专题4.8 三角形全章专项复习【2大考点17种题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

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专题4.8 三角形全章专项复习【2大考点17种题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18633" 【考点1 认识三角形】  PAGEREF _Toc18633 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5048" 【题型1 三角形的三边关系的应用】  PAGEREF _Toc5048 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc1537" 【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】  PAGEREF _Toc1537 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc28307" 【题型3 三角形的高的有关的问题】  PAGEREF _Toc28307 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc3208" 【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】  PAGEREF _Toc3208 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc10714" 【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】  PAGEREF _Toc10714 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc12733" 【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】  PAGEREF _Toc12733 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc27197" 【题型7 直角三角形的性质的应用】  PAGEREF _Toc27197 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc16695" 【题型8 三角形的稳定性】  PAGEREF _Toc16695 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc10252" 【考点2 全等三角形】  PAGEREF _Toc10252 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc24063" 【题型9 利用全等三角形的性质求角】  PAGEREF _Toc24063 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc21582" 【题型10 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】  PAGEREF _Toc21582 \h 32 HYPERLINK \l "_Toc15088" 【题型11 利用全等三角形的性质求线段的长】  PAGEREF _Toc15088 \h 35 HYPERLINK \l "_Toc17867" 【题型12 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】  PAGEREF _Toc17867 \h 38 HYPERLINK \l "_Toc22186" 【题型13 添加条件判断三角形全等】  PAGEREF _Toc22186 \h 41 HYPERLINK \l "_Toc1706" 【题型14 全等三角形的判定与性质的综合应用】  PAGEREF _Toc1706 \h 43 HYPERLINK \l "_Toc10755" 【题型15 倍长中线法”构造全等三角形】  PAGEREF _Toc10755 \h 49 HYPERLINK \l "_Toc21597" 【题型16 “截长补短法”证明线段和差问题】  PAGEREF _Toc21597 \h 55 HYPERLINK \l "_Toc19663" 【题型17 应用全等三角形的性质解决实际问题】  PAGEREF _Toc19663 \h 61【考点1 认识三角形】三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.三角形的分类 三角形的重要线段（1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．5. 三角形的内角三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：（1）直角三角形的两个锐角互余（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.【题型1 三角形的三边关系的应用】【例1】（24-25七年级·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架OP=OQ=30cm（连接处的长度忽略计），则点P，Q之间的距离可以是（     ）A．50cm B．65cm C．70cm D．80cm【变式1-1】（24-25七年级·四川眉山·期中）若a，b，c是△ABC的三边，试化简：a−b−c+a+b−c= ．【变式1-2】（24-25七年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【变式1-3】（24-25七年级·福建泉州·期末）如图，用AB、BC、CD、AD四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ）A．14 B．16 C．13 D．11【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】【例2】（24-25七年级·江西吉安·期末）用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个．【变式2-1】（24-25七年级·辽宁丹东·期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和2x+1，则这个等腰三角形的腰长为（    ）A．4或7 B．4 C．6 D．7【变式2-2】（24-25七年级·浙江衢州·阶段练习）周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别为 ．【变式2-3】（24-25七年级·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．【题型3 三角形的高的有关的问题】【例3】（24-25七年级·重庆铜梁·开学考试）如图，△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，CE=12，点D在BC上移动，则AD的最小值是 ．【变式3-1】（24-25七年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AD⊥CD，CE⊥AE，AD=4，则CE的长为 ．【变式3-2】（24-25七年级·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD与CE相交于点O，连接BO并延长交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE：AD：BF的值为 .‍【变式3-3】（2025七年级·江苏·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm/s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积等于10？【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】【例4】（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，已知△ABC的面积为12，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，AE、BF、CD交于点G，AG:GE=2:1，则图中阴影部分的面积为（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【变式4-1】（24-25七年级·江苏常州·期末）如图，AD是△ABC的中线，AE=13AD,F是EC的中点．若S△BEF=10，则S△ABC= ．【变式4-2】（24-25七年级·四川巴中·期末）如图，已知A1，A2，A3⋯分别是AC，A1C，A2C⋯的中点，B1，B2，B3⋯分别是BC，B1C，B2C⋯的中点，若△ABC的面积为4，则△A2024B2024C的面积为 ．【变式4-3】（24-25七年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上的一点，且AE=4BE，BD与CE相交于点F，若△CDF的面积为4，则△ABC的面积为 ．【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】【例5】（24-25七年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：  (1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【变式5-1】（2025七年级·安徽铜陵·阶段练习）如图，已知点D是△ABC内一点， 连接BD并延长交AC于点E，求证：AB+AC>DB+DC．  【变式5-2】（24-25七年级·山东青岛·单元测试）如图，设P为△ABC内一点，且PC=BC，求证：AB>AP．  【变式5-3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O．求证：(1)AB+CD12AB+BC+CD+AD．【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】【例6】（24-25七年级·广西柳州·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1=42°,∠2=46°，则∠BA′C的度数为 ．【变式6-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点 D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平使A与A′重合， 若∠A=35°， 则∠1+∠2的度数为（     ）A．70° B．105° C．140° D．35°【变式6-2】（24-25七年级·河北石家庄·期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，使点A落在点A′处．若∠A′=30°，∠B=120°，则∠A′NC= °．  【变式6-3】（2025七年级·安徽六安·阶段练习）如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，(1)若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；(2)若∠B+∠C=130°，求∠1+∠2的度数．【题型7 直角三角形的性质的应用】【例7】（24-25七年级·辽宁盘锦·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AC上一点，过点A作AE⊥BD于点E．(1)当BD平分∠ABC，且∠ABC=60°时，求∠BAE的度数；(2)当点D是AC中点，DB=3，且△BCD的面积为94，求AE的长．【变式7-1】（24-25七年级·贵州贵阳·期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1=130°，则∠2等于（    ）A．60° B．50° C．40° D．30°【变式7-2】（24-25七年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，∠CEO=90°，杠杆BC与上臂OC重合；使用时，B刚好至B′点，当A′B′∥OE时，恰好CB′'平分∠OCE，若∠CB′A′=129°，则∠COE= °．【变式7-3】（24-25七年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动．(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．在图1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度数；(2)【迁移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分线AD交BC于点D．如图2，在AD上任取点F，作FE⊥BC，垂足为点E，直接写出∠DFE的度数；(3)【拓展应用】如图③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，求出∠DFE与∠C、∠B之间的数量关系．【题型8 三角形的稳定性】【例8】（24-25七年级·河南安阳·期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，运用的知识是 ．【变式8-1】（24-25七年级·辽宁大连·期末）下列图形中具有稳定性的是（    ）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．长方形 D．平行四边形【变式8-2】（24-25七年级·河南焦作·期末）2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射圆满成功，在火箭发射塔上有许多三角形的结构，这主要是利用了三角形的 ．【变式8-3】（24-25七年级·山西吕梁·期末）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉 根木条．【考点2 全等三角形】1．全等形的概念定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．2．全等三角形的概念和表示方法（1）全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（2）全等三角形的对应元素：①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．（3）全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．3．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．4. 判定两个三角形全等的方法边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．【题型9 利用全等三角形的性质求角】【例9】（24-25七年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D//EB′//BC，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）  A．105° B．100° C．110° D．115°【变式9-1】（24-25七年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为30°，α，βα>β，另一个三角形有一个角为70°，则α−β= °．【变式9-2】（24-25七年级·江苏泰州·期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠1+∠2=＝ °．【变式9-3】（24-25七年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，D，E分别是△ABC的边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（    ）  A．15° B．20° C．25° D．30°【题型10 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】【例10】（24-25七年级·安徽合肥·单元测试）如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是 ．【变式10-1】（24-25七年级·河北承德·期末）如图，△ABC≌△EFD，则BC与DF的关系是（    ）A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等【变式10-2】（24-25七年级·河北保定·期中）如图，已知△ADE≌△CFE，点D是AB上一点，DF交AC于点E．（1）AD与CF的位置关系是 ；（2）若AB=7，CF=4，则BD的长为 ．【变式10-3】（24-25七年级·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．  (1)若BC=10，AD=7，求BD的长．(2)试判断AB和CF的关系，并说明理由【题型11 利用全等三角形的性质求线段的长】【方法总结】利用全等三角形的性质求线段长的方法:(1)先确定两个三角形中边 的对应关系,再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换; (2)若所求的线段不是全等三角形的对应边,则需要用等式的 性质进行转换求解.【例11】（24-25七年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 .【变式11-1】（24-25七年级·山西临汾·期末）如图，已知△ABC≌△A′B′C′，点B,B′,C,C′在同一条直线上，若BC′=11,B′C=5，则BB′的长为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【变式11-2】（24-25七年级·河北保定·阶段练习）如图，△ABC≌△DEB，点D在AB上，BC与DE交于点F，AD=AC．  （1）若AD=5，则DE的长为 ；（2）连接CD，若S△ACD=2，则S△DEB的值为 ．【变式11-3】（24-25七年级·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm．【题型12 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】【方法总结】三角形经过平移、旋转或翻折变换后,形状、大小没有发生变化,故变换前后两三角形全等.【例12】（24-25七年级·江苏连云港·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=122°，则∠1+∠2的度数为（    ）A．116° B．100° C．128° D．120°【变式12-1】（2025七年级·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角．(1)△ABC≌△CDA，对应边是 ，对应角是 ；(2)△AOB≌△DOC，对应边是 ，对应角是 ；(3)△AOC≌△BOD，对应边是 ，对应角是 ；(4)△ACE≌△BDF，对应边是 ，对应角是 ．【变式12-2】（24-25七年级·重庆大足·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC沿AC方向平移AD的长度得到△DEF，且AD=3，BC=6，BG=2，则图中阴影部分的面积是 ．  【变式12-3】（24-25七年级·浙江杭州·阶段练习）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的．若∠1:∠2:∠3=28:5:3．则∠EFC的度数（     ）A．60° B．70° C．80° D．90°【题型13 添加条件判断三角形全等】【例13】（24-25七年级·山东日照·开学考试）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件，其中不能使△ABC≌△AED的是（    ）A．AB=AE B．BC=ED C．∠C=∠D D．∠B=∠E【变式13-1】（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）如图，已知△ABC的六个元素，则根据甲、乙、丙3个三角形中的条件能和△ABC全等的图形是（    ）A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙【变式13-2】（24-25七年级·山东泰安·期末）给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（    ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组【变式13-3】（2025七年级·安徽芜湖·阶段练习）如图，B是AD中点，∠C=∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBE，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）【题型14 全等三角形的判定与性质的综合应用】【例14】（24-25七年级·山西吕梁·期末）（1）已知AB∥CD，AD∥BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M，N，如图1，那么AM与CN有什么关系？请说明理由．（2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的AM与CN的关系还成立吗？请说明理由．【变式14-1】（24-25七年级·河北保定·期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE∥BF．  (1)△ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由；(2)若AD=6，DF=2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积．【变式14-2】（24-25七年级·山东日照·期末）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D．(1)尺规作图：在AC上求作一点E，使∠ADE=∠ADB，交AC于点E（不要求写作法，保留作图痕迹），作图依据是 ；（提示：SSS，SAS，ASA，AAS）(2)求证：△ABD≌△AED；(3)已知AB=9，△CDE的周长为15，求△ABC的周长．【变式14-3】（24-25七年级·四川成都·期末）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边△ABC的BC,CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：(1)若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．(2)若将题中的点M，N分别移动到BC,CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？请你画出图形，给出答案并说明理由．【题型15 “倍长中线法”构造全等三角形】【方法总结】所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.【例15】（24-25七年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)取BD的中点P，连接OP，试说明AC=2OP．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE，并证明BE=OD．②求证：AC=2OP．【变式15-1】（24-25七年级·浙江杭州·期中）在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值范围为（　　）A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜11【变式15-2】（24-25七年级·山东济南·期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F．若BE=AC，AF=2，CF=8，那么BF的长度为 ．【变式15-3】（24-25七年级·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）：例4、如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E，求证：AD=ED．  证明：∵CE∥AB（已知），∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED．∵D为BC边中点，∴BD=CD．在△ABD与△ECD中，∵∠ABD=∠ECD∠BAD=∠CEDBD=CD，∴△ABD≌△ECD（ 　　 ）∴AD=ED（ 　 　）    （2）【方法应用】如图①，在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD长度的取值范围是 　 　．（3）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想．  【题型16 “截长补短法”证明线段和差问题】【方法总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长,指在长线段中截取一段等于已知线段;补短,指将短线段延长,延长后的线段等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.【例16】（24-25七年级·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【变式16-1】（24-25七年级·上海静安·期末）如图，已知在ΔABC中，CD平分∠ACB，∠A=2∠B,BC=a,AC=b，则AD= . （用含a、b的代数式表示）. 【变式16-2】（24-25七年级·山东临沂·期中）【基本模型】（1）如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【变式16-3】（24-25七年级·四川成都·期中）在△ABC的高AD、BE交于点F，DF=CD．(1)如图1，求证：∠DAC=∠CBE；(2)如图1，求∠ABC的度数；(3)如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，当GH=BE时，探究线段CE、CG、BH的数量关系，并证明你的结论．【题型17 应用全等三角形的性质解决实际问题】【例17】（24-25七年级·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.3m和1.5m，∠BOC=90°，∠BDO=90°，∠CEO=90°．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【变式17-1】（24-25七年级·山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=40°，求∠D的度数．【变式17-2】（24-25七年级·山西晋城·期末）如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图形，线段AB表示小明的身高，线段BC表示小明的影子，线段DE表示小亮的身高，线段EF表示小亮的影子，BC=EF，太阳光线AC∥DF．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．  【变式17-3】（24-25七年级·安徽安庆·阶段练习）如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．(1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；(2)如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由．