上海市浦东新区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷及参考答案

这是一份上海市浦东新区2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷及参考答案，共10页。试卷主要包含了11，若，则=_________，化简，……………………6分等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 若集合，则A有______个非空真子集。
2. 已知函数是奇函数，且，则________.
3.若，则=_________.
4. 不等式的解集是________.
5. 若为锐角，则________.
6.化简：=________.
7.在的二项展开式中，项的系数是________.
8.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需要2人承担，乙和丙各需1人承担。现从10人中选取4人承担这三项任务，不同的选法有________种.
9.若正数，则的最小值等于_______.
10. 函数在区间上的值域是________.
11. 若为锐角，，.则=________.
12.已知，若关于x的方程，有唯一解，则a的取值范围是______.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。13、14题选对得4分，15、16题选对得5分，否则一律得零分.
13. “”是“tan=1”的________条件。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
14. 下列函数中，在区间上单调增的是（ ）.
A. B. C. D.
15. 在中，，则三角形ABC的形状是（ ）.
A. 直角三角形 B. 底边为BC的等腰三角形
C. 底边为AC的等腰三角形 D. 底边为AB的等腰三角形
16.已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（ ）.
A. ①②都对 B. ①②都错 C. ①对②错 D. ①错②对
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知集合，.
（1）求；
（2）若集合，求实数的取值范围.
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）若函数的图像与直线y=t相交的连续的三个点从左到右依次记为A、B、C，若，求正数t的值。
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为 ，整个矩形版面的面积为.
（1）试用的代数式表示；
（2）当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到）
20. （本题满分18分）第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分.
设二次函数，且函数图像与y轴交于.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图像在点处的切线方程；
（3）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
21. （本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
已知函数.
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）对于任意的，总存在，使得 成立，求实数的取值范围.
浦东区2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 若集合，则A有______个非空真子集。
【答案】
2. 已知函数是奇函数，且，则________.
【答案】
3.若，则=_________.
【答案】
4. 不等式的解集是________.
【答案】
5. 若为锐角，则________.
【答案】
6.化简：=________.
【答案】
7.在的二项展开式中，项的系数是________.
【答案】
8.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需要2人承担，乙和丙各需1人承担。现从10人中选取4人承担这三项任务，不同的选法有________种.
【答案】
9.若正数满足，则的最小值等于_______.
【答案】
10. 函数在区间上的值域是________.
【答案】
11. 若为锐角，，.则=________.
【答案】
12.已知，若关于x的方程，有唯一解，则a的取值范围是______.
【答案】
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。13、14题选对得4分，15、16题选对得5分，否则一律得零分.
13. “”是“tan=1”的________条件。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
【答案】A
14. 下列函数中，在区间上单调增的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
15. 在中，，则三角形ABC的形状是（ ）.
A. 直角三角形 B. 底边为BC的等腰三角形
C. 底边为AC的等腰三角形 D. 底边为AB的等腰三角形
【答案】B
16.已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，对于下列两个命题：①②的值域为.判断正确的是（ ）.
A. ①②都对 B. ①②都错 C. ①对②错 D. ①错②对
【答案】D
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知集合，.
（1）求；
（2）若集合，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）A=[-1,3]，…………………………2分
B=,………………………4分
则.……………………6分
(2),…………………………8分
①若a=0，则C=…………………………10分
②若，则由，得，……………11分
解得或………………………………………………13分
综上，由①②得，实数的取值范围是.……………………14分
18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数.
（1）求的最小正周期及单调增区间；
（2）若函数的图像与直线y=t相交的连续的三个点从左到右依次记为A、B、C，若，求正数t的值.
【答案】（1），单调增区间是( （2）
【解析】（1）…………………………3分
所以………………………………4分
由，即，
所以单调增区间是().……………………6分（注：开区间也对）
(2)设，则………………………………7分
由，所以………………………………………………………8分
且故A、B两点关于直线()对称……………………………10分
所以A点的横坐标为，……………………………………11分
所以…………………………………………………14分
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某学校运动会宣传单采用如下方式排版：在矩形版面中设计两个相同形状的矩形栏目，每个栏目的面积为，在其上下各留的空白，左右各留的空白，而两个矩形栏目中间留的空白. 如图所示，设的长为 ，整个矩形版面的面积为.
（1）试用的代数式表示；
（2）当为何值时，整个矩形版面的面积最小？（结果精确到）
【答案】（1） （2）当时，整个矩形版面的面积最小
【解析】（1）……………………4 分
.………………6分 注：“x>0”……1分
（2）由得：，……………………10分
当，即时，…………12分
取最小值.所以当时，整个矩形版面的面积最小.…………14分
20. （本题满分18分）第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分.
设二次函数，且函数图像与y轴交于.
（1）求函数的解析式；
（2）求的图像在点处的切线方程；
（3）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）由函数图像与y轴交于,得, …………………1分
又，所以,故，…………………2
所以…………………………………………4分
（2）由，得…………………………5分
函数在点处的切线斜率为，………………………6分
又，所以切点坐标为………………………8分
所以切线方程为，即…………………10分
（3），在上有两个不同零点，需满足：
① 判别式；② 对称轴在区间内；③ 区间端点函数值非负
，解得或（舍去负根，因对称轴需在正区间）；……12分
对称轴为，故，即…………………………14分
（恒成立）；，解得…………16分
综上，………………………………18分
21. （本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.
已知函数.
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）对于任意的，总存在，使得 成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1），在区间上恒成立 …………2分
因此函数在上是严格增函数 ……………………………………3分
所以最小值是……………………………………………4分
（2）由即，得 ……………………6分
令…………………………………………………7分
所以在上时严格增函数，……………………………………8分
故最大值为……………………………………………………9分
所以，即……………………………………………………10分
（3）对于任意的，总存在，使得 成立，
因为在上的最大值为………………………………………………12分
故对任意成立，即对任意成立 …………13分
设() 则t(x)= ……………………………14分
当时，, , 是减函数 ……………………………15分
当时，, 是增函数 ……………………………16分
因此，在时取得极小值，也是区间内的最小值= …………17分
因为对任意成立，所以，即的取值范围是……18分