北京市陈经纶中学分校八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市陈经纶中学分校八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
（考试时间60分钟 满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 若二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】被开方数x-3必须是非负数，即x-3≥0，由此可确定被开方数中x的取值范围.
【详解】根据题意，得:
x-3≥0，
解得，x≥3；
故选B．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键．
【详解】解；A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3. 满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中设，则，
∵，
∴组成的三角形是直角三角形，故A符合要求；
同理，B中，
∵，
∴组成的三角形不是直角三角形，故B不符合要求；
同理，C中，
∵，
∴组成的三角形不是直角三角形，故C不符合要求；
同理D中，
∵，
∴组成的三角形不是直角三角形，故D不符合要求；
故选：A．
4. 若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为（ ）
A. 60B. 30C. 24D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：菱形的面积= ×6×10=30，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
5. 能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线垂直
C. 对角线互相平分且相等D. 对角线垂直且相等
【答案】C
【解析】
6. 如图，在△中, ，，边上的中线，那么的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中线的性质及勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，再由等腰三角形三线合一性质得出△ABC为等腰三角形，即可得出结果
【详解】解：∵，边上的中线，
∴BD=3，
∵，
即，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形，
即AC=AB=5，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，三角形的中线等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（ ）.

A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°，
又∵∠ABO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°，
∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
8. 已知为数轴原点，如图，
（1）在数轴上截取线段；
（2）过点作直线垂直于；
（3）在直线上截取线段；
（4）以为圆心，长为半径作弧，交数轴于点.
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】由勾股定理求得，进而得，再判断结论的正误．
【详解】根据题意得，，
，
故正确；
，
，
∵，
∴，
正确，错误；
，
故错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 计算：已知，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可
【详解】解：∵，
∴
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的乘法和平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键
10. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15米，由此他知道了A，B间的距离为_____米．
【答案】30
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵点D，E是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝30，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11. 平行四边形的对角线交于点O，若两条对角线长的和为，且长为，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质注意平行四边形的对角线互相平分，对边相等．根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：如图所示
四边形是平行四边形，
的周长为
故答案为∶．
12. 在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝30°，则▱ABCD的面积为__．
【答案】40
【解析】
【分析】直接利用直角三角形的性质得出AM的长，进而利用平行四边形面积求法得出答案.
【详解】解：如图所示：过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=8，∠B=30°，
∴AM=AB=4，
∴▱ABCD的面积为：AM•BC=4×10=40．
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出求出平行四边形的高是解题关键．
13. 在平行四边形中，对角线与相交于点，分别添加下列条件：；；平分；．使得平行四边形是菱形的条件有______．（填序号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判定定理逐一判断即可求解，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形是菱形，正确，故符合要求；
当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形是菱形，正确，故符合要求；
当平分时，如图，则，

∵，
∴,
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，正确，故符合要求；
当时，如图，则，

∴平行四边形是矩形，错误，故不合要求；
故答案为：．
14. 如图所示的正方形网格中，每一个小正方形的面积均为，正方形，，的顶点都在格点上，则正方形的面积为__________．
【答案】45
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵CM=3，CN=6，∠MCN=90°，
∴MN2=CM2+CN2=32+62=45，
∴正方形MNPQ的面积=MN2=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
15. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，与相交于F，则为______．

【答案】
【解析】
【分析】由正方形、等边三角形可得，，，，则，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，等边三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键．
16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F是正方形边上一动点，连接，那么，的周长的最小值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理解题关键是将的周长的最小值转化为线段的最小值．延长至，使连接交于点，线段的最小值即为，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：延长至，使连接交于点如图：
正方形的边长为4，，
在中：，，
，
在中：，
的周长为：，
的最小值为：，
的周长的最小值为：，
故答案为：
三、解答题（本题共52分，第17题每小题4分，第18-22题每小题5分，第23-24题每小题6分，第25题7分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的化简求值，一定要先化简再求值﹒二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
（1）利用二次根式的乘法法则化简然后合并同类二次根式即可；
（2）利用二次根式的乘法法则化简即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
18. 已知，求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．熟练掌握二次根式的化简求值，平方差公式是解题的关键．
根据，然后代值，利用平方差公式计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴代数式的值为2．
19. 下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为角的平行四边形”的尺规作图过程．
已知：矩形．
求作：，使．
作法：如图，
①作的垂直平分线；
②以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接；
③以点G圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．
则四边形即为所求作平行四边形．
根据小明设计的尺规作图过程，填空：
（1）的大小为______；
（2）判定四边形是平行四边形的依据是____________；
（3）平行四边形的面积为m，矩形的面积为n，用等式表示m，n的数量关系为____________．
【答案】（1）
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
（3）
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识．熟练掌握垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定是解题的关键．
（1）如图，连接，由是的垂直平分线，可得，则是等边三角形，进而可求的度数；
（2）由题意知，由，可证四边形是平行四边形，然后作答即可；
（3）由题意知，，，进而可得．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴判定依据为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：由题意知，，
∵，
∴，即，
故答案为：．
20. 如图所示，已知点在对角线上，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，，结合可得出，利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，即可得出．
【详解】证明：连接交于点O，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
又，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理并灵活运用是解题的关键．
21. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：BC=DE
【答案】证明见解析.
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD=BC，
∴∠BAE=∠E ，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠DAE ，
∴DA=DE，
又∵AD=BC，
∴BC=DE．
22. 阅读材料，并回答问题：
（1）上述解答过程中，从第______步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【答案】（1）② （2）
【解析】
【分析】（1）利用分母有理化进行计算，逐一判断即可解答；
（2）利用分母有理化进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，
故答案为：②；
【小问2详解】
正确的解答过程如下：
【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
23. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24. 如图，在正方形中，E是中点，F是上一点，且，正方形边长为a．
（1）求证：；
（2）求的周长（用含a的式子表示）．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理证明，即可证得结论；
（2）根据（1）的结果结合三角形的周长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：∵正方形边长为a，E是中点，，
∴，，．
∴，，．
∴，
∵ ，即．
∴．
【小问2详解】
的周长．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
25. 如图，在中，，点，分别在边，上，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，点为的中点，连接，．
①依题意补全图形；
②若，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据等边对等角得到，进而得到再根据等校对等边即可得到结论；
（2）①根据题意补图即可；
②延长至点，使，连接，则四边形是平行四边形，然后推导，得到，然后得到，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴
∴；
【小问2详解】
①如图所示,
②延长至点，使，连接，
∵点为的中点，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
由（1）得:，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
小君在学习二次根式时，化简的过程如下：
解：
……第①步
……第②步
……第③步
……第④步