四川省泸州市泸县第五中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写
在答题卡上．
2．考生必须保持答题卡的整洁．
第 I 卷 选择题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的并集运算求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以 .
故选：C.
2. 下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合元素的性质可判断.
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【详解】对 A，两个集合中元素对应的坐标不同，则 A 不正确；
对 B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故 B 正确；
对 C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则 C 不正确；
对 D， 是以 为元素的集合， 是空集，则 D 不正确．
故选：B．
3. 若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. 或 1 D. 或 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解.
【详解】若 ，则 ， ，不符合题意；
若 ，则 （舍去）或 ，则 ，符合题意．
故选：A
4. 若 ，则满足条件 集合 的个数有（ ）
A. 7 个 B. 8 个 C. 15 个 D. 16 个
【答案】D
【解析】
【分析】原题相当于求 的子集个数，利用公式计算即可求解.
【详解】 的子集个数为 .
故选：D.
5. 已知集合 ，集合 ，则如图中的阴影部分表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】利用韦恩图中阴影部分表示的集合求解即可.
【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于 不属于 的元素组成的集合，
又 ， ，
所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是 .
故选：B.
6. 某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共 52 名学生，每人至少报了上述培训
课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为 30，25，20，其中既报了羽毛球培训课又
报了乒乓球培训课的有 13 人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有 8 人，既报了乒乓球培训课又报
了篮球培训课的有 5 人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用韦恩图来求解即可.
【 详 解 】 设 同 时 报 了 羽 毛 球 、 乒 乓 球 、 篮 球 培 训 课 的 学 生 人 数 是 ． 由 图 可 知
，解得 ．
故选：C.
7. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数 ， 在 上是增函数，则每一段都为增函数，且
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左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】因为函数 ， 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，
故选：C
8. 关于 x 的方程 的两根分别在区间 和 内，则实数 a 的取值范围
是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数 ，根据 零点分布列不等式组，解不等式组求得
的取值范围.
【详解】构造二次函数 ，其开口向上.依题意， 零点分别在区间
和 内，所以
，即 ，解得 .
故选 B.
【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，考查一元二次不等式的解法，属
于基础题.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知 ，若 q 是 的充分不必要条件，则 q 可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
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【解析】
【分析】由 先求出 ，再分析出 q 是 的充分不必要条件，即 对应的集合是 对应集合的真子集，
然后逐一验证 A，B，C，D 选项所对应的集合是否为集合 的真子集，即可得解.
【详解】由 ，可得 .
因为 q 是 的充分不必要条件，所以由 q 能推出 ， 不能推出 ，
即 对应的集合是 对应集合的真子集，
因为 是 的真子集，所以 是 的充分不必要条件，故 A 正确；
因为 与 没有包含关系，所以 不是 的充分不必要条件，
故 B 错误；
因为 是 的真子集，所以 是 的充分不必要条件，故 C 正确；
因为 ，所以 是 的充要条件，不是充分不必要条件，
故 D 错误；
故选：AC
10. 已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列结论中，正确的结论是（
）
A.
B. 不等式 的解集为
C. 不等式 解集为
D. .
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的解集，即可判断 A 项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出 ，
进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断 B、C、D 项.
【详解】对于 A 项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即 ，故 A 项正确；
对于 B 项，由已知可得，3，4 即为 的两个解.
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由韦达定理可得， ，解得 ，
代入可得 .
又 ，所以 ，所以解集为 ，故 B 项错误；
对于 C 项，由 B 知， ， ， ，
代入不等式可得 ，
化简可得 ，
解得 ，
所以，不等式 的解集为 ，故 C 项正确；
对于 D 项，由已知可得， ，故 D 项正确.
故选：ACD.
11. 设 ， 称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，例如： ， .
若 ，则（ ）
A.
B. 函数 的值域为
C. 若 ，则
D. 点集 所表示的平面区域的面积是 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据高斯函数的定义和函数的值域，分段函数的性质逐一分析即可.
【详解】对于 ： ，故 正确；
对于 ： ，故 正确；
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对于 ：当 时， ，满足 ，但 ，故 错误；
对于 ： 的解为 或 ，
当 时， 或 ，
当 时， 或 ， ，
所以点集 所表示的平面区域的面积是 4，故 正确.
故选： .
第 II 卷 非选择题
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 命题“ ”的否定是____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【详解】因为全称命题的否定为特称命题，故命题“ ”的否定为：“ ”.
故答案为： .
13. 若两个正实数 x，y 满足 ，且 恒成立，则实数 m 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用常数代换，使用基本不等式求得 ,再根据不等式恒成立的意义得到答案.
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【详解】由已知， ,
当且仅当 时取等号，结合已知解得 ,符合题意，所以 ,
因为 恒成立，所以 ,解得 ,
故答案为：
14. 函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时， ，不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而得 ，故当 时， ，且在 上单调
递减，进而根据奇函数性质得函数 在 上的单调递减函数，然后讨论即可.
【详解】解：因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
因为当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以当 时， ，
当 时，
所以由二次函数的性质得 时，函数 单调递减，在 上单调递减
易知
当 时，原不等式 ，解得 ；
当 时，无实数解；
当 ，无实数解；
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当 ，即 时，原不等式
，解得 ；
当 ，即 时， ， ，满足题意；
当 ，即 时， ， ，不满足题意.
综上，原不等式的解集为：
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ，集合 .
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） ；
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（2） .
【解析】
【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；
（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
则 .
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
当 时， ，解得 ；
当 时，于是有 ，
所以实数 m 的取值范围为 .
16. 已知
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）解不等式 ．
【答案】（1）1 （2） 或 2
（3）
【解析】
【分析】（1）由分段函数解析式先求 ，再求 ，
（2）分 ， 两种情况，由 结合分段函数解析式列方程求 即可，
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（3）分 ， 两种情况，由 结合分段函数解析式列不等式求其解集.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
【小问 2 详解】
当 时， ，又 ，所以 ，
当 时， ，又 ，
所以 ，故 ，
综上， 的值为 或 2
【小问 3 详解】
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
综上，原不等式的解集为 .
17. （1）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ，（2）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）对二次项系数 进行分类讨论，结合二次函数的图象和判别式可求得结果；
（2）对 ， ， 进行分类讨论，可分别求得其解集
【详解】（1）根据题意，
当 ，即 时， 解集不是 ，不符合题意；
当 ，即 时，因为 的解集为 R，
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所以 的解集为 R，
所以 ，
即 ，
故 时， 或 ，所以 .
故 的取值范围为：
（2）因为 ，
所以 ，
当 ，即 时，得 ，解集为 ；
当 ，即 时， ，
，
解集为 或 ；
当 ，即 时， ，
，
解集为 ．
综上所述：当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 .
18. 某厂家拟定在 2023 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促
销费用 万元满足 （k 为常数）．如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是 1 万
件．已知 2023 年生产该产品的固定投入将为 10 万元，每生产 1 万件，该产品需要再投入 16 万元（再投入
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费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的 倍．
（1）求 k 的值；
（2）将 2023 年该产品的利润 y（万元）表示为年促销费用 m（万元）的函数；
（3）该厂家 2023 年约投入多少万元促销费用时，获得 利润最大，最大利润是多少？（ ，结
果保留 1 位小数）．
【答案】（1）
（2）
（3）当促销费用为 3.7 万元时，利润最大为 19.7 万元．
【解析】
【分析】（1）根据 时， ，即可求得 k 的值；
（2）确定销售量的表达式，根据利润等于销售额减去投入，即可得答案；
（3）将 变形为 ，利用基本不等式即可求得答案.
【小问 1 详解】
由已知，当 时， ，
∴ ，解得： ，
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
故
，
化简得： ．
【小问 3 详解】
，
∵ ，∴ ，即 ，则 ，
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当且仅当 即 时等号成立，
此时 ， ，
答：当促销费用约为 3.7 万元时，利润最大为 19.7 万元．
19. 已知定义在 上的函数 满足以下条件：
①对任意实数 ， 恒有 ；
②当 时， 的值域为 ；
③ .
（1）求 ， 的值；
（2） 时，求 的值域，判断并证明 在 上的单调性；
（3）求不等式 的解集.
【答案】（1） ，
（2） ； 在 上单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
分析】（1）利用赋值法即可求解；
（2）当 时， ，则 ,令 ，代入化简可得 即可求出
值域；利用作差法即可证明 在 上的单调性；
（ 3） 由 化 简 可 得 ， 从 而 将 不 等 式 转 化 为
，令 ，解不等式，结合函数 的单调性即可求解.
【小问 1 详解】
令 ，则 ，
解得 或 .
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时，令
有 ，与题干信息不符，故 .
令 .
【小问 2 详解】
当 时， ，则
令 ，有
化简得： ，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 的值域为 ，
所以当 时， ，
则
由于 ，则 ， 则
，故 在 上单调递增；
【小问 3 详解】
由于
，由于 ，
.
，
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化简得 ，
令 ，则 ，
解得： ，即 .
又因为 在 上单调递减，所以 .
所以不等式 的解集 .
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