四川省荣县中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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第 I 卷（选择题）
一、单选题.
1. 树人中学田径队有男运动员 30 人，女运动员 20 人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动员
中抽出一个容量为 10 的样本，则应抽取男运动员的人数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】用分层抽样知识计算即可求解.
【详解】应抽取男运动员的人数为 人.
故选：C.
2. 已知 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标表示求出 ，进而由向量的坐标运算求出结果.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
3. 已知一组数据： 的平均数为 4，方差为 10，则 的平均数和方
差分别是（ ）
A. 10，90 B. 4，12 C. 4，10 D. 10，10
【答案】A
【解析】
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【分析】利用数据 平均数和方差的性质及计算公式直接求解.
【详解】 一组数据 的平均数是 4，方差为 10，
另一组数 的平均数和方差分别是
， ，
故选：A
【点睛】本题主要考查平均数、方差的求法，解题时要认真审题,注意平均数、方差的性质的合理运用，属
于容易题.
4. 中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数
可以表示为两个素数的和”．如 4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从 3，5，7，11，13 这 5 个素数中，
随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 3，5，7，11，13 这 5 个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和
等于 16 的结果，根据等可能事件的概率公式可求．
【详解】解：从 3，5，7，11，13 这 5 个素数中，随机选取两个不同的数共有 钟可能，
其和等于 16 的结果（3，13），（5，11）2 种等可能的结果，
所以概率 .
故选：B.
5. 已知 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量基底的定义进行判断即可.
【详解】A：因为 ，
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所以 是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底；
B：假设 是共面向量，
所以存 实数 ，使得 成立，
因为 为空间的一个基底，
所以有 ，显然方程组无实数解，因此假设不成立，
所以本选项向量能构成空间的一个基底；
C：因为 ，
所以 是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底；
D：因为 ，
所以 是共面向量，因此本选项向量不能构成空间的一个基底，
故选：B
6. 已知从点 发出的一束光线，经过直线 反射，反射光线恰好过点 ，则反射光线
所在的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用反射原理，先求出点 关于直线 的对称点 的坐标，再求直线 的方
程即可.
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【详解】
如图，设点 关于直线 的对称点为 ，
则有 ，解得 ，即 ，
依题意，反射光线即直线 ，因 ，则直线 的斜率为 ，
于是反射光线所在的直线方程为 ，即 .
故选：C.
7. 若函数 的图象与直线 有公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. ． C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出函数 的图象，利用直线与圆的位置关系求解.
【详解】函数 的图象如图所示：
由图象知：当直线过点 A（-1，0）时，m=1；
当直线与半圆相切时： ，解得 或 （舍去）；
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因为函数 的图象与直线 有公共点，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：A
8. 如图，点 是棱长为 1 的正方体 的侧面 上的一个动点（包含边界），则下列
结论不正确的（ ）
A. 当 时，点 一定在线段 上
B. 当 为 的中点时，三棱锥 的外接球的表面积为
C. 当点 在棱 上运动时， 的最小值为
D. 线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成角的正切值为
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面垂直判定 A，应用空间向量法计算角及外接球球心，结合表面积公式计算判断 B，D，应
用展开图及勾股定理计算判断 C.
【详解】对于 A，若 ， 又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ，可得 平面 ，
所以 ，又因为 是正方形，所以 ，所以点 一定在线段 上，故 A 正确；
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，
对于 C，如图，旋转平面 ，使之与平面 共面，
连接 交 于 ，此时 最短为 ，大小为 ，故 C 错误，
对于 B，分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
当 为 的中点时，则 ， ， ，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 ，
即 ，解得 ，
∴三棱锥 的外接球半径 ，
∴三棱锥 的外接球表面积为 ，则 B 正确；
设线段 上存在点 ，设 ，
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则可得 ，又 ， ， ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，若正切值为 ，则 ，
即 ，化简得 ，
解得 ，故线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成角的正切值为 ，故 D 正
确.
故选：C.
二、多选题.
9. 某区创建全国文明城市，指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评.工作人员在本区选取
了甲、乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取 10 个实地点位进行现场测评，下表是两个街道的测评分数
（满分 100 分），则下列说法错误的是（ ）
甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98
乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99
A. 甲、乙两个街道的测评分数的极差相等
B. 甲、乙两个街道的测评分数的平均数相等
C. 街道乙的测评分数的第 75 百分位数为 95
D. 甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数较大
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据表格数据分别计算极差，平均数，第 75 百分位数和中位数即可.
【详解】对于 A，甲街道测评分数的极差为 ；
乙街道测评分数的极差为 ；两者不相等，故 A 错误；
对于 B，甲街道测评分数的平均数 ；
乙街道测评分数的平均数为 ；两者不相等，故 B 错误；
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对于 C，而 ，则街道乙的测评分数的第 75 百分位数为 96，故 C 错误.
对于 D，甲街道测评分数 中位数为 ；
乙街道测评分数的中位数为 ；则乙的中位数较大，故 D 正确.
故选：ABC
10. 已知圆 ，点 为圆上一点，点 为坐标原点，则下列叙述正确的有（
）
A. 点 在圆外 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】A 选项把点 的坐标代入圆的方程即可，B 选项把圆上的点到原点的距离的最值转化为圆心到原点
的距离减半径，选项 C,D 转化为圆心到直线的距离与半径的关系，解不等式得最值.
【详解】选项 A，点 坐标代入圆的方程左侧得 ，即原点在圆外，所以 A 正确；
选项 B，圆的标准方程为 ，所以圆心 ，半径 ， ，所以
，所以 B 错误；
选项 C，令 ，则直线 与圆有公共点，根据点到直线的距离公式得 ，解
得 的最小值为 ，故 C 正确;
选 项 D， 设 ， 则 直 线 与 圆 有 公 共 点 ,根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 ， 解 得
，所以 的最小值为 ，故 D 错误.
故选：AC
11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 ， 的“切比雪
夫距离”.又设点 P 及直线 上任意一点 Q，称 的最小值为点 P 到直线 的“切比雪夫距离”，记作
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，则下列命题中正确的是（ ）
A. ， ，则
B. O 为坐标原点，动点 R 满足 ，则 R 的轨迹为直线
C. 对任意三点 A、B、C，都有
D. 已知点 和直线 ： ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于 B：设 ，分析可得 ，且等
号至少有一个成立，即可得结果；对于 C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于 D：设点
可得 ，讨论可得距离 ，再由函数的性质，求得最小值即可
.
【详解】对于选项 A：若 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，故 A 正确；
对于选项 B：设 ，若 ，则 ，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B 错误；
对于选项 C：设 ，
则
，
同理可得 ，
所以 ，故 C 正确；
对于选项 D：设 为直线 上一点，
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则 ，
当 ，即 时，则 ，
可知当 时，取得最小值 ；
当 ，即 或 ，则 ，无最小值，
综上可得： ，故 D 正确；
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题.
12. 如图，直线 、 、 的斜率 、 、 由小到大排序为______．
【答案】
【解析】
【分析】由图可得直线 、 、 倾斜角大小关系，据此可得斜率关系．
【详解】设直线 、 、 的倾斜角分别为 、 、 ，由图可得 ，则
，也即 ．
故答案为： ．
13. 由直线 上的一点 向圆 引切线,切点分别为 ，则四边形 面积的
最小值为_____.
【答案】
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【解析】
【分析】
根据切线的性质可确定所求四边形面积为 ，可知当所求面积最小时， ，利用点
到直线距离公式可求得 ，进而得到所求面积的最小值.
【详解】
由题意知，圆 的圆心 ，半径
两切线关于 对称 四边形 面积为
当 时， 最小，此时
四边形 面积的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查与圆的切线有关的四边形面积最值的求解问题，关键是能够根据切线的性质将问题转化
为圆心到直线距离的求解问题.
14. 已知 的顶点 ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 的平分线所
在直线方程为 ，则 面积为_____________
【答案】 ##
【解析】
【分析】设 ，由 AB 的中点坐标 在直线 上，进而求出 a 的值，
根据角平分线的性质知点 A 关于角平分线对称的点 在直线 BC 上，进而求得 ，求出直线 BC
方程，进而求出点 C 坐标，结合两点距离公式和点线距公式计算即可求解.
【详解】由题意知，设 ，
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∵AB 的中点 在直线 上，
∴ ，解得 ，∴ .
由角平分线的性质，点 A 关于 平分线的对称点 在直线 BC 上，
得 ，解得 ，所以 ，
由 和 B 得 BE 的方程 .
由 ，解得 ，即 ，
得 ，
点 A 到直线 BE 的距离为 ，
所以 .
故答案为：
四、解答题.
15. 已知圆 ： 和点 .
（1）过点 作一条直线与圆 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程；
（2）过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 所在的直线方程，并求线段 的长.
【答案】（1） 或
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用弦长公式可求出圆心 到直线 的距离，再分别讨论直线 的斜率是否存在即可；
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（2）求出 所在圆的方程，将两圆相减即可得出 所在的直线方程，再由几何法可求得线段 的长.
【小问 1 详解】
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
①当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，符合题意；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，解得 ，
此时直线 的方程为 ，即 ，
综上所述，直线 的方程为 或 ；
【小问 2 详解】
因为 ，则 ，
所以以点 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，
点 也在该圆上，因此 在两圆的公共弦上；
联立 ，两式相减整理可得 ，
即 所在的直线方程为 ，
圆心 到 的距离
所以 .
16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取
份 作 为 样 本 ， 将 样 本 的 成 绩 （ 满 分 分 ， 成 绩 均 为 不 低 于 分 的 整 数 ） 分 成 六 段 ：
得到如图所示的频率分布直方图.
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（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求样本成绩的众数，中位数和平均数；
（3）已知落在 的平均成绩是 ，方差是 ，落在 的平均成绩为 ，方差是 ，求两组
成绩合并后的平均数 和方差 .
【答案】（1）
（2）众数为 ，中位数为 ，平均数为
（3）平均数为 ，方差为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为 求解出 的值；
（2）由面积最大的小矩形确定出众数，先判断出中位数所在区间，然后根据公式求得结果；
（3）先计算成绩在 的样本数，然后根据公式计算出成绩合并后的平均数 和方差 .
【小问 1 详解】
由每组小矩形 面积之和为 ，得 ，解得 ；
【小问 2 详解】
由 ，得样本成绩的众数为 ，
成绩落在 内的频率为 ，
成绩落在 内的频率为 ，
故中位数在 内，由 ，得样本成绩的中位数为 ，
由 ，得样本成绩的平均数为 ；
【小问 3 详解】
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由频率分布直方图知，成绩在 的样本数为 ，
成绩在 的样本数为 ，
所以平均数 ，
总方差为 .
17. 多项选择题是标准化考试中常见题型，从 ， ， ， 四个选项中选出所有正确的答案（四个选项
中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得 5 分的概率；
（2）现有 2 道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得 5 分的概率为 ，得 2 分的概率为 ；丙同学
得 5 分的概率为 ，得 2 分的概率为 .乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这 2 道
多项选择题乙比丙总分刚好多得 5 分的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出样本空间基本事件总数，由古典概型概率计算公式即可求解.
（2）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解.
【小问 1 详解】
甲同学所有可能的选择答案有 11 种：
，其中正确选项只有一个，
样本空间 ,
共 11 个基本事件，
所以他猜对本题得 5 分的概率为 .
【小问 2 详解】
由题意得乙得 0 分的概率为 ，丙得 0 分的概率为 ，
乙比丙刚好多得 5 分的情况包含：
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事件 ：乙得 10 分，丙得 5 分，则 ；
事件 ：乙得 7 分，丙得 2 分，则 ；
事件 ：乙得 5 分，丙得 0 分，则 ；
所以乙比丙总分刚好多得 5 分的概率 .
18. 已知平面内有三个不同点，分别为 ， ，
（1）已知一个圆 ，点 、 、 在圆 上，求圆 的方程.
（2）已知 为圆 上一点，设 ，满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，
求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程，代入三点后解方程组可得；
（2）设 ， ，利用坐标表示出 后可得 ，然后利用点 和
在圆 上求出圆 与圆 有公共点，再利用圆与圆的位
置关系可得.
【小问 1 详解】
设圆 的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以圆 .
【小问 2 详解】
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由（1）知，圆 ，即 ，其圆心为 ，半径
，
设 ， ，
又由 ，则 ， ， ，
若 ，则有 ，变形可得 ，
若 在圆 上，则 ，
则有 ，变形可得： ，
即点 也在圆 上，
从而圆 与圆 有公共点，
则有 ，
变形可得： ，
解得： ，即 的取值范围为 ；
19. 如图 1，在直角 中， 为 中点， ，取 中点 ，连接
，现把 沿着 翻折，形成三棱锥 如图 2，此时 ，取 中点 ，连接 ，
记平面 和平面 的交线为 为 上异于 的一点.
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（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
【答案】（1）证明见解析；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，利用余弦定理求出 ，即可得到 ，从而得证；
（2）以 为 轴， 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用
余弦定理求出 ，即可求出 点坐标，求出平面 的法向量，设 ，表示出 点坐
标，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出 ，再由坐标法求模即可.
【小问 1 详解】
由题意知 为等腰直角三角形，又 为 的中点，
所以 ， ， ，
由 ，解得 ，
当 时，有 ，即 ，
而 平面 ，故 平面 ；
【小问 2 详解】
以 为 轴， 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
又 ，
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所以
所以 ， ，所以
，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨取 ，解得 ，
设 ，则 ， ，
因为 为 中点， 为 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 和平面 的交线为 ， 平面 ，
所以 ，又 为 上异于 的一点，所以 ，即 与 共线，
设为 ，则 ，
故 ，
因此 .
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设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
化简得 ，解得 或 ，
当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，
因此 或 .
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