北京市陈经纶中学八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市陈经纶中学八年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A选项错误，不合题意；
与3不是同类项，不能合并，故B选项错误，不合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
2. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. a＝1.5，b＝2，c＝3B. a＝7，b＝24，c＝25
C. a＝6，b＝8，c＝10D. a＝3，b＝4，c＝5
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A．∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B．∵72+242＝252，∴该三角形直角三角形，故B选项不符合题意；
C．∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D．∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键．
3. 如图，E、F是ABCD对角线AC上两点，且AE=CF，连接DE、BF，则图中共有全等三角形的对数是（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD，AD∥CB，进而可得∠DAE=∠BCF，然后可证明△ADC≌△CBA，△AED≌△CFB，△DEC≌△BFA．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴DE=BF，
∵AE=CF，
∴AC-AE=AC-CF，
∴CE=AF，
在△DEC和△BFA中，
∴△DEC≌△BFA（SSS），
图中全等三角形共有3对，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，关键是掌握平行四边形的对边相等．
4. 在二次根式，，，中，最简二次根式共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式，即可．
【详解】，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
，被开方数中能含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
，是最简二次根式．
∴最简二次根式：，．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．
5. 估计的值在（ ）
A. 7与8之间B. 8与9之间C. 9与10之间D. 10与11之间
【答案】A
【解析】
【分析】先运用二次根式混合运算法则计算，得，再根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
6. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得图形：，
在中：，
所以．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
7. 如图，露在水面上的鱼线长为.钓鱼者想看看鱼钧上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，试问的鱼竿有多长?设长，则下所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查勾股定理的应用，是解题关键．利用钓鱼竿长度不变列出方程即可．
【详解】解：设长，则，
在中，，
在中，，
，
，
即．
故选A．
8. 在如图的网格中，小正方形的边长均为1，三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 点到直线的距离是2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积公式，根据勾股定理求得进而根据勾股定理的逆定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故A,B选项正确；
∴，故C选项错误；
设点到直线的距离是，则，
∴，故D选项正确
故选：C．
9. 如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、，根据“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
B、，根据“两组对边分别平行四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此不选项符合题意；
D、，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点B坐标为且，在坐标轴上求作一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质求得，再分类讨论：以为腰，以为底，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求点P坐标即可．
【详解】解：如图，以为腰时，、、、是等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
以为底时，如图，是等腰三角形，过点作于点D，
在中，，
设，则，
∵，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
11. 在函数中，自变量取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性即可完成．
【详解】解：由题意得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，关键是掌握算术平方根的非负性．
12. 在平行四边形中，如果，那么的度数是________．
【答案】##57度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质直接解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
13. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据正方形的面积，可得AD2=10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3，
∴AD2=10，
∴在中，DH=，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴正方形EFGH的面积=10-=4，
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，掌握勾股定理，是解题的关键．
14. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，若点在正方形的某一边上，满足，且与的交点为．则_________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论，点F在AD上或点F在AB上，依据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到CM的长．
【详解】解：分两种情况：
①如图1所示，当点F在AD上时，
由CF=BE，CD=BC，∠BCE=∠CDF=90°可得，Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），
∴∠DCF=∠CBE，
又∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠BCF+∠CBE=90°，
∴∠BMC=90°，即CF⊥BE，
∵BC=4，CE=3，∠BCE=90°，
∴BE=5，
∴CM=；
②如图2所示，当点F在AB上时，
同理可得，Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴BF=CE，
又∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵∠BCE=90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CM=BE=×5=．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
15. 如图，在中，，，，射线于点，点、分别在线段和射线上运动，并始终保持，要使和全等，则的长为______．
【答案】5或12
【解析】
【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE，此时AE=BC=5，可据此求出E点的位置．②Rt△CBA≌Rt△DAE，此时AE=AB=12，E、B重合．
【详解】解：①当AE=CB时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△DAE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DAE（HL），
即AE=BC=5；
②当E运动到与B点重合时，AE=AB，
在Rt△CBA与Rt△DAE中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAE（HL），
即AE=AB=12，
∴当点E与点B重合时，△CBA才能和△DAE全等．
综上所述，AE=5或12．
故答案为：5或12．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是_____；
（2）结合图形，判断式子的最小值是____．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
解：原式=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先将式子化成，再把代入，可求得结果.
【详解】＝
当时，，
∴＝
＝．
【点睛】本题主要考核了求代数式的值，解题关键是熟练掌握完全平方公式，将式子先变形再代入求值．
19. 老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
【答案】平方米
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和．
【详解】解：连接，如图，
，
，
米，米，
米，
米，米，
，
为直角三角形，
这块草坪的面积（平方米）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．
20. 如图，在四边形中，E，F分别为，上的点，且，连接，，若四边形是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
21. 如图，在中，点E，F分别在AD，BC上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先得到AE∥FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，即可证明．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
22. 如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）根据要求作出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
23. 如图，已知中，，是角平分线，，，求的长．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形得判定与性质及勾股定理，过点作于，根据角平分线的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据勾股定理列式计算即可得到答案．
【详解】解：过点作于，
是角平分线，，，
，
在中，，
和中，
，
，
，
在中，，即，
解得．
24. 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
（2）化简：；
（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．
【答案】（1）（，）；（，）
（2）+
（3）（﹣，﹣）
【解析】
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，，即可；
（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将化为，再根据，即可化简；
（3）根据，得；将化简得；根据，得，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，，即可求出的坐标．
【小问1详解】
∵
∴点（，）的“横负纵变点”为（，）
∵
∴点（，）的“横负纵变点”为（，）
故答案为：（，）；（，）．
【小问2详解】
∴化简得：．
【小问3详解】
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴点（，）
∵
∴（，）
故的坐标为：（，）．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．
25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数，
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
（1）若a = -1，b = -2，则M = ，N = ，P = ；
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．

①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是： （把M，N，P从小到大排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
【答案】（1），，；（2）①见解析；②．
【解析】
【分析】（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】解：（1）当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点．
（1）在，，中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
（3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】(1)根据定义，计算确定即可．
(2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可．
(3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可．
【小问1详解】
∵，，，，
∴，，，
∴点P的等积点是，
故答案为：．
【小问2详解】
设点，
∵，点Q是P点的等积点，
∴即，
故点Q在直线上，
∴点，
当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得，
∴点；
当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，
∴点，
∵点在x轴上，
∴点，
解得，
∴点；
综上所述，点或．
【小问3详解】
设点，
∵，点Q是P点的等积点，
∴即，
故点Q在直线上，
设点B的等积点坐标，
∵，
∴即，
故点B的等积点在直线上，
∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，
设该正方形为，则，
∵为的等积点，在上，
∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上，
当在直线上时，m取得最小值，
故，
解得；
当在直线上时，m取得最大值，
故，
解得；
故m的取值范围是．
【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键．