河南省南阳市2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题含答案

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注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义求解即可.
【详解】由题可知，，又，
所以.
故选：B.
2. 已知命题p：，有，则（ ）
A. p是真命题，p的否定：，使
B. p是真命题，p的否定：，使
C. p是假命题，p的否定：，使
D. p是假命题，p的否定：，使
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定及一元二次不等式恒成立的条件判断即可.
【详解】因为恒成立，所以命题p是假命题；
p的否定是：,使.
故选：D.
3. 设甲：；乙：，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性得到，但不能保证两者非负，故充分性不成立，必要性成立，得到答案.
【详解】，但不一定得到，例如为负数，充分性不成立，
，必要性成立，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
故选：B
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，根据时，，可得结论.
【详解】函数定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，故BC不符合题意；
当，，所以，故D不符合题意，A符合题意.
故选：A.
5. 已知幂函数在上单调递增，则实数值为（ ）
A. -2B. -1C. 2D. -1或2
【答案】B
【解析】
【分析】由函数是幂函数解出，再由单调性判断即可.
【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
故选：B.
6. 已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】结合指数运算法则与基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
7. 关于x的不等式恒成立，则实数a的值为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式恒成立，得恒成立，从而求得.
【详解】因为函数是增函数，所以当时，；当时，；当时，.
所以不等式恒成立，等价于恒成立.
所以.
故选：C.
8. 我们知道：的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.有同学发现可以将其推广为：的图象关于成中心对称图形的充要条件是为奇函数.若的图象的对称中心为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求得函数图象的对称中心，根据对称性求得的值.
【详解】由题可知，若函数图象的对称中心为，则为奇函数，
即为奇函数.
所以
所以且，解得.
所以的图象的对称中心为，即有，
所以
所以
，
.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD选项，由不等式性质可得；B选项，举出反例；C选项，由幂函数单调性可得C正确.
【详解】A选项，根据不等式性质可得，若，则，A正确；
B选项，若，，则，B错误；
C选项，在R上单调递增，若，则，C正确；
D选项，若，则，则，不等式两边同除以得，D正确.
故选：ACD
10. 已知函数（其中表示不超过x的最大整数），则下列选项不正确的是（ ）
A. B. 函数的值域为
C. 函数是增函数D. 方程无解
【答案】BC
【解析】
【分析】易得函数是周期为1函数，分析当时，函数的性质，画出其简图，逐项分析，可得正确答案.
【详解】对于A，由已知可得：，所以选项A正确；
当时，函数，
因为表示不超过x的最大整数，所以,所以,
又因为，所以
所以对于，恒有,
所以函数是周期为的函数，
其简图如下：
对于B，函数的值域为，所以选项B错误；
对于C，函数在上单调递增，但在整个定义域上不单调，所以不是增函数，所以选项C错误；
对于D，函数图象与直线无交点，所以方程无解，所以选项D正确.
故选：BC.
11. 对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（ ）
A. 函数是倒函数
B. 函数是倒函数
C. 若是上的倒函数，当时，，方程没有正整数解
D. 若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数．记，则是的充要条件
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间的充分性和必要性.
【详解】对于A，对于定义域为，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确．
对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误．
对于C，令，则，由倒函数的定义，可得，
所以，所以，要使有正整数解，
则，当时，；
当时，；所以没有正整数解，故C正确．
对于D，充分性：当时，且，因为是增函数，
所以，，即，，
所以．
必要性：当时，
有，
因为恒大于0，所以，即，
所以，因为是增函数，所以，即；
综上可得是的充要条件，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解倒函数定义.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某学校先后举办了多个学科的课余活动.已知高一（1）班全体同学中30名参加了数学活动，26名参加了物理活动，15名同时参加了数学､物理两个学科的活动，还有14名两个均未参加，则这个班有__________名同学.
【答案】55
【解析】
【分析】画出维恩图可解.
【详解】
由图可得这个班共有学生人.
故答案为：55.
13. 已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为__________.（结果写成集合或区间的形式）
【答案】或
【解析】
【分析】由分段函数为单调递减函数得到不等式组，解不等式组可得.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：或.
14. 已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：）与速度v（单位：）的平方及汽车总质量成正比.设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是__________（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过）
【答案】26
【解析】
【分析】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则.根据已知条件，先求出的值.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为，则满足，由此可求得的范围，从而求得最大限制时速.
【详解】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为，卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则，
当时，，
①
当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物5m以外处停车的速度为，
则满足②
由①②得③，
对于，必有一正一负根，不妨设其两根为：，则不等式
的解集为.
因为要求的最大限制时速为正数，且在上单调递增，
所以不妨取代入；
不妨取代入；
不妨取代入；
所以，所以最大限制时速应是.
故答案为：26.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）由指数幂的运算可；
（2）由对数的运算性质计算可得.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
16. 已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，有，求的最小值，并求取最小值时的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案；
（2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案.
【小问1详解】
当时，不等式可化为，
即：，解得：，
即原不等式的解集为
【小问2详解】
由可知，即：.
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
即当时，取得最小值.
17. 已知函数是奇函数，.
（1）求a的值；
（2）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）在上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
（3）由函数表达式可知，在上恒有，在上有，不等式转化为，从而得到不等式组，求出答案.
【小问1详解】
因为函数是奇函数，所以，
则，解得：.
【小问2详解】
在上单调递减.证明过程如下：
证明：任取，
则
，
因为单调递增，所以，
所以，所以，
即在上单调递减.
【小问3详解】
，则，
因为函数是奇函数，在上单调递减，且在上恒有，
所以在上有.
由可知，不等式可化为.
由在上单调递减，可得：，
由得或，由得，
故或.
所以原不等式解集为.
18. 已知函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）当]时，求函数的最小值；
（3）若，存在实数，使f，求b的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域；
（2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得；
（3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
令，则，则在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为.
【小问2详解】
令，则，对称轴为.
当时，，则在上单增，所以函数的最小值为；
当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为；
当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为.
综上所述，.
【小问3详解】
由有.
即，所以.
因为，所以.
令当且仅当，即时，等号成立；
因为所以.
令，则是增函数，
所以，所以，
即实数的取值范围为.
19. 已知函数
（1）讨论的奇偶性（直接写出奇偶性，不用证明）；
（2）当时，关于的不等式在上有解，求的取值范围；
（3）若是奇函数，对任意时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分别求出相应的，即可得解；
（2）参变分离可得当时能成立，令，结合复合函数的单调性说明的单调性，进而得到其值域，即可得解；
（3）由（1）可得，即可判断函数的单调性，依题意可得，求出的范围，即可得到，再分和两种情况讨论，分别求出的取值范围.
【小问1详解】
因为，定义域为，
则，
若，即，所以，所以，解得，
即当，为偶函数；
若，即，所以，所以，解得，
即当时，为奇函数；
综上可得，当时，为偶函数；
当时，为奇函数；
当且时，为非奇非偶函数.
【小问2详解】
不等式可化为，即当时能成立.
令，令，则在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，时，，所以在上的值域是
所以的取值范围为.
【小问3详解】
由（1）可知，，
又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
若对任意的时，不等式恒成立，
则有，
当时，，所以，所以，
所以，所以恒成立，
当时，有，化简得，解得或，
当时，有，化简得，解得或，
综上：的取值范围是.