河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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题目要求的.
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．
【详解】由题意知点关于对称的点的坐标为 .
故选： .
2. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求直线的斜率，再由即可求解.
【详解】由，所以，
设倾斜角为，所以，所以，
故选：A.
3. 两条平行直线与间的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解.
【详解】因为直线与平行，
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所以且，解得，
所以直线方程与，
故，
故选：C
4. 已知圆 C 的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆 C 的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由圆 C 过原点可得半径，结合圆的标准方程即得解.
【详解】由题意，圆心，半径，
故圆 C 方程 .
故选：B
5. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（）
A. 4 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合圆的弦长公式，即可求解.
【详解】由圆，可得圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与轴相切，所以，
所以截轴所得弦长为 .
故选：C.
6. 在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面
的距离为（）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可．
【详解】由题意，平面的一个法向量为，点，
所以，
所以点到平面的距离为．
故选：A
7. 已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，
则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的
圆上，又点在圆上，得圆与圆有公
共点，利用圆心距与半径的关系即可求解.
【详解】设点，又，由，
所以，化简得，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
又点在圆上，
所以圆与圆有公共点，
所以，即，
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所以，即，
又，，所以的解集为，
由，
所以，
故选：B.
8. 已知，点在轴上，且使得取最小值，则点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作图，找到 M 关于 x 轴对称点是，连结 M’N，求出 M’N 的方程，则 M’N 与 x 轴交于
P 点，此时，取最小值，且，此时根据直线方程求出 P 点即可
【详解】
如图，M 关于 x 轴对称点是，M’和 N 在 x 轴两侧，则当 M’N 成一直线，此时，M’N 与 x 轴交
于 P 点，有取最小值，此时，，而直线 M’N 的方程为，化
简得，，则直线 M’N 交 x 轴于 P 点，所以，P 点坐标为
答案选：C
【点睛】本题考查点关于直线对称的问题，属于简单题
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 如图所示四面体中，，，，且，
，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（）
A. ；
B. 当是靠近的三等分点时，，，共面；
C. 当时，；
D. 的最小值为．
【答案】BCD
【解析】
【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断 A 的真假，借助空间向量共面的判定方法
可判断 B 的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断 CD 的真假.
【详解】以为基底，则，， , .
对 A：因为
.
所以，故 A 错误；
对 B：当是靠近的三等分点，即时，
，
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又，所以 .故，，共面.故 B 正确；
对 C：因为
，
所以：
，
所以，故，故 C 正确；
对 D：设， .
因为：
.
所以，
.
当时，有最小值，为：，故 D 正确.
故选：BCD
10. 已知直线，则（）
A. 直线恒过点 B. 点到直线的最大距离为．
C. 直线的斜率可以为任意负数 D. 当时，直线与坐标轴所围成的三角形
面积的最小值为 4
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 选项，变形得到直线方程为，得到方程组，求出直线恒过点
；B 选项，根据直线所过定点，得到点到直线的最大距离为，求出答案；C 选项，
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变形得到直线的斜率不等于；D 选项，得到直线与两坐标轴的交点坐标，表达出三角形面积，得到最
值.
【详解】A 选项，变形得到，
令，解得，故直线恒过点，A 正确；
B 选项，由于直线恒过点，
故点到直线的最大距离为，B 正确；
C 选项，当时，此时直线的斜率为，
由于，故，C 错误；
D 选项，当时，，，
中令得，令得，
故直线与坐标轴所围成的三角形面积为，
因为，所以当时，所围成的三角形面积最小，最小值为 4，D 正确.
故选：ABD
11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、
思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线
就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）
A. 曲线围成的图形有 4 条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 5
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
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【答案】ABD
【解析】
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可.
【详解】曲线 ,
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
当时，曲线的方程可化为，
所以曲线的图象如图所示，
对于 A：由图可知曲线围成的图形有 4 条对称轴，故 A 正确；
对于 B：曲线由 4 个半圆组成，其周长为，故 B 正确；
对于 C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故 C 错误；
对于 D：到直线的距离，
而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线
的距离最小为，
故的最小值为，故 D 正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线
斜率的取值范围.
【详解】当时，曲线即，
两边平方，整理得，
表示以为圆心，半径的圆的右半圆；
当时，曲线即，
两边平方，整理得，
表示以为圆心，半径的圆的左半圆，
直线表示经过定点、斜率为的直线，
因此，直线与曲线有两个不同的交点，
就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点，
当直线与右半圆有两个交点时，记点，
可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率，
且，解得；
当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得；
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综上所述，实数的取值范围是 .
故答案为： .
13. 达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题
运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正
方体图案（如图 1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图 2 的组合，这个组合表达了图 3 所示的几何体.若图 3
中每个正方体的边长为 1，则点到直线的距离是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得△ 的三条边长，在三角形中求边边上的高线即可.
【详解】根据题意，延长交于点，连接，如下所示：
在△ 中，容易知：；
同理，，
满足，设点到直线的距离为，由等面积法可知：
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，解得，即点到直线的距离是 .
故答案为： .
14. 圆与圆的公切线共有__________条
【答案】4
【解析】
【分析】由两圆的位置关系，判断两圆的公切线.
【详解】由，
所以该圆的圆心坐标为，半径为 2，
，
所以该圆的圆心坐标为，半径为 1，
所以该两圆圆心距为 4，两圆半径和为 3，
因为，所以两圆的位置关系是外离，
故两圆公切线共有 4 条.
故答案为：4.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在直三棱柱中，，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值大小．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
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【分析】（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于 0，证出两条直线互相垂直．
（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．
【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两
垂直．
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
（1），，
，故。
（2）平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
由得：
令，则，则．
故，．
所求二面角的余弦值。
【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力．
16. 已知的三个顶点是，，．
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（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程；
（2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解.
【小问 1 详解】
因为，所以边上的高所在直线的斜率为．
由于直线过点，所以直线方程为，即．
【小问 2 详解】
因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点．
①当直线与平行时，因为，且过点，
所以的直线方程为，即．
②直线过线段的中点时，有，
所以的直线方程为，即．
综上所述：直线方程为或．
17. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，
分别为，中点.
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（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；
（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；
（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.
【小问 1 详解】
证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，， .
设平面的一个法向量为，
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又，，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
又，所以，
又平面，所以平面 .
【小问 2 详解】
解：由（1）知，， .
设平面的一个法向量为，所以
令，解得，，
所以平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离，
即点到平面的距离为 .
【小问 3 详解】
解：由（1）知平面的一个法向量为，
由（2）知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，
又，
所以，即二面角的正弦值为 .
18. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为．
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（1）求经过点且与直线垂直的直线方程；
（2）求以线段为直径的圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程；
（2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程.
【小问 1 详解】
易知的斜率为，故所求直线斜率是，
所求直线过点，
所求直线方程为，
即；
【小问 2 详解】
联立方程组，解得，
故，又，
由中点坐标公式得线段的中点坐标为，
由两点间距离公式得，
即圆心为，半径，
故所求圆的方程为．
19. 已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为 .
（1）求点的轨迹方程 .
（2）若是直线上的动点，为坐标原点，
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（i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值；
（ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为 .证明：直线过
定点.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出点，结合斜率乘积计算即可得；
（2）（i）结合圆的切线的性质可得取最小值时有最大值，计算即可得；（ii）设出点坐标后表
示出直线、，即可通过计算表示出、坐标，结合圆的对称性分直线斜率存在与斜率不存
在计算即可得.
【小问 1 详解】
设点，则有 .
化简得；
【小问 2 详解】
（i）记为，则，因为为锐角，即求最大值，
即求最大值，又，故只需取最小值即可，
则当时，最小，此时取，则，
所以的最大值为；
（ii）设，，，
则，，
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联立，则，
则，即，故，
联立，则，
则，即，故，
即，，
由图形的对称性可知，直线的定点在轴上，
记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时，
即，得，即，此时直线过点；
当直线斜率存在时，即时，有，
即，化简得，
又，故，即，故此时直线过点；
综上所述直线过定点 .
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