2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷03（全国通用，人教A版选修1~4章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】因为，且，所以，解得，
故选：A
2．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由于，故，所以．
故选：C
3．已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，由，所以；
故选：A
4．已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．3：1
【答案】C
【详解】设它们底面圆半径为，母线长为，记圆柱的表面积为，则，
记圆锥的表面积为，则，所以圆柱与圆锥表面积之比.
故选：C
5．在等比数列中，．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
当时，即有，又，故且，
当时，有，故不能得到，
即“”不是“”的充分条件；
当时，即有，即且，
则，当时，由，故，故，
当时，，亦可得，
故“”是“”的必要条件；
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6．已知点和以点为圆心的圆，以为直径的圆与圆相交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
已知圆的方程为，
所以，且，则的中点为，
圆的半径为，
故圆的方程为，即，
又圆的方程为，所以公共弦的方程为，
设与交于点，则，则，
又圆的半径，所以.
故选：D.
7．已知数列满足，则（ ）
A．64B．128C．256D．512
【答案】B
【详解】根据题意，，则，即，即数列的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，又，所以.
故选：B
8．设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设 ，由双曲线的定义知 ，
在 中，由余弦定理得：，
所以 ，
再由，为的中点，延长至，使，
所以四边形为平行四边形，且，
在中，由余弦定理知：，
在中，由余弦定理知：，
因为，则，
可知，
所以 ③，
由得， 把代入得，
化简得 ，
所以渐近线方程为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线（），则不因k的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标B．渐近线方程C．焦距D．离心率
【答案】BD
【详解】双曲线化为：，实半轴长，虚半轴长，
双曲线的顶点随k的变化而变化，焦距随k的变化而变化，AC不是；而，渐近线方程不因k的变化而变化，离心率为常数，BD是.
故选：BD
10．已知数列的前项和，则（ ）
A．为中的最小项B．
C．数列是等差数列D．
【答案】ABC
【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为，
由于是正整数，计算前几项：
当时，； 当时，；
当​时，； 当​时，；
可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确；
由题意得，当时， ，
当时，，
当时，上式也成立，所以，故B正确；
选项C，由题意得，
因为，所以数列是等差数列，故C正确；
选项D，令，则解得，所以当时，，当时，，
故，故D错误.
故选：ABC.
11．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【详解】因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
设，，其中，
所以，所以，A选项正确．
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确．
，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得平面的一个法向量为，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确；
若直线与直线所成角为，
则，
整理可得，，方程无解，所以C选项错误．
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，则经过，，三点的圆的标准方程是
【答案】
【详解】在平面直角坐标系中，直线与轴，轴相交于，两点，
，，则经过，，三点的圆的圆心为直角三角形的斜边的中点，
半径为的一半，即，则经过，，三点的圆的标准方程是．
故答案为：．
13．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 ．
【答案】3；
【详解】如图所示：
过点作交于点，利用抛物线定义得到.
设准线交x轴于点，因为，所以，又焦点到准线的距离为4，所以， 所以.
故答案为：3
14．设数列与的通项公式分别为，，令，则 ，数列的前项和 .
【答案】10
【详解】，令n=1，得；，则，
两式相减得：
，则
故答案为：10
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
16．已知三棱柱，如图所示，是，上一动点，点、分别是、的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)当平面，且时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明过程见解析(2)
【详解】（1）因为点、分别是、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，，
又，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面法向量的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
则点到平面的距离为，
由勾股定理得，
，
则三棱锥的体积为.
17．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）［方法一］：规律探索
由于，所以
对应的区间为，则；
对应的区间分别为，则，即有2个1；
对应的区间分别为，则，即有个2；
对应的区间分别为，则，即有个3；
对应的区间分别为，则，即有个4；
对应的区间分别为，则，即有个5；
对应的区间分别为，则，即有37个6．
所以．
［方法二］【最优解】：
由题意，，即，当时，．
当时，，则
．
18．如图，在梯形中，，，将沿翻折成，使得，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，且点、、、均在球的球面上．
（ⅰ）证明点在线段上；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）．
【详解】（1）翻折前，，即，，
翻折后，则有，，
又因为，、平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）因为平面，，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
又，，，
故、、、、．
（ⅰ）设，则，，
，．
由，可得，
解得，，则，故在线段上．
（ⅱ）因为，，
设平面的一个法向量，
则，取，则，，可得，
又，设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点，过点M且斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，当时，求m的值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）因为直线过点且斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，则，，
所以，，
因为点在直线上，所以，
因为，所以，
同理得，
所以，
又且，即，所以，异号，
此时，
因为，
所以，
不妨令，则，整理得，
当且仅当，即时，等号成立，
故.