四川省成都市树德中学2026届高三上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

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本试卷满分150分，考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，则是的（ ）条件
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
3. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 百分位数D. 标准差
4. 若函数（m，n常数）在上有最大值7，则函数在上（ ）
A. 有最小值B. 有最大值5C. 有最大值6D. 有最小值
5. 已知函数，项数为2025项的等差数列满足，且公差．若，则当时，（ ）
A. 1012B. 1013C. 2024D. 2025
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知符号函数，又是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（ ）
A. 516B. 520C. 0D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 数列满足，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 不是等比数列
C. 是从第二项开始的等比数列
D
10. 已知函数，则（ ）
A. 为的一个周期
B.
C. 在上单调递增
D. 直线为的一条对称轴
11. 已知在棱长为1的正方体中，半径为的球与过点的正方体的三个侧面均相切，则（ ）
A. 平面平面
B. 点到球面的距离的取值范围为
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 正方体绕对角线旋转后与原正方体重合
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 圆的圆心到直线的距离为___________．
13. 的展开式的中间项为___________．
14. 集合，若，为X中最大数与最小数的和(若集合X中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数),那么，对M的所有非空子集X,全部的平均值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在三棱柱中，是等边三角形，侧面底面，且，，M是的中点．

（1）证明：．
（2）求二面角的正弦值．
16. 已知数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设糖全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实提炼为一个不等式___________，并证明这个不等式成立；若恒成立，求正整数的最小值．
17. 为了解某一地区纯电动汽车销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为购买电动汽车与性别有关？
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为，求的分布列和期望．
①参考数据：；
②参考公式：（i）线性回归方程：，其中．
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．
（iii），其中．
附表：
18. 已知动点与点距离与其到直线的距离相等．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若点是轴左侧（不含轴）一点，动点的轨迹上存在不同的两点满足的中点均在的轨迹上．
（i）设中点，证明：轴；
（ii）若是半圆上的动点，求面积的取值范围．
19. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设；若是方程的两个不同实根，求证：
（3）若对任意，都有，求实数的取值范围．
购买非电动车
购买电动车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828