2023届四川省成都市树德中学高三上学期11月阶段性测试 数学（理）试题（解析版）

2023届四川省成都市树德中学高三上学期11月阶段性测试 数学（理）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知化简集合，再根据集合交集的运算即可得.

【详解】解：或，

所以.

故选：A.

2．设复数z满足，则z= （ ）

A．-1+i B．-1-i C．1+i D．1-i

【答案】A

【分析】

【详解】由得=，故选A.

【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容.

3．中，点D满足：，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量加减及数乘运算法则得到，求出.

【详解】∵，

∴，

故，

所以，故.

故选：C

4．五人站一排拍照，不相邻，则不同的排列方式共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】C

【分析】运用插空法排列即可.

【详解】先排三人有排法，确定四个空，用插空法有种排法，

所以不同的排列方式共有种排法，

故选：C

5．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.

【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，

又，所以函数为偶函数，排除AC；

当时， ，所以，排除D.

故选：B.

6．已知及其导函数定义域为，满足：，，，定义域为，若在点处的切线斜率与在点处的切线斜率相同，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数求导求得，，再由斜率相等时导函数值相等解决即可.

【详解】由题知，及其导函数定义域为，满足：

，

所以，

所以，即，

因为，，

所以，

因为在点处的切线斜率与在点处的切线斜率相同，

所以，

所以，

所以，

因为

解得，

故选：B

7．直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（    ）

A．6 B．2

C．12 D．16

【答案】B

【分析】求出直线过的定点，得到圆心到直线的距离的最大值，从而得到弦长|AB|的最小值.

【详解】因为直线y＝kx－1过定点(0，－1)，

故圆C的圆心C(－3，3)到直线y＝kx－1的距离的最大值为＝5.

又圆C的半径为6，故弦长|AB|的最小值为.

故选：B

8．数列及其前n项和为满足：，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推关系式，利用累乘法可求得数列通项公式，再结合裂项求和即可求得的值.

【详解】当时，，即

所以

累乘得：，又，所以

所以

则

.

故选：C.

9．已知函数，则关于t的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，判断出利用奇偶性、导数判断出的单调性，由得，再利用奇偶性、单调性解不等式可得答案.

【详解】，令，，所以为奇函数，

因为，所以为单调递增函数，

由得，即，

所以，解得.

故选：A.

10．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】采用整体代入法，求出当时，范围，由正弦函数图象特征确定满足的临界条件，解不等式即可求解.

【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图：

故必满足，解得.

故选：A

11．正方体，，定点在线段上，满足，动点在平面内运动（正方形内，不含边界），且，点在线段上，满足：，设与平面所成线面角为，则的最大值为（    ）

A． B．4 C． D．6

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，根据题意动点的轨迹为椭圆，设，再由向量法线面角求法计算即可.

【详解】根据题意,取中点为，取中点为，取中点为，连接，

建立如图所示空间直角坐标系，

因为正方体中，定点在线段上，满足，动点在平面内运动（正方形内，不含边界），且，点在线段上，满足：，

所以动点在以为焦点的椭圆上，

因为，

所以，

所以椭圆方程为，

设点，

因为，面

所以

设平面的法向量为，

所以，

当时，，

此时取最大，为

故选：C

12．双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的离心率为2，得到c=2a，根据过的直线的斜率为，得到，然后分别在和中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：因为双曲线的离心率为2，

所以c=2a，

因为过斜率为，所以，

则，

在中，设，则，

由余弦定理得，

解得，则，

同理在中，设，则，

由余弦定理得，

解得，则，则，

所以在中，由余弦定理得，

故选：C

二、填空题

13．已知等比数列的公比成等差数列，则公比____________．

【答案】2

【分析】由等差数列与等比数列的性质列式求解，

【详解】由题意得，

而为等比数列，化简得，而，解得，

故答案为：2

14．实数x，y满足：，则的最大值是____________．

【答案】##

【分析】根据不等式组画出可行域，然后利用的几何意义求最值即可.

【详解】根据不等式画出可行域，如下所示：

设，整理可得，所以表示直线过可行域上一点时的纵截距，

由图可知，当直线过点时，纵截距最大，

联立，解得，所以，代入可得.

故答案为：.

15．已知函数，下列说法中正确的有____________（写出相应的编号）

①：将图象向左平移个单位长度，得到的新函数为奇函数

②：函数在上的值域为

③：函数在上单调递减

④：，关于x的方程有两个不等实根，则

【答案】④

【分析】根据函数的平移变换可得解析式，结合诱导公式化简即可判断①；根据函数在区间内的单调性结合函数取值情况即可判断②，③，④.

【详解】解：将的图象向左平移个单位长度得函数，函数为偶函数，故①错误；

当，，，故②错误；

当，，则当时单调递减，当时单调递增，故③错误；

当，，则当时单调递增，当时单调递减，又，

关于x的方程有两个不等实根，则，故④正确.

故答案为：④.

16．已知函数，恰有个不同零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】由可得，分析可知函数与图象的公共点必在直线上，则直线与函数的图象有两个公共点，由可得出，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】由可得，

又因为函数与互为反函数，这两个函数的图象关于直线对称，

若函数与直线有公共点，则，可得，

所以，点也在函数的图象上，

所以，函数与图象的公共点必在直线上，

所以，直线与函数的图象有两个公共点，

由可得，则，其中，

令，其中，，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，则，

且当时，；当时，.

如下图所示：

由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个公共点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

三、解答题

17．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：．

(1)求A；

(2)求面积取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，利用两角和差关系得，即，结合角度范围即可得角A；

（2）根据正弦定理及三角形面积公式转化为关于角的正切函数，根据锐角得角的范围，即可求得面积取值范围．

【详解】（1）解：因为，由正弦定理得：，

因为，

所以，

化简得，所以，

因为，所以，

（2）解：由正弦定理，得

又

，

因为锐角，所以解得，则

所以.

18．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角平面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）分析可知翻折前，四边形为菱形，为等边三角形，同理也是等边三角形，取的中点，连接、，证明出，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角平面角的正弦值.

【详解】（1）证明：连接，由题意可知，，，，

翻折前，因为且，故四边形为菱形，

因为，且为锐角，则，

因为，则，

故为等边三角形，同理也是等边三角形，

翻折后，取的中点，连接、，

则，，，

，，，

，、平面，平面，

平面，因此，平面平面.

（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，

则，取，可得，

，

所以，.

因此，二面角平面角的正弦值为.

19．小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，并计算得，，，.

(1)求y关于x的回归直线方程；

(2)已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)

(2)小李应该租的商铺

【分析】（1）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，

（2）根据题意得，，构造函数，利用二次函数的性质可求出其最大值，从而可求出Z的最大值

【详解】（1）由已知可得，，

，

，

所以回归直线方程为.

（2）根据题意得，.

设，令，，

则，

当，即时，取最大值，

又因为k，，所以此时Z也取最大值，

因此，小李应该租的商铺.

20．已知函数，

(1)求极大值；

(2)若恒成立，求k的取值范围．

【答案】(1)0

(2)

【分析】(1)对函数求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，进而求出函数的极大值；

(2)先对函数求导，确定不等式成立的必要条件，再进一步证明不等式成立的充分性即可得证.

【详解】（1）

，单调递减，

，单调递减，

所以极大值为.

（2），

①若，由函数连续性，，当，所以单调递减，，所以单调递减，，与题意矛盾

②所以，即是命题“恒成立的必要条件．

下面证明：是命题“恒成立”的充分条件

即只需要证明：当，不等式恒成立

设，由（1）问，所以在上单调递减，即，

记，

所以单调递增，，

综上

21．如图：椭圆，坐标原点O，椭圆右焦点F，直线l（l斜率存在且不为零）过点F与椭圆交于A，B，中点为M，直线与椭圆交于C，D，

(1)证明：斜率与斜率之积为定值；

(2)若四边形面积为，求l的斜率．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意设直线方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及中点坐标公式，得点坐标，求得斜率，即可证明斜率关系；

（2）根据（1）中结论得直线的方程，代入椭圆方程，由弦长公式求得，再分别求点到直线的距离，从而可得四边形面积，解方程得的值，即可确定l的斜率．

【详解】（1）由题可知右焦点，设直线，且，设，

则得：，．

所以，

所以，则，

所以.

（2）设，由（1）可知，

与椭圆方程联立得：，，

所以，

设A到直线的距离为，则，

设B到直线的距离为，则，

因为,

则

,

所以四边形面积为，解得，所以，

所以直线或，即或，

则直线的斜率为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为：

(1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，求E直角坐标方程，并说明E的轨迹是什么图形；

(2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点，，证明：为定值．

【答案】(1)，轨迹为椭圆

(2)证明见解析

【分析】（1）根据极坐标方程直接转化为直角坐标系方程即可，随之可判断曲线的轨迹图形；

（2）根据极坐标方程结合极径的几何意义即可证明结论.

【详解】（1）解：，所以，则

所以，整理得：，轨迹为椭圆.

（2）解：设，

则

所以：

.

即为定值2.

23．已知函数

(1)解不等式：；

(2)，使得成立，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，画出的图象，即可得出答案；

（2）由（1）可求出值域为，即可求出的值域，再求出的解析式可求出值域，由题意可得与有交集，解方程即可得出答案.

【详解】（1）由题意可得出：，

作出图象，如下图：

易得不等式解集为：

（2）由（1）知，值域为值域为，

则，

所以值域为，

即与有交集，

所以，即．