2024_2025学年上海市浦东新区高三上学期期中考试数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年上海市浦东新区高三上学期期中考试数学试卷[附解析]，共14页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题满分54分）
1．（4分）函数y＝lg（x﹣1）的定义域为 ．（用区间表示）
2．（4分）设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{c，d}，则＝ ．
3．（4分）已知，则f（3）＝ ．
4．（4分）若点在幂函数y＝xa的图象上，则该幂函数的表达式为 ．
5．（4分）若角α满足sinα＞0，且tanα＜0，则角α属于第 象限．
6．（4分）不等式的解集用区间表示为 ．
7．（5分）若lg73＝a，7b＝2，则lg772可以用a及b表示为 ．
8．（5分）已知集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为 ．
9．（5分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．
10．（5分）将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是 ．（用数字作答）
11．（5分）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m+3＝0有两个同号实根，则实数m的取值范围是 ．
12．（5分）下面有四个命题：
①若点P（a，2a）（a≠0）为角α的终边上一点，则；
②同时满足，的角α有且只有一个；
③如果角α满足，那么角α是第二象限的角；
④满足条件的角x的集合为．
其中真命题的序号为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝csxC．y＝x3D．y＝2x
14．（5分）“x＞1”是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
15．（5分）已知陈述句α是β的充分非必要条件．若集合M＝{x|x满足α}，N＝{x|x满足β}，则M与N的关系为（ ）
A．M⊂NB．M⊃NC．M＝ND．M⊃N＝∅
16．（5分）对于函数
①f（x）＝|x+2|，
②f（x）＝（x﹣2）2，
③f（x）＝cs（x﹣2），
判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②D．③
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）（1）设a、b为实数，比较a2+b2与2a﹣2b﹣2的值的大小；
（2）已知f（x）＝3x2，求曲线y＝f（x）在点P（﹣1，3）处的切线方程．
18．（14分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω与f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若，求sinB+sinC的取值范围．
19．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，csC＝﹣．
（1）若sinA＝2sinB，求b、c；
（2）若cs（A）＝，求c．
20．（16分）已知函数．
（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性（不需要说明理由）；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）若y＝f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围．
21．（18分）已知函数f（x）＝ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）＝x4+f（x）．
（1）当a＝﹣时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式g（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．
答案与试题解析
一、填空题（本大题满分54分）
1．（4分）函数y＝lg（x﹣1）的定义域为 （1，+∞） ．（用区间表示）
【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．
解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故（1，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
2．（4分）设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{c，d}，则＝ {e} ．
【分析】先由集合并集的定义求出A∪B，然后由补集的定义求解即可．
解：因为集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{c，d}，
所以A∪B＝{a，b，c，d}，
则＝{e}．
故{e}．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合并集以及补集的求解，解题的关键是掌握并集和补集的定义，属于基础题．
3．（4分）已知，则f（3）＝ ．
【分析】根据已知条件，将x＝3代入函数解析式，即可求解．
解：，
则f（3）＝．
故．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
4．（4分）若点在幂函数y＝xa的图象上，则该幂函数的表达式为 ．
【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果．
解：点在幂函数y＝xa的图象上，
则，解得．
所以．
故．
【点评】本题主要考查幂函数解析式的求解，属于基础题．
5．（4分）若角α满足sinα＞0，且tanα＜0，则角α属于第 二 象限．
【分析】根据正弦值、正切值符号判断角所在的象限即可．
解：由sinα＞0，知角α属于第一象限或第二象限或其终边位于y轴的正半轴上，
由tanα＜0，知角α属于第二象限或第四象限，
因此，角α属于第二象限．
故二．
【点评】本题考查三角函数值的符号，属于基础题．
6．（4分）不等式的解集用区间表示为 [﹣3，1） ．
【分析】由题意，把分式不等式转化为不等式组，从而求出它的解集．
解：不等式，即≤0，即，求得﹣3≤x＜1，
可得不等式的解集为[﹣3，1）．
故[﹣3，1）．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
7．（5分）若lg73＝a，7b＝2，则lg772可以用a及b表示为 2a+3b ．
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
解：7b＝2，
则b＝lg72，
lg73＝a，
故lg772＝lg78+lg79＝3lg72+2lg73＝2a+3b．
故2a+3b．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
8．（5分）已知集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，且1∈A，则实数a的值为 ﹣1或0 ．
【分析】根据题意，可得（a+1）2＝1或a2+3a+3＝1，由此求出a的值，验证集合A中元素是否满足互异性，再得到a的值．
解：根据题意，集合A＝{2，（a+1）2，a2+3a+3}，若1∈A，
则（a+1）2＝1或a2+3a+3＝1，
若（a+1）2＝1，解得a＝0，此时A＝{2，1，3}，符合题意，
若a2+3a+3＝1，解得a＝﹣1或﹣2，
当a＝﹣1时，A＝{2，0，1}，符合题意，
当a＝﹣2时，A＝{2，1，1}，不符合题意，
故a＝﹣1或0，
故﹣1或0．
【点评】本题考查元素与集合的关系，涉及集合中元素的性质，属于基础题．
9．（5分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 15 ．
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
解：根据二项式展开．
故15．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10．（5分）将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是 ．（用数字作答）
【分析】应用排列数求5个人排成一排、甲和乙须排在一起的排法数，应用古典概型的概率求法求概率．
解：将5个人排成一排有种，
又甲和乙须排在一起有种，
所以根据古典概型可得，甲和乙须排在一起的概率是．
故．
【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
11．（5分）若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m+3＝0有两个同号实根，则实数m的取值范围是 （﹣3，﹣1] ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列不等式组求参数范围．
解：若关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m+3＝0有两个同号实根，
则，
即实数m的取值范围是（﹣3，﹣1]．
故（﹣3，﹣1]．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
12．（5分）下面有四个命题：
①若点P（a，2a）（a≠0）为角α的终边上一点，则；
②同时满足，的角α有且只有一个；
③如果角α满足，那么角α是第二象限的角；
④满足条件的角x的集合为．
其中真命题的序号为 ④ ．
【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断．
解：①若点P（a，2a）（a≠0）为角α的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），故①是假命题；
②同时满足，，可得+2kπ，k∈Z，故②是假命题；
③如果角α满足，那么角α是第三象限的角，不是第二象限角，故③是假命题；
④满足条件的角x＝kπ﹣，k∈Z，故④是真命题．
故④．
【点评】本题主要考查象限角以及终边相同的角，属于基础题也是易错题．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13．（5分）下列函数是偶函数的是（ ）
A．y＝sinxB．y＝csxC．y＝x3D．y＝2x
【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可．
解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sinx为奇函数；
对于B，由正弦函数的性质可知，y＝csx为偶函数；
对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；
对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．
故选：B．
【点评】本题考查常见函数的奇偶性，属于基础题．
14．（5分）“x＞1”是“”的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分又非必要条件
【分析】结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：当x＞1时，成立，
当x＝﹣1时，满足成立，但x＞1不成立．
故“x＞1”是“”成立的充分不必要条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础．
15．（5分）已知陈述句α是β的充分非必要条件．若集合M＝{x|x满足α}，N＝{x|x满足β}，则M与N的关系为（ ）
A．M⊂NB．M⊃NC．M＝ND．M⊃N＝∅
【分析】根据充分条件、必要条件与集合的关系可解．
解：因为α是β的充分非必要条件，
所以α能推出β，β不能推出α，
若集合M＝{x|x满足α}，N＝{x|x满足β}，
所以M⊂N，
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分条件、必要条件与集合的关系，属于基础题．
16．（5分）对于函数
①f（x）＝|x+2|，
②f（x）＝（x﹣2）2，
③f（x）＝cs（x﹣2），
判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x+2）是偶函数；命题乙：f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②D．③
【分析】对于题中所给的3个函数，它们的定义域均为实数集R；于是可以先求出函数f（x+2）的解析式，①中有f（x+2）＝|x+4|，②中有f（x+2）＝|x|，③中有f（x+2）＝csx，然后判断f（x+2）的奇偶性；再由函数f（x）的图象可得出f（x）的单调性来．
解：①函数f（x）＝|x+2|，则有f（x+2）＝|x+4|，显然这不是偶函数，因此①中的函数不符合要求；
②函数f（x）＝|x﹣2|，则有f（x+2）＝|x|，f（x+2）是偶函数，又由函数f（x）的图象可知f（x）在（﹣∞，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，所以②符合要求；
③中函数f（x）＝cs（x﹣2），则有f（x+2）＝csx，是偶函数，但是它在（﹣∞，2）上没有单调性；
故均符合条件的函数为②，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的奇偶性，单调性及其判断与证明；复合函数的概念，命题的概念，属基础题．
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．（14分）（1）设a、b为实数，比较a2+b2与2a﹣2b﹣2的值的大小；
（2）已知f（x）＝3x2，求曲线y＝f（x）在点P（﹣1，3）处的切线方程．
【分析】（1）应用作差法比较大小；
（2）利用导数几何意义求切线方程．
解：（1）a2+b2﹣（2a﹣2b﹣2）＝a2+b2﹣2a+2b+2
＝（a2﹣2a+1）+（b2+2b+1）＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，
当且仅当a＝1，b＝﹣1时等号成立，
所以a2+b2≥2a﹣2b﹣2；
（2）函数f（x）＝3x2，可得f（x）的导数为f′（x）＝6x，则f′（﹣1）＝﹣6，
因此，曲线y＝3x2在点P（﹣1，3）处的切线斜率为﹣6，
于是，所求切线方程为y﹣3＝﹣6（x+1），即6x+y+3＝0．
【点评】本题考查不等式的性质和导数的运用，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于基础题．
18．（14分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω与f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若，求sinB+sinC的取值范围．
【分析】（1）由函数的最小正周期可得ω的值，进而求出函数的单调递增区间；
（2）由（1）及f（）＝1可得A的值，由三角形的内角和为π及A的值可得B用C的角表示，再由B的范围，求出sinB+sinC的取值范围范围．
解：（1）因为的最小正周期为π，所以，
所以ω＝2，f（x）＝sin（2x+），
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）在△ABC中，若，
由（1）得，，所以
因为0＜A＜π，所以，解得：A＝，
即，
因为，所以；
所以，
所以sinB+sinC的取值范围．
【点评】本题考查三角函数的性质，三角形的角的求法，属于中档题．
19．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，csC＝﹣．
（1）若sinA＝2sinB，求b、c；
（2）若cs（A）＝，求c．
【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可求解c的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得csA，sinA，sinC的值，进而根据正弦定理可得c的值．
解：（1）因为sinA＝2sinB，可得a＝2b，
又a＝2，可得b＝1，
由于csC＝＝＝﹣，可得c＝．
（2）因为cs（A）＝（csA+sinA）＝，
可得csA+sinA＝，
又cs2A+sin2A＝1，
可解得csA＝，sinA＝，或sinA＝，csA＝，
因为csC＝﹣，可得sinC＝，tanC＝﹣，可得C为钝角，
若sinA＝，csA＝，可得tanA＝7，可得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝＜0，
可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，
所以sinA＝，由正弦定理，可得c＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（16分）已知函数．
（1）判断函数y＝f（x）的奇偶性（不需要说明理由）；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）若y＝f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求a的取值范围．
【分析】（1）根据函数定义域是否关于原点对称即可判断；
（2）问题化为在（0，+∞）上恒成立，求右侧最大值，即可得参数范围；
（3）根据函数单调性，将问题化为方程有两个不相等的正根m，n，结合判别式求参数范围．
解：（1）y＝f（x）为非奇非偶函数；
由于x＞0，即定义域不关于原点对称，
故y＝f（x）为非奇非偶函数；
（2）∵在（0，+∞）上恒成立，且a＞0，
∴在（0，+∞）上恒成立，
令（当且仅当时取等号），则．
故a的取值范围是．
（3）函数在定义域上是增函数．
所以，即，
故方程有两个不相等的正根m，n，注意到mn＝1，
故只需要且a＞0，则，
故a的取值范围为（0，）．
【点评】本题考查了函数的单调性和最值的应用，属于中档题．
21．（18分）已知函数f（x）＝ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）＝x4+f（x）．
（1）当a＝﹣时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[﹣2，2]，不等式g（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，求b的取值范围．
【分析】（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数g（x）仅在x＝0处有极值说明f'（x）＝0仅有x＝0一个根得到答案．
（3）根据函数9（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．
解：（1）f'（x）＝3ax2+4x＝x（3ax+4）． …（1分）
当a＝﹣时，f'（x）＝x（﹣10x+4）．令（n∈N），解得x1＝0，． …（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在内是增函数，在（﹣∞，0），内是减函数． …（5分）
（2）g'（x）＝4x3+f'（x）＝x（4x2+3ax+4），显然x＝0不是方程4x2+3ax+4＝0的根．…（7分）
为使g（x）仅在x＝0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，…（8分）
即有Δ＝9a2﹣64≤0．解不等式，得．这时，g（0）＝b是唯一极值． …（9分）
因此满足条件的a的取值范围是． …（10分）
（3）g'（x）＝x（4x2+3ax+4）由条件a∈[﹣2，2]，可知Δ＝9a2﹣64＜0，…（11分）
从而4x2+3ax+4＞0恒成立．在（﹣，）上，当x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0．
因此函数g（x）在[﹣1，1]上的最大值是g（1）与g（﹣1）两者中的较大者． …（13分）
为使对任意的a∈[﹣2，2]，不等式g（x）≤1在[﹣1，1]上恒成立，
当且仅当，即，在a∈[﹣2，2]上恒成立． …（15分）
所以b≤﹣4，因此满足条件的b的取值范围是（﹣∞，﹣4]…（16分）
x
（﹣∞，0）
0
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘