周的票房收入代入即可得出答案．
【解答】
增长率为x，则第二周的票房为8.98(1+x)，第三周的票房为8.98(1+x)2，
所以可列方程为8.98(1+x)2=12.93．
故选：B．
9.
【答案】
A
【考点】
等腰梯形的性质
菱形的判定
【解析】
根据等腰梯形的性质及三角形中位线的性质可推出四边形EFGH为菱形，根据菱形的性质可求得其边长，再根据三角形中位线的性质即可求得梯形对角线AC的长度．
【解答】
解：连接BD
∵ 四边形ABCD是等腰梯形
∴ AC=BD
∵ 各边的中点分别是E、F、G、H
∴ HG=12AC=EF，EH=12BD=FG
∴ HG=EH=EF=FG
∴ 四边形EFGH是菱形
∵ 四边形EFGH场地的周长为40cm
∴ EF=10cm
∴ AC=20cm
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“交换二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【解答】
因为(m−2)x2−4x+1=0与(n+6)x2+3x+1=0是“交换二次方程”，
所以m−2=3n+6=−4 ，解得m=5n=−10 ，
则mx2+nx+2031=5x2−10x+2031
=5x2−2x+2031
=5x2−2x+1−5+2031
=5(x−1)2+2026，
当且仅当x−1=0，即x=1时，5x2−10x+2031取得最小值2026，
即代数式mx2+nx+2031能取到的最小值是2026．
故选：D．
11.
【答案】
D
【考点】
含30度角的直角三角形
勾股定理的应用
利用菱形的性质求线段长
根据旋转的性质求解
【解析】
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质可得，A、B、C均在坐标轴上，再由直角三角形的性质可得OD=12AD=2，然后由勾股定理可得到OA的长，即可求解．
【解答】
解：根据菱形的对称性可得：当点D落在x轴正半轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD=60∘,AD=4，
∴∠OAD=30∘，
∴OD=12AD=2，
∴AO=AD2−OD2=16−4=23，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=23，
∴点C的坐标为0,−23．
故选：D
二、填空题
12.
【答案】
−3
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程ax2+bx+c=0中，①方程最高次数为二次；②二次项系数a≠0．
【解答】
解：由题意可得：m2−7=2，且m−3≠0，
解得：m=−3．
故答案为：−3．
13.
【答案】
①③
【考点】
添一个条件使四边形是菱形
【解析】
根据菱形和矩形的判定方法即可解题,见详解.
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴①AB=BC；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,此项正确,
②AC=BD；根据对角线相等的平行四边形是矩形,此项错误,
③AC⊥BD；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,此项正确,
④AB⊥BC；根据有一个角是90∘的平行四边形是矩形,此项错误,
综上, 能使▱ABCD成为菱形的是①③.
14.
【答案】
有两个不相等的实数根
【考点】
根的判别式
定义新符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 2※x=1，
∴ 2x2−2x−2=1，
整理得：2x2−2x−3=0，
Δ=(−2)2−4×2×(−3)=28>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根.
故答案为：有两个不相等的实数根.
15.
【答案】
10
【考点】
根据正方形的性质求面积
【解析】
本题考查了正方形的性质，等底等高的三角形面积相等等知识，掌握这些知识是解题的关键；连接BD,AE,AH，由正方形的性质得S△BHE=S△AHE，S△DHF=S△DHG；而S△ADE=S△BDG，且S△BDH=S△ADH，则可得S△DHF=S△BHE=10，从而问题求解．
【解答】
解：如图，连接BD,AE,AH，
∵四边形ABCD和DEFG是两个正方形，
∴AB // CD，DE // GF，DG=DE,AB=AD，
∴S△BHE=S△AHE，S△DHF=S△DHG；
∵S△ADE=S△AHE+S△ADH=S△BHE+S△ADH=12DE⋅AD=12DG⋅AD，
S△BDG=S△BDH+S△DHG=S△BDH+S△DHF=12DG⋅AB=12DG⋅AD，
∴S△ADE=S△BDG；
∵S△BDH=S△ADH，
∴S△DHF=S△BHE=10；
故答案为：
三、解答题
16.
【答案】
x1=8，x2=−4
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．
直接运用配方法求解即可．
【解答】
解：x2−4x−32=0，
x2−4x=32，
x2−4x+4=32+4，
(x−2)2=36，
∴x−2=±6,
∴x1=8，x2=−4
17.
【答案】
见解析
【考点】
两直线平行内错角相等
全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
根据正方形的性质证明
【解析】
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定定理是解题的关键．通过正方形的性质得出相关角和边的关系，再结合垂直的性质得到角的等量关系，最后利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等．
【解答】
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB=AD，∠BAD=90∘，
∵ DE⊥AG，
∴ ∠AED=∠DEF=90∘，
∴ ∠ADE+∠DAE=90∘，
又∵ ∠BAF+∠DAE=∠BAD=90∘，
∴ ∠ADE=∠BAF，
∵ BF∥DE，
∴ ∠AFB=∠DEF=90∘=∠AED，
在△ABF和△DAE中，
∠AFB=∠DEA∠BAF=∠ADEAB=DA
∴ △ABF≅△DAE(AAS)，
∴ AE=BF．
18.
【答案】
见解析；
图见解析，点B到AD的距离是12013．
【考点】
线段垂直平分线的性质
作垂线(尺规作图)
勾股定理的应用
根据菱形的性质与判定求线段长
【解析】
（1）先运用尺规作出线段BD的垂直平分线，然后再作出OC=OA即可确定点C；
（2）先根据题意作图，再由轴对称的性质、等角对等边可证明四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD、OB=12BD=5、AD=13．运用勾股定理可得OA=12，如图：过B点作BE⊥AD于E，然后运用等面积法列方程求解即可．
【解答】
（1）解：如图：点C即为所求．
（2）解：∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB=AB，CD=AD．
∴AB=BC=CD=AD．
∴四边形ABCD是菱形．又AB=13，BD=10，
∴AC⊥BD，OB=12BD=5，AD=AB=13．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=BA2−OB2=12，
如图：过B点作BE⊥AD于E，
∵S△ABD=12×BD×AO=12×AD×BE，
∴10×12=13×BE．
∴BE=12013．
∴点B到AD的距离是12013．
19.
【答案】
当AB长度为15m时，矩形观众区的面积为150m2
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
本题考查一元二次方程的应用．
本题可先设出AB的长度，再根据矩形周长和面积公式列出方程，最后求解方程并结合墙长的限制条件确定AB的长度．
【解答】
解：设AB=x米，则BC=(40−2x)米，
根据题意得：x(40−2x)=150，
整理得：x2−20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15，
当x=5时，40−2x=40−2×5=30>25，不符合题意，舍去；
当x=15时，40−2x=40−2×15=100，mn=1>0．
∴m，n均为正数，
∴1m+1n2=1m+1n+2mn=m+nmn+2mn=31+21=5．
∴1m+1n=5．
22.
【答案】
120，30
见解析
13
【考点】
由样本所占百分比估计总体的数量
画条形统计图
条形统计图和扇形统计图信息关联
列表法与树状图法
【解析】
（1）本题考查了样本容量，圆心角的计算，画条形统计图，频数的计算，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，样本估计总体， 掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
根据频数除以所占百分比等于样本容量，再计算A的占比即可;
(2)根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可;
(3)画树状图，求解即可.
【解答】
（1）解：根据题意，得18÷15%=120（人），
m%=36120=0.3=30%，
故m=30．
故答案为：120，
（2）喜欢豆沙月饼的人数为：120−36−12−18−30=24（人），
补图如下：
（3）根据题意，画树状图如下：
一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果，
P​甲、乙两同学恰好选择同一种月饼=39=13．
23.
【答案】
见解析
7，3
【考点】
根的判别式
根据一元二次方程根的情况求参数
正方形的判定
【解析】
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，运用根的判别式进行判定即可求解；
（2）根据题意，当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，即方程有两个相等的根，所以(m−7)2=0，即可求解m=7，再代入方程求解即可；
【解答】
（1）解：证明：关于x的一元二次方程x2−(m−1)x+3m−12=0，
∴Δ=−(m−1)2−4×1×(3m−12)=(m−7)2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根，
∵当矩形ABCD是正方形时，AB=BC，即方程有两个相等的根，
∴(m−7)2=0，
解得，m=7，
当m=7时，一元二次方程为：x2−6x+9=0，
∴(x−3)2=0，
解得，x1=x2=3，
即AB=BC=3，
故答案为：7，3；
24.
【答案】
每瓶醋应降价6元
【考点】
营销问题(一元二次方程的应用)
【解析】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，根据题意，列出方程，即可求解．
【解答】
解：设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元，
根据题意得：(15−x)(20+4x)=396，
整理得：x2−10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6，
因要尽快减少库存，故x=6，经检验，符合题意．
答：每瓶醋应降价6元．
25.
【答案】
①②
方案①，见解析
方案①面积最大，最大面积为37.5cm2
【考点】
线段垂直平分线的性质
与三角形中位线有关的证明
根据矩形的性质求线段长
根据菱形的性质与判定求面积
【解析】
（1）根据四边相等的四边形是菱形，结合三角形中位线定理，判定两种方案都是正确的，解答即可；
（2）根据四边相等的四边形是菱形，进行证明即可；
（3）利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和平行四边形的面积计算，比较大小即可．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定和性质定理是解题的关键．
【解答】
（1）解：根据作图，四条边相等的四边形是菱形，可以判定，两种方案都是中正确的；
故答案为：①②；
（2）解：方案1：四边形BEDF为菱形，理由如下：
由作法得：EF是BD的垂直平分线，
∴EF⊥BD,OB=OD,EB=ED,FB=FD，
∴∠BEO=∠DEO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD // BC，
∴∠BFO=∠DEO，
∴∠BFO=∠BEO，
∴BF=BE，
∴BF=BE=ED=DF，
∴四边形BEDF为菱形，
方案2：四边形EFGH为菱形，理由如下：
连接AC,BD，如图，
∵矩形ABCD四条边的中点E，F、G、H，
∴AC=BD,EH,FG,EF,HG分别为△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的中位线，
∴EH=12BD=FG,EF=12AC=HG，
∴EH=FG=EF=HG，
∴四边形EFGH为菱形；
（3）解：方案1:∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm,BC=8cm，
∴AD=BC=8cm,∠A=90∘，
设BF=BE=ED=DF=xcm，则AE=(10−x)cm，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴62+(8−x)2=x2，解得：x=254，
即DE=254，
∴菱形BEDF的面积为DE⋅AB=254×6=37.5cm2；
方案2：如图，连接EG,FH，
∵矩形ABCD四条边的中点E，F、G、H，
∴四边形ABFH、BCGE都是矩形，
∴BC=EG=8cm,FH=AB=6cm，
∴菱形EFGH的面积为12EG⋅FH=12×6×8=24cm2，
∴方案①面积最大，最大面积为37.5cm2．
26.
【答案】
D
①AC=BD，②AC⊥BD
EC=BG，EC⊥BG
MN=22BD，理由见解析
【考点】
勾股定理的应用
与三角形中位线有关的证明
根据正方形的性质与判定求线段长
中点四边形
【解析】
（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
（2）由中位线的性质可得EF=12AC,EF // AC,FG=12BD,FG // BD，结合正方形的性质可得结论；
（3）取四边形BCGE边BC、CG、GE、BE中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，利用三角形中位线定理可证得四边形MNRL是平行四边形，再证得△EAC≅△BAG，推出四边形MNRL是菱形，再由∠LMN=90∘，可得菱形MNRL是正方形，即可证得结论；
（4）设AD、BC的中点分别为E、F，并顺次连接EN、NF、FM、ME，可得四边形ENFM是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论．
【解答】
（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
所以其中点四边形是正方形；
故选：D；
（2）①AC=BD，②AC⊥BD；理由如下：
如图1，∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=HG=EH,∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90∘，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF=12AC,EF // AC,FG=12BD,FG // BD，
∴AC⊥BD,AC=BD，
故答案为：AC⊥BD,AC=BD；
（3）如图，取四边形BCGE边BC、CG、GE、BE中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形MNRL，连接CE交AB于P，连接BG交CE于K，
∵四边形BCGE各边中点分别为M、N、R、L，
∴MN、NR、RL、LM分别是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位线，
∴MN // BG,MN=12BG,RL // BG,RL=12BG,RN // CE,RN=12CE,ML // EC,ML=12CE，
∴MN // RL,MN=RL,RN // CE // ML,RN=ML，
∴四边形MNRL是平行四边形，
∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，
∴AE=AB,AG=AC,∠EAB=∠GAC=90∘，
∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAG，
∴△EAC≅△BAGSAS，
∴CE=BG,∠AEC=∠ABG，
又∵RL=12BG,RN=12CE，
∴RL=RN，
∴四边形MNRL是菱形，
∵∠EAB=90∘，
∴∠AEP+∠APE=90∘．
又∵∠AEC=∠ABG,∠APE=∠BPK，
∴∠ABG+∠BPK=90∘，
∴∠BKP=90∘，
∴EC⊥BG，
综上所述，EC,BG的位置关系为EC⊥BG，数量关系为EC=BG；
（4）MN=22BD，理由如下：
如图，设AD、BC的中点分别为E、F，并顺次连接EN、NF、FM、ME，
∵四边形ABCD是“中方四边形”，
∴四边形ENFM是正方形，
∴FM=FN,∠MFN=90∘，
∴MN=FM2+FN2=2FN，
∵F，N分别是BC,CD的中点，
∴FN=12BD，
∴MN=2FN=2×12BD=22BD．××小组关于××学校学生月饼品种喜爱情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
××学校九年级部分学生
数据的整理与描述
品种
A：莲蓉月饼
B：五仁月饼
C：豆沙月饼
D：水果月饼
E：冰皮月饼
数据分析及运用
①小明的方案，如图1
连接BD；
作BD的垂直平分线，交AD,BC,BD于点E，F，O；
连接BE,DF；
四边形BFDE即为所作的菱形．
②小彤的方案，如图2
利用刻度尺找到四条边的中点E，F，G，H；
顺次连接E，F，G，H；
四边形EFGH即为所作的菱形．