河北省盐山中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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合题目要求的．
1. 已知 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共面可设 ，由此可列出方程组，求得 的值，即可得答案.
【详解】因为 ， ， 三向量共面，故设 ，（ ）,
即 ，
即有 ，解得 ，
故 ，
故选：D
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角.
【详解】由题意得，直线的斜率 ，故直线的倾斜角为 .
故选：D.
3. 过直线 和 的交点，且与直线 垂直的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
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【答案】D
【解析】
【分析】先求出交点坐标，再根据与直线 的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.
【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：D
4. 已知点 ，则以 为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中点坐标公式算出 的中点坐标为 ，且 ，从而得到所求圆的圆心和半径，
可得圆的标准方程.
【详解】因为 ，
线段 的中点为 ， ，
所以以线段 为直径的圆的圆心坐标为 ，半径 ，
所以线段 为直径的圆的方程为 .
故选：D.
5. 已知圆 和点 ，若点 在圆 上，且
，则实数 的最小值是（ ）
A. B. 6 C. -6 D.
【答案】D
【解析】
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【分析】设 ，根据 得到方程，分 ， ， 三种情况，结
合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案.
【详解】设 ，由 ，得 ，
化简得 ，
若 ，此时 不存在，舍去，
若 ，此时 点坐标为 ，但 不满足 ，
故不合要求，舍去，
若 ，即点 在圆 上，
圆心为 ，半径 .
圆 的圆心为 ，半径 ，又点 在圆 上，故圆 与圆 有公共点，
所以 ，解得 596，
所以 或 ，即 的最小值为 .
故选：D.
6. 设 、 ，向量 ， ， 且 ， ，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线、垂直的坐标表示求出 ，再利用向量的坐标运算求出模.
【详解】由 ，得 ，解得 ，即 ，
由 ，得 ，解得 ，即 ，因此 ，
所以 .
故选：D
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7. 设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线 交于点 ，
则 的最大值（ ）
A. B. C. 3 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据动直线方程求出定点 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得
，最后由基本不等式 即可求解.
【详解】解：由题意，动直线 过定点 ，
直线 可化为 ，令 ，可得 ，
又 ，所以两动直线互相垂直，且交点为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
故选：D.
8. 已知 ，从点 射出的光线经 x 轴反射到直线 上，又经过直线 反射到 P 点，
则光线所经过的路程为（ ）
A B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直线 AB 的方程为： ，点 关于 x 轴的对称点 ，根据对称性特征求得点
关于直线 AB 的对称点 ， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为 ，即得结果.
【详解】直线 AB 的方程为： ，如图所示，
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点 关于 x 轴的对称点 ，
设点 关于直线 AB 的对称点 ，如图，
则 ，且 中点 在直线 上，
即 联立解得 ，即 ，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
【点睛】本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，
考查了推理能力与计算能力，属中档题．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知直线 ： ，则（ ）
A. 直线 过定点 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，两直线 之间的距离为 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】把直线 方程变形为 可得选项 A 正确；利用两直线垂直公式可得选
项 B 错误；利用两直线平行公式可得选项 C 正确；利用两直线平行求出 ，结合两平行线间距离公式可得
选项 D 错误.
【详解】A.直线 方程可变形为 ，
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由 得 ，故直线 过定点 ，A 正确；
B.当 时， ，
∵ ，∴两直线不垂直，B 错误.
C.当 时， ： ，
∵ ，∴两直线平行，C 正确.
D.当 时， ，解得 ，
∴ ，
∴两直线间距离为 ，D 正确．
故选：ACD.
10. 已知直三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，则下列说法
正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
D. 点 到平面 的距离为
【答案】ABD
【解析】
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【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断 A；利用空间向量法
证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断 BCD.
【详解】如图，建立空间直角坐标系 ，
则 .
A： ，
所以 ，故 A 正确；
B： ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，即 ，
又 平面 ，所以 平面 ，故 B 正确；
C： ，则 ，
所以 ，
即异面直线 与 所成的角的余弦值为 ，故 C 错误；
D：设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
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得 ，所以点 到平面 的距离为 ，故 D 正确.
故选：ABD
11. 已知曲线 的方程为 ，则（ ）
A. 曲线 关于直线 对称
B. 曲线 围成的图形面积为
C. 若点 在曲线 上，则
D. 若圆 能覆盖曲线 ，则 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理，计算判断即可．
【详解】曲线 上任意点 有： ，该点关于 的对称点 有 ，
即由线 上任意点 关于直线 的对称点仍在曲线 上，故选项 A 正确；
因为点 在曲线 上，点 ，点 也都在曲线 上，则曲线 关于 轴， 轴对称，当
， 时，曲线 的方程为 ，
表示以点 为圆心， 为半径的圆在直线 上方的半圆（含端点），
因此，曲线 是四个顶点为 ， ， ， 的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，
如图，
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所以曲线 围成的图形的面积是 ，故选项 B 正确；
点 ， 在曲线 上，则 ， ，
， ，解得 ，故选项 C 正确；
曲线 上的点到原点距离最大值为 ，圆 能覆盖曲线 ，则
，故选项 D 不正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 如图， 的二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂
直于 已知 ， ， ，则 的长为__________
【答案】
【解析】
【分析】由向量的线性表示，根据向量模长根式即可代入求解.
详解】解：由条件，知 ， ,
所以
，
所以 ,
故答案为：
13. 已知直线过点 ，它在 轴上的截距是在 轴上的截距的 2 倍，则此直线的方程为 __．
【答案】 或
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【解析】
【分析】当直线经过原点时，直线方程为： ．当直线不经过原点时，设直线方程为： ，
把点 代入解得 即可得出．
【详解】解：当直线经过原点时，直线方程为： ．
当直线不经过原点时，设直线方程为： ，
把点 代入 ，解得 ．
直线方程为 ．
综上可得直线方程为： 或 ，
故答案是： 或 ．
14. 已知 A，B 是直线 上的两点，且 ， ，则 的面积的
最大值为___________，此时， __________.
【答案】 ①. 20 ②.
【解析】
【分析】求出直线所过的定点 ，直线 l 与直线 PC 垂直时点 P 到直线 l 的距离最大， 的面积取
得最大值，求出 即可求得.
【详解】由 ，得 .
令 ，得 ，则直线 l 过定点 ，
从而点 P 到直线 l 的距离最大值为 ，
故 的面积最大值为 ，
当 的面积取得最大值时，直线 l 与直线 PC 垂直，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：20，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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15. 如图所示，已知 是平行六面体．
（1）化简 ；
（2）设 是底面 的中心， 是侧面 对角线 上的 分点，设
，试求 ， ， 的值．
【答案】（1） ；
（2） ， ， .
【解析】
【分析】（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得 ，进而即得.
【小问 1 详解】
∵ 是平行六面体，
∴
【小问 2 详解】
∵
，
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又 ，
∴ ， ， .
16. 已知 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
（1） 边所在直线的方程；
（2） 边上中线 所在直线的方程；
（3） 边的垂直平分线 的方程
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两点式求直线 的方程；
（2）由条件求 的坐标，再求直线 所在直线的方程；
（3）根据直线垂直时斜率 关系求直线 的斜率，再求其方程.
【小问 1 详解】
因为直线 经过 和 两点，
由两点式得 的方程为 ，即
【小问 2 详解】
， ， 为 的中点，
点 的坐标为 ，
又 边 中线 过点 ， 两点，
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由截距式得 所在直线方程为 ，即 .
【小问 3 详解】
的斜率 ，则 的垂直平分线 的斜率 ，
由斜截式得直线 的方程为 ，即 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 是 的
中点，作 交 于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求平面 与平面 的夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，求出平面 的法向
量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理证明.
（3）求得平面 和平面 的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.
【小问 1 详解】
在四棱锥 中， 底面 ， 底面 ，
则 ，由底面 是正方形，得 ，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
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设 ，则 ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，则 ，
而 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，由 ，得 ，
又 ，且 平面 ，
所以 平面 .
【小问 3 详解】
由（1）知， ，且 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
，而 ，则 ，
即 ，则 的一个法向量为 ，
因此 ，而 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角为 .
18. 已知 的顶点 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ，边 上的高
所在的直线方程为 .
（1）求顶点 的坐标；
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（2）求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据直线 与 垂直，求直线 的方程，再与直线 方程联立，解方程组可得
点坐标.
（2）根据 点在直线 上，设出 点坐标 ，利用 为 中点，表示 点坐标，再根据
点在直线 上，可求 的值，可确定 点坐标，进而得直线 的方程.
【小问 1 详解】
如图：
因为边 上的高 所在直线方程为 ，
，且 ，
的顶点 ，
直线 的方程： ，即 .
联立方程 ，解得 .
顶点 的坐标为 .
【小问 2 详解】
因为 所在直线方程为 ，
故设点 的坐标为 ，
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是 的中点， ，
.
在 所在直线 上，
，解得 ，
点坐标为 ，
由 知点 的坐标为 ，
故直线 的方程为 ，即 .
19. 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，
常 用 测 量 距 离 的 方 式 有 3 种 ． 设 ， ， 则 欧 几 里 得 距 离
； 曼 哈 顿 距 离 ， 余 弦 距 离
，其中 （ 为坐标原点）．
（1）若 ， ，求 ， 之间的曼哈顿距离 和余弦距离 ；
（2）若点 ， ，求 的最大值；
（3）已知点 ， 是直线 上的两动点，问是否存在直线 使得 ，
若存在，求出所有满足条件的直线 的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）
（3）存在， 和
【解析】
【分析】（1）代入 和 的公式，即可求解；
（2）首先设 ，代入 ，求得点 的轨迹，再利用数形结合，结合公式 ，结合
余弦值，即可求解；
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（3）首先求 的最小值，分 和 两种情况求 的最小值，对比后，即可判断直线
方程.
【小问 1 详解】
，
，
；
【小问 2 详解】
设 ，由题意得： ，
即 ，而 表示的图形是正方形 ，
其中 、 、 、 ．
即点 在正方形 的边上运动， ， ，
可知：当 取到最小值时， 最大，相应的 有最大值．
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 ，可得 ；
②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，取 ，
则 ．
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因为 ，所以 的最大值为 ．
【小问 3 详解】
易知 ，设 ，则
当 时， ，则 ， ，满足题意；
当 时， ，
由分段函数性质可知 ，
又 且 恒成立，当且仅当 时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条， 和 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第 3 问的关键
是理解 ，同样是转化为代数与几何相结合的问题.
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