河北省衡水市部分学校2026届高三上学期12月期中考试数学含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.直线 的倾斜角为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该直线的倾斜角为 ,易得 ,故 .
2.
A. B. -1-5i C. 5+i D. 5-i
【答案】C
【解析】 .
3.已知圆 的半径为 2,圆 的半径为 3,且两圆外切,则
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】C
【解析】由外切可知两圆的圆心距 5.
4.已知椭圆 的焦距为 6,离心率为 ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记椭圆的半焦距为 ,由 得 ,于是由 得 ,可知 .
5.已知 为等比数列, 为其公比,设甲: ; 乙: 为递增数列,则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【解析】当 时, ,此时 为递减数列,故充分性不成立; 同理可知若 ,此时 为递增数列,但 ,故必要性不成立.
6.社会比较理论是由美国心理学家约翰·亚当斯于 1965 年在《社会交换中的不公平》一文中提出的一种激励理论,比较所得的满意程度取决于相对报酬 ,记总报酬为 ,作出贡献为 ,则 . 而主观贡献强度的估计近似为指数分布. 假设主观作出贡献为 ,则可近似为 . 若 ,则当 时,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】显然 ,当 时, .
7.已知函数 在区间 上单调递增,则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记 ,由在区间上递增可知 在 上有定义,于是 ,于是 ,由 , 可得 ,即 得 ,于是 ,得 ,于是 的最大值为 .
8.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,直线 与 交于 两点,分别过点 作 的垂线,垂足为 . 若四边形 的面积为 ,则 的虚轴长为
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】D
【解析】记坐标原点为 ,不妨设 在第一象限,
显然 的倾斜角为 的倾斜角为 ,故 ,而 ,由对称性易得四边形 是平行四边形,故其面积 ,可得 ,设 ,由 的倾斜角为 得 ,于是由 得 ,即 12,解得 ,故 的虚轴长为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列各式的值为 的是
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于 A: ,故 A 正确;
对于 B: 由二倍角的余弦公式得 ,故 B 错误;
对于 C: ,故 C 错误;
对于 D:


,故 D 正确.
10.记圆 ,圆 ,则
A.
B. 若坐标原点在圆 上,则点 在圆 上
C. 若圆 与圆 内切,则
D. 若圆 与圆 相交,则圆 的面积大于
【答案】ABD
【解析】对于 A，显然 ， ， ,故 A 正确；
对于 B，可得 ,于是圆 4，代入 得 ，成立，故 正确；
对于 ， 显然圆 的半径为 ,圆 的半径为 ,于是 ,解得 ,故 C 错误;
对于 ,由 得 , 故圆 的面积 ,故 正确.
11.记椭圆 的左，右焦点分别为 ，右顶点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与 交于 ， 两点， ， 分别与圆 另交于 ， 两点，则
A.
B.
C. 存在 使得 三点共线
D. 若 ，则 是锐角
【答案】ABD
【解析】对于 ,显然 共圆,故 , 故 正确; 对于 ,由平行线分线段成比例可得 ,于是 . ,故 B 正确; 对于 ,若 三点共线,则四边形 是矩形,但 ,矛盾,故 错误; 对于 ,记 的半焦距为 ,则 ,得 ,于是 ，由 是锐角可知 ,于是 ,故 D 正确. 故选 ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知圆 过点 ,则其标准方程为________.
【答案】
【解析】设 , , 且 ,故 ,于是圆 是以 为直径的圆,故其圆心为 ,半径 . 故答案为 .
13.记双曲线 斜率为正的渐近线为 ,则 虚轴的上端点到 的距离为_______.
【答案】
【解析】注意到 ,其实半轴 , 虚半轴 ,故 ,即 , 而 虚轴的上端点的坐标为 ,故距离 . 故答案为 .
14.设 的定义域为 ,且 为奇函数, 为偶函数. 若 , ，则下列命题为真命题的有_____. (填序号)
① 与 一定不等 ②b可能为 2 ③ 一定为 -2 ④ 可能为 0
【答案】①④
【解析】设 . 因为 为奇函数,故必有 ,即 0,且必有 ,即 . 令 ,则 ,则 的图象关于点 中心对称. 设 . 故必有 . 令 ,则 ,则 的图象关于直线 轴对称. 若 ,则 是奇函数和偶函数,故只能有 ,即 对任意 成立,则 对任意 成立,与 矛盾,故 与 一定不等,故①正确；由于 ,若 ,则 ,与 矛盾, 故② 错误; 假设 关于 轴对称,关于 , 0) 中心对称,经验证满足题意,此时 ,故 ③ 错误; 取 ,则 关于 中心对称, ,代入 得 , 即存在对应取值使得 为 0,故 ④ 正确. 故答案为 ①④ .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知直线 过定点 ，圆 .
(1)求 ；
(2)若 与 相切，求 ；
(3)若点 ，在圆 上，求 的最大值 .
【解析】(1)联立 得 ，故 ，
而 ，于是 .
(2)点 到 的距离 1,
即 ,解得 或
(3) ，当且仅当 ， 按序共线时，等号成立，故 的最大值为 6 . .
16.记双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率存在的直线 与 的右支交于 两点.
(1)求 斜率的取值范围；
(2)若 ,求 的斜率.
【解析】(1) 记 的半焦距为 ,则 , 0),
记 ,联立 ,可得 ,
显然 ,则 ,
于是 ,得 , ,
此时 ,
显然成立. 故由 , 可得 斜率的取值范围为 .
(2)注意到 ,
同理 ,由 可得||
故 , ,于是 的斜率 .
17.如图，在正三棱锥 中， 为 中点， 为棱 上一点.
(1)证明: ，
(2)已知正三棱锥 与顶点均在球 的球面上。
(1)求球 的半径；
(ii)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
【解析】
(1) 由正三棱锥性质可知 ,连接 ,故 ,
而 平面 平面 ,故 平面 ,
而 平面 ,可得 .
(2)(i)记 中心为 ，显然 平面 ， 易知 在直线 上. 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系 .
易得 , ,可设 ,由 可得
,解得 ,
故球 的半径 .
(ii) 显然 ,而平面 的一个法向量
而 ,
记 ,则
记直线 与平面 所成角为 ,则
平方得 ,得 , 可得 或 ,
于是 或 .
18.在直角坐标系 中, 点曲线 ,过点 的直线与 交于 两点.
(1)求 的左顶点坐标；
(2)证明: ；
(3)已知 为 的焦点,若 ,求 .
【解析】( 1 )由 可得左顶点坐标为 .
(2)显然 斜率为 0 时符合题意，下面考虑其不为 0 时. 记 ,
联立 ,
于是
记 斜率为 斜率为
由 在 轴异侧可得 . (9 分) (3)此时 ，
取 中点 ,由直角三角形性质可知 在 上.
联立 ,得 ,
由 得 ,于是 ,
,
记 ,
于是 .
19.已知函数 .
(1)求 的值域；
(2)当 时，证明: ；
(3)设 ，且 ，求 的取值集合.
【解析】(1)
设 ,
时, 单调递减, 时, 单调递增, 1) 时, 单调递减,
而 ,
故 的值域为 ,于是 的值域为 .
( 2 )当 时， ，于是
当 时, .
综上, .
(3)由 得 .
注意到 ,于是 ,而 时, 单调递减,于是 在 上单调递增,可得 .
而设 在 上单调递增,
故 ,于是 ,故 ,当且仅当 时,等号成立. 经验证, 符合题意. 故 的取值集合为