2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.
故选：C
2．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求集合，再求.
【详解】由，解得，则.又∵，
∴.
故选：C.
3．若角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义，可直接得出结果.
【详解】因为角的终边经过点，
所以.
故选：.
4．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题可得函数定义域，函数的奇偶性及其在时的函数值符号，结合排除法即得.
【详解】对任意的，，
故函数的定义域为，故A错误；
又当时，，故B错误；
因为，所以为奇函数，故C错误.
故选：D.
5．函数与图像交点个数是（ ）
A．1B．2C．3D．无数个
【答案】C
【分析】根据与的性质，结合指数、幂的增长特性判断图象交点的个数.
【详解】时，且递增，且递减，故有一个交点；
时，且递增，且递增，
当时，；当时，；当时，；
综上，图像交点有3个.
故选：C
6．若，则的最小值为（ ）
A．16B．8C．20D．12
【答案】A
【分析】利用均值不等式求解即可.
【详解】由题意得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，
故选：A
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过中间值，将三个数与和进行比较即可判断大小关系.
【详解】因为，所以，
因为，，
因为，，
综上所述得．
故选：C
8．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用代入法求出函数解析式，利用函数奇偶性的定义进行判断即可．
【详解】的定义域为，
的定义域为，关于原点对称，
，
对于A, ，,,所以不是奇函数，
对于B, 又，故为奇函数，
的定义域为，
的定义域为，定义域不关于原点对称，所以CD均不为奇函数，
故选：B
二、多选题
9．下列函数在上既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据函数奇偶性以及函数单调性的定义，逐项证明，可得答案.
【详解】对于A，函数的定义域为，由，则函数为奇函数，
任意，令，易知，则函数在上为增函数，故A正确；
对于B，函数的定义域为，由，则函数不是奇函数，故B错误；
对于C，函数，其定义域为，由，则该函数为偶函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，由，则函数为奇函数，
取任意，令，则，即，故函数在上为增函数，故D正确.
故选：AD.
10．下列与角的终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】首先求出与角的终边相同角的表达式，然后判断选项是否与角是终边相同角.
【详解】因为，
所以与角的终边相同角为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，选项A、C、D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了终边相同角，属于基础题.
11．若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】ABC
【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.
【详解】由，得函数的对称轴为，
当时，函数取的最小值为，
当或时，函数值为，
因为函数的定义域为，值域为，
所以，
所以实数的值可能为.
故选：ABC.
12．函数的图象经过点，在处取得最小值，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．是函数的对称中心
【答案】BC
【分析】根据给定条件，结合正弦函数的性质列出关于的方程，再逐一分析判断作答.
【详解】依题意，，，
两式相减得：，而，有，又，则，C正确；
于是得，而，则，A错误，B正确；
，则，不是函数的对称中心，D不正确.
故选：BC
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为,扇形所在圆的半径为，则扇形的面积_________.
【答案】
【详解】扇形的圆心角为,扇形所在圆的半径为.
所以扇形的弧长为：.
扇形的面积.
故答案为.
14．设，则___________.
【答案】##
【分析】根据，可得，即得，根据指数幂的运算即可得答案.
【详解】因为，所以，所以，所以,
故答案为：.
另解：由可得，
所以，则,
故答案为：.
15．函数是幂函数，且上为减函数，则实数的值是___________．
【答案】
【分析】根据幂函数的定义与单调性求得的值.
【详解】由于函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意.
当时，，在上递增，不符合题意.
所以的值为.
故答案为：
16．设函数，则使得成立的范围是_________.
【答案】
【分析】根据函数为偶函数以及在上递增，原不等式等价于，即可解出不等式．
【详解】因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
当时，，易知在上递增，
在上递减，所以函数在上递增．
原不等式等价于，所以，解得：．
故答案为：．
四、解答题
17．已知集合，.
(1)求；
(2)若，且，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，从而求出交集；
（2）先求出，根据列出不等式组，求出实数m的取值范围.
【详解】（1）因为，
由得：，
∴，
∴，
所以；
（2）因为，，
因为，所以，
当时，可得，
解得：
故m的取值范围为.
18．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据三角函数得定义求出角得三角函数值，然后化弦为切即可得解；
（2）根据，可得，再利用诱导公式即可得解.
【详解】（1）解：因为角终边与单位圆相交于点 ，
所以，
所以；
（2）解：因为，
所以，
所以.
19．已知函数是奇函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用函数为上的奇函数，则有，解得的值；
（Ⅱ）直接利用不等式，，化简即可.
【详解】（Ⅰ）∵是奇函数，∴，即，
∴，
得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∵，∴，，
∴，∴.
∴，即.
综上，函数的值域为.
【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的值域的求解，属于基础题.
20．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用最值求出，根据得出，再由特殊值求出即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换得出，再由正弦函数在上单调即可求解.
【详解】解：（1）由图可知，．
的最小正周期，所以．
因为，
所以，，，．
又，所以，
故．
（2）由题可知，．
当时，．
因为在区间上不单调，
所以，解得．
故的取值范围为．
21．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
（1）若一次喷洒1个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
（2）若第一次喷洒1个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值？（精确到）
【答案】（1）7；（2）．
【分析】（1）依题意，令，分段解不等式即可得解；
（2）设从第一次喷洒起，经天空气中的去污剂浓度为，得，依题意对一切恒成立，只需即可.
【详解】（1）依题意，令则或
解得 或 .
一次喷洒1个单位的去污剂，去污时间可达7天.
（2）设从第一次喷洒起，经天空气中的去污剂浓度为，
则，
依题意对一切恒成立 ，
又在上单调递减，，
,故的最小值为0.2.
【点睛】解答本题的关键是读懂题意，并根据所求正确选择解析式的形式，然后再结合相关知识进行求解．考查阅读理解和应用知识解决实际问题的能力，属于基础题．
22．已知函数，，且函数是偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点
【答案】（1）；（2）；（3），零点为0，，2．
【分析】(1)根据是偶函数求得表达式算出的值,进而求得的解析式即可.
(2)换元令,再求解的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.
(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.
【详解】解：（1）∵，∴．
∵是偶函数，∴，∴．
∴，∴．
（2）令，∵，∴，
不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
∴．
令，，则，，∴．
（3）令，则，
方程可化为，
即，也即．
又∵偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，
∴有一个根为2，∴．∴，解得或．
由，得，由，得，∴零点为0，，2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.