2022-2023学年四川省成都市树德中学高一上学期11月阶段性测试数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市树德中学高一上学期11月阶段性测试数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据Venn图表示的集合计算．

【详解】因为全集，所以，

所以图中阴影部分表示．

故选：C．

2．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，

【解析】全称命题与特称命题

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可.

【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于B，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于C，的定义域为，而的定义域为，定义域不同，不是同一函数；

对于D，，，它们的定义域为，对应关系也相同，是同一函数.

故选：D

4．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】令，则，

因为在上是减函数，由复合函数的单调性知，

函数与的单调性相反；

又因为单调递减，

所以需在上单调递增.

函数的对称轴为，所以只需要，

故选:A.

5．若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先根据不等式的解集为得到a，b，c三者的关系，从而解出的解集，再寻找必要不充分条件，即找一个集合，使得它真包含即可.

【详解】∵若不等式的解集为

∴与3是方程的两个根，且

∴，

∴，

∴可化为：

解得：

A、B、C、D四个选项中，只有选项D满足：真包含

∴成立的一个必要不充分条件是D选项

故选：D

6．已知函数的图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系．

【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象，

因此，，，

，，，即，

故选：C．

7．函数，若关于x的方程有4个不同的根，则a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，求得的两根，再结合函数的图象，数形结合即可求得的范围.

【详解】令，，即，解得；

故要使得方程有四个不相等的实数根，则与的图象有四个交点，如下图所示：

数形结合可知，.

故选：D.

8．已知实数a、b满足，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对数的运算法则化简，再借用基本不等式可得的范围，再利用可得的范围，在构造新函数，借助放缩法可得的大小关系.

【详解】，

，         

令，，

则

所以当时，，即    

故选：D.

二、多选题

9．已知函数，若，则的值可能为（    ）

A．1 B． C．10 D．

【答案】AD

【分析】首先求得，再讨论的取值，解方程即可求解.

【详解】，因为，所以，

当时，，解得：，

当时，，解得：，

故选：AD

10．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据对数函数的单调性，结合不等式的性质以及指数函数的单调性，即可判断和选择.

【详解】是上的单调增函数，故由，可得；

对A：因为，则，A正确；

对B：因为，因为，故，即，B正确；

对C：当时，满足，但，不满足，C错误；

对D：是上的单调减函数，又，故，D正确；

故选：ABD.

11．函数，对恒成立的一个充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】首先利用换元法，转化成恒成立问题，从而只要求得最大值，利用导数分析单调性，从而求出最大值，解出的范围，再根据充分条件的含义即可判断.

【详解】因为，所以，令，因为，所以即.令，所以

，，则时，单调递增，时，单调递减，则，即在或时取得最大值.

所以 所以，即.由题意知，选项为的充分条件的只有CD.

故选：CD

12．已知函数，函数满足．则（    ）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．若实数a、b满足，则

D．若函数与图象的交点为，则

【答案】ABC

【分析】利用函数的解析式可知，，则，有由即可判断A,B选项，利用函数单调性的性质可判断函数的单调性，即可判断C选项，根据两个函数的对称性即可判断D选项.

【详解】对于A选项，由函数，函数定义域为R，则

所以

，所以，故A选项正确.

对于B选项，因为满足，的图象关于点成中心对称.故B选项正确.

对于C选项，设，则，则为奇函数，由函数单调性的性质可知，当时，单调递增，所以在R上为增函数，则也为R上的增函数，因为实数a、b满足，且，则，即，所以，即.故C选项正确.

对于D选项，由，，的图象关于点成中心对称，的图象也关于点成中心对称，令，则，因为函数与图象的交点为，不妨设，由对称性可知，，所以，则.故D选项错误.

故选：ABC

三、填空题

13．若幂函数在区间上单调递增，则_____________．

【答案】256

【分析】根据幂函数的定义及性质求出，即可得出答案.

【详解】解：因为幂函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以，

则.

故答案为：256.

14．________．

【答案】80

【分析】根据指数幂的运算法则、对数的性质化简求值即可.

【详解】原式

.

故答案为：80

15．己知函数是偶函数，在区间内单调递减，，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】首先判断函数的性质，不等式转化为或，再求解不等式的解集.

【详解】因为函数是偶函数，关于轴对称，向左平移1个单位后得函数，函数关于直线对称，因为函数在区间内单调递减，，所以函数在区间单调递增，且,

不等式等价于，即，解得：或；

或，即 ，解集为；

综上可知，不等式的解集为.

故答案为：

16．已知为正实数，且满足，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】先求得，然后结合基本不等式求得正确答案.

【详解】由，得，

所以，，当且仅当时等号成立，

，

当且仅当时等号成立.

的取值范围为.

故答案为：

四、解答题

17．集合，．

(1)若，求实数a的值；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）根据且，求解实数的值；

（2）首先求解集合，由条件确定，列不等式求解.

【详解】（1）因为，所以，所以，解得：或．

且，所以，得；∴实数a的值为1

（2）集合

集合，

,，则，解得：.

所以的取值范围是.

18．已知函数（，且）

(1)求的值及函数的定义域；

(2)若函数在上的最大值与最小值之差为3，求实数的值．

【答案】(1)0；；

(2)或.

【分析】（1）代入计算得，由对数有意义列出不等式求解作答.

（2）由a值分类讨论单调性，再列式计算作答.

【详解】（1）函数，则，由解得：，

所以的值是0，的定义域是.

（2）当时，在上单调递减，，，

于是得，即，解得，则，

当时，在上单调递增，，，

于是得，即，解得，则，

所以实数的值为或.

19．已知函数.

(1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围；

(2)当时，解不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）对二次项系数分类讨论，与，当时， ，求解不等式组即可得解；

（2）分，和三种情况解不等式.

【详解】（1）①，即时，解集不是空集，舍去，

②时，即时，，

即，∴，

解得，

∴的取值范围是；

（2）∵化简得：，

①时，即时，解集为，

②时，即时，，

，解集为或，

③时，即时，解集为，

∵，∴，

∴，

∴解集为.

综上，时，解集为或；

时，解集为；

时，解集为

20．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）

(1)若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）

(2)为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.

【答案】(1)13分钟

(2)当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

【分析】（1）由题意列方程求解

（2）由题意得出利润与的函数关系，结合基本不等式求解最值

【详解】（1）由题意可得，解得.

设经过分钟，这杯茶水降温至，则，

解得（分钟）.

故欲将这杯茶水降温至，大约还需要13分钟.

（2）设2022年该企业该型号的变频空调的利润为，

当时，，

当时，取得最大值3400万元；

当时，，

因为，当且仅当时，等号成立，

则当时，取得最大值3380万元.

因为，所以当该企业该型号的变频空调总产量为30千台时，获利最大，最大利润为3400万元.

21．已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，请解答以下问题：

(1)证明函数为偶函数；

(2)判定函数的单调性并加以证明；

(3)若，解不等式．

【答案】(1)证明见解析；

(2)在上单调递增，在上单调递减，证明见解析；

(3).

【分析】（1）由分别令、求出，即可令按定义证得偶函数；

（2）根据定义证单调性，区别是由说明符号；

（3）由得，再进一步求得，由函数单调性，结合的符号分类讨论去绝对值，即可结合及单调性求解.

【详解】（1）由于对定义域内任意，都有，

取，则，

取，则，

取，则，所以是偶函数；

（2）在上单调递增，在上单调递减. 证明如下：

令，则，由时得，

∵，

∴在上单调递减；由为偶函数，所以在上单调递增；

（3）∵，.

由且在上单调递减；

当时，原不等式可化为：，则得；

当时，原不等式可化为：，即，得；

当时，由是偶函数可得或.

故原不等式的解集是：．

22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：

①定义域均为；

②为奇函数，为偶函数；

③（常数e是自然对数的底数，）．

利用上述性质，解决以下问题：

(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式：

(2)解不等式；

(3)已知，记函数的最小值为，求．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意，建立方程组，解得答案；

（2）根据函数解析式，可得函数的单调性，利用单调性解不等式，可得答案；

（3）代入函数解析式，利用配方法和换元法，化简函数，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】（1）由性质③知，所以，

由性质②知，，所以，

即，解得．

（2）因为函数均为上的增函数，故函数为上的增函数，

由题设．，又单调递增，

所以，整理得，解得，

所以，故不等式解集为

（3）函数，设，

由（2），在是增函数知，当时，，

所以原函数即，设，

当时，在上单调递减，此时．

当时，函数的对称轴为，

当时，则在上单调递减，此时，

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时．

当时，即时，在上单调递减，此时．

综上所述，．