黑龙江省大庆市大庆中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

说明：注意事项：
2025---2026 学年度上学期期中考试
高一年级数学试题
答卷时间：120 分钟分值：150 分；
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知命题 p : x  1， x2  2x  3  0 ，则p 为（ ）
M   x, y 
1. 已知
y x
N  y y 
，
x
， M ∩
N  （）
A. 0, 0
B.
1,1
C.
0, 0, 1,1
D.

x  1， x2  2x  3  0
C. x  1， x2  2x  3  0
x  1， x2  2x  3  0
D. x  1， x2  2x  3  0
设 x  R ，则“ x  2 ”是“ x2  4  0 ”成立的（）
充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
 ln  x 1, x  1  
x 1, x  1
已知函数 f x  ，则 ff 2的值为（）

B. 0C. eD. 2
若 a, b, c  R ，则下列命题正确的是（）
若 a  b  c ，则 11
a  cb  c
若 a  b ，则 ac2  bc2
若 a  b  c  0 ，则 b  b  c
aa  c
若 a  b ，则 a2  b2
若函数 f  x  32x2 ax 在区间1, 6 内单调递减，则 a 的取值范围是（）
A. ∞, 4
B. 4,16
2x2 , x  a
C. 16, 
D. 16, 
f  x   f  x 
已知函数 f  x  
，对于任意两不等实数x ， x ，都有12  0 成立，
2  a x 1, x  a
12x  x
12
则实数 a 的取值范围是（）
0, 2
1, 2
0,1
1

 3 ,1
已知定义在1 m, 2m  3 上的偶函数 f  x ，且当 x 0, 2m  3 时， f  x 单调递减，则关于 x 的不等
式 f  x  2  f 3x  2m 的解集是（ ）
A. 1, 3 B. ,1  3 , 
2  2

,
 3 5 
C.  2 3 

, 2
 2
D.  
 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
设函数 f (x)  x | x | 2x ，则 f (x) （）
是奇函数B. 是偶函数
C. 在(1,1) 上单调递减D. 在(∞, 1) 上单调递减
下列说法正确的是（）
函数 f  x  x 1 与 g  x   x 12 是同一个函数
2
B 2lg2 3  lg 2  lg 50  83  9
kx2  kx 1
若函数 f  x 的值域为0,  ，则实数 k 的取值范围是4,   .
若函数
f  x 1
的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是0, 4
kx2  kx 1
定义
maxa, b  a, a  b ，若函数 f ( x)  max  x2  2x, 2x ，则下列结论正确的是（ ）


b, a  b
f (5)  10
若直线 y  t 与 y  f (x) 的图象有 2 个交点，则t  1
f (x) 在区间(∞, 1) 上单调递增
f (x) 在区间m, n 上的值域为0,1，则 n  m 的最大值为 5 ，最小值为 1
22
第 II 卷（非选择题）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知 a ， b  R ，且a  b  1 ，则 4  1 的最小值为.
ab
已知函数 f  x  ax3  b  5 ，且 f 7  9 ，则 f 7 ．
x
已知 a  0 ，关于 x 的不等式 x2  ax  6  0 的解集中有且仅有3 个整数 n 1， n ， n 1，则 n 
， a 的取值范围为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知集合 A  x 3  x  6 ， B  x | 2  x  9．
分别求 A  B ， A ∪ B ；
已知C  {x | a  x  a 1} ，若C  B ，求实数 a 的取值集合．
（1）已知 x  2 ，求函数 y  x 
1
x  2
的最小值；
（2）已知0  x  3 ，求函数 y  x 3  2x 1的最大值.
2
某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为 200 平方米.
若矩形草坪的长比宽至少多 10 米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周及中间的宽度均为 2 米，求整个绿化面积的最小值.
已知函数 f (x) ，对于任意的 x, y  R ，都有 f (x  y) 
求 f (0) 的值；
判断 f (x) 的奇偶性和单调性；
f (x)  f ( y) ，当 x  0 时， f (x)  0 ．
设函数 g(x)  f x2  m  2 f (| x |) ，若方程 g(x)  0 有 2 个不同的解，求 m 的取值范围．
已知函数 f  x  2xa  2ax 的图象经过点 P 2,15 .
求 a 的值；
求不等式 f 3x2   f 2x  1  0 的解集；
若x 0, , f  x  4  m   6 成立，求实数m 的取值范围.
x

说明：注意事项：
2025---2026 学年度上学期期中考试
高一年级数学试题
答卷时间：120 分钟分值：150 分；
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的表达形式即可得出答案.
【详解】由题知，
M   x, y  y x的代表元素是点，
N  y y  x 的代表元素是实数，两者没有交集.
故选：D
已知命题 p : x  1， x2  2x  3  0 ，则p 为（ ）
M   x, y 
1. 已知
y x
N  y y 
，
x
， M ∩
N  （）
A. 0, 0
B.
1,1
C.
0, 0, 1,1
D.

x  1， x2  2x  3  0
C. x  1， x2  2x  3  0
x  1， x2  2x  3  0
D. x  1， x2  2x  3  0
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】由题意可知，命题 p 为全称量词命题，该命题的否定为p : x  1， x2  2x  3  0 ，故选：A.
设 x  R ，则“ x  2 ”是“ x2  4  0 ”成立的（）
充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由 x2  4  0 ，解得2  x  2 ，
所以“ x  2 ”是“ x2  4  0 ”成立的必要不充分条件.
故选：C.
 ln  x 1, x  1  
x 1, x  1
已知函数 f x  ，则 ff 2的值为（）

B. 0C. eD. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数性质代入求出 f 2  0 ，再代入计算即可求得结果.
 ln  x 1, x  1 
x 1, x  1
【详解】由函数 f x  可知 f 2  0 ，

所以 f  f 2 
f 0  1.
故选：A.
若 a, b, c  R ，则下列命题正确的是（）
若 a  b  c ，则 11
a  cb  c
若 a  b ，则 ac2  bc2
若 a  b  c  0 ，则 b  b  c
aa  c
若 a  b ，则 a2  b2
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式性质判断 A；举例说明判断 BD；作差比较大小判断 C.
【详解】对于 A，由 a  b  c ，得 a  c  b  c  0 ，因此 11，A 正确；
a  cb  c
对于 B，取c  0 ，得 ac2  0  bc2 ，B 错误；
对于 C， b  b  c  c(b  a) ，由 a  b  c  0 ，得 a  c  0, b  a  0 ，
aa  ca(a  c)
则 a(a  c)  0, c(b  a)  0 ， b  b  c  0 ，即 b  b  c ，C 错误；
aa  caa  c
对于 D，取 a  1, b  1 ，满足 a  b ，而 a2  1  b2 ，D 错误.故选：A
若函数 f  x  32x2 ax 在区间1, 6 内单调递减，则 a 的取值范围是（）
A. ∞, 4
B. 4,16
C. 16, 
D. 16, 
【答案】A
【解析】
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围．
【详解】设 f u   3u , u  2x2  ax ，则 f u   3u 在,  上单调递增.
因为 f  x  32x2 ax 在区间1, 6 内单调递减，
所以函数u  2x2  ax 在区间1, 6 内单调递减，
a
结合二次函数的图象和性质，可得
4
故选：A．
 1 ，解得 a  4 ．
  
2x2 , x  a
已知函数 f x
，对于任意两不等实数x ， x ，都有
f  x1   f  x2 
0 成立，
2  a x 1, x  a
12x  x
12
则实数 a 的取值范围是（）
0, 2
1, 2
0,1
1

 3 ,1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性，结合二次函数与一次函数的单调性，可得答案.
【详解】由题意可得函数 f  x 在∞, ∞ 上单调递增，
2  a  01

则2a2  2  a a 1 ，解得 a   3 或1  a  2 .
由函数 y  2x2 在∞, 0 上单调递减，在0, ∞ 上单调递增，则 a  0 .
综上所述， a 的取值范围为1, 2 .
故选：B.
已知定义在1 m, 2m  3 上的偶函数 f  x ，且当 x 0, 2m  3 时， f  x 单调递减，则关于 x 的不等
式 f  x  2  f 3x  2m 的解集是（ ）
A. 1, 3 B. ,1  3 , 
2  2

,
 3 5 
C.  2 3 

, 2
 2
D.  
 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数 f  x 的定义域关于原点对称求出m 的值，利用 f  x 是偶函数可得 f  x  f  x  ，
将不等式 f  x  2  f 3x  2m 转化为 f  x  2   f  3x  4 ，利用当 x 0,1 时， f  x 单调递减，
将 f  x  2   f  3x  4 转化为 x  2  3x  4 ，解出此不等式； f  x 的定义域为[1,1] ，得到
1  x  2  1

1  3x  4  1，解出此不等式组，从而得解.
【详解】Q定义在1 m, 2m  3 上的偶函数 f  x ，1 m  2m  3  0 ， m  2 ，
Q当 x 0, 2m  3 时， f  x 单调递减，当 x 0,1 时， f  x 单调递减，
Q定义在1 m, 2m  3 上的偶函数 f  x ， f  x  f  x 
Q f  x  2  f 3x  2m ， m  2 ， f  x  2   f  3x  4  ，
Q当 x 0,1 时， f  x 单调递减，
 x  2  3x  4 ，(x  2)2  (3x  4)2 ，即2x2  5x  3  0 ，
解得 x  3 或 x  1，
2
Q f  x 的定义域为[1,1] ，
1  x  2  1
1  x  3

1  3x  4  1
，5 ，


 x 
1  x  5 ，
3
13
 x  3 或 x  1和1  x  5 要同时成立，
23
 3  x  5 ，
23
关于 x 的不等式 f  x  2 
故选：C.
f 3x  2m 的解集为 3 , 5  .
 2 3 

二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
设函数 f (x)  x | x | 2x ，则 f (x) （）
是奇函数B. 是偶函数
C. 在(1,1) 上单调递减D. 在(∞, 1) 上单调递减
【答案】AC
【解析】
【分析】求出函数定义域，利用奇偶函数的定义判断 AB；判断指定区间上的单调性判断 CD.
【详解】函数 f (x)  x | x | 2x 的定义域为 R，
f (x)  x | x | 2(x)  x | x | 2x  (x | x | 2x)   f (x) ，则 f (x) 是奇函数，不是偶函数，A 正确，B 错误；
对于 C，当1  x  0 时， f (x)  x2  2x 在(1, 0] 上单调递减，
当0  x  1时， f (x)  x2  2x 在[0,1) 上单调递减，因此 f (x) 在(1,1) 上单调递减，C 正确；对于 D，当 x  1时， f (x)  x2  2x 在(∞, 1) 上单调递增，D 错误.
故选：AC
下列说法正确的是（）
函数 f  x  x 1 与 g  x   x 12 是同一个函数
2
2lg2 3  lg 2  lg 50  83  9
kx2  kx 1
若函数 f  x 的值域为0,  ，则实数 k 的取值范围是4,   .
若函数
f  x 
1的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是0, 4
kx2  kx 1
【答案】BC
【解析】
k  0

【分析】求函数定义域判断 A；直接计算判断 B；解不等式Δ  k 2  4k  0 判断 C；分当 k  0 和 k  0 时
两种情况判断 D.
【详解】对于 A，函数 f  x  x 1 的定义域为R ， g  x   x 12 的定义域为1,  ，故函数
f  x  x 1 与 g  x   x 12 不是同一个函数，故 A 选项错误；
2
对于 B， 2lg2 3  lg 2  lg 50  83  3  lg100  4  9 ，故 B 选项正确；
k  0
kx2  kx 1
对于 C，若函数 f  x 
值范围是4, ∞ ，故 C 选项正确；
的值域为0, ∞ ，则
Δ  k 2
 4k  0
，即 k  4 ，所以实数 k 的取
对于 D，函数
f  x 
1
kx2  kx 1
的定义域为 R，则 kx2  kx 1  0 对x  R 恒成立，故当 k  0 时
k  0

显然成立，当 k  0 时，则Δ  k 2  4k  0
，解得 k 0, 4 ，综合得实数 k 的取值范围是0, 4 ，故 D
选项错误.故选：BC
定义
maxa, b  a, a  b ，若函数 f ( x)  max  x2  2x, 2x ，则下列结论正确的是（ ）


b, a  b
f (5)  10
若直线 y  t 与 y  f (x) 的图象有 2 个交点，则t  1
f (x) 在区间(∞, 1) 上单调递增
f (x) 在区间m, n 上的值域为0,1，则 n  m 的最大值为 5 ，最小值为 1
22
【答案】ACD
【解析】
2x，x ∞, 40, ∞
【分析】由题可得 f  x  
  x 12
1，x 4, 0
，代入求值判断 A；结合图象可直观判断 C，数
形结合法判断 BD.
【详解】注意到2x  x2  2x  x  4 或 x  0 ， 2x  x2  2x  4  x  0 .
  
2x，x ∞, 40, ∞
则 f xx2  2x，x 4, 0
2x，x ∞, 40, ∞
  

，即 f x2.
 x 11，x  4, 0

A 选项， f 5  2 5  10 ，故 A 正确.

B 选项，画出函数 y 
f (x) 的图象，如图：
由图可知：若直线 y  t 与 y  f (x) 的图象有 2 个交点，则t  1或t  0 ，故 B 错误；
C 选项，由图可知，函数 f (x) 在(∞, 1) 和(0, ) 上单调递增，在(1, 0) 上单调递减，故 C 正确；
D 选项，令2x  1 x  0 ，解得 x  1 ；令x2  2x  14  x  0 ，解得 x  1 ，
2
由图象可知：当 m  2, n  1 时， n  m 取到最大值为 5 ，
2
当 m  0, n  1 时， n  m
2
1D 正确.
2
故选：ACD
取到最小值为 2 ，故
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知 a ， b  R ，且a  b  1 ，则 4  1 的最小值为.
ab
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意得到 4  1   4  1 a  b  5  4b  a 再由均值不等式求解即可.
ab
 
abab
4
【详解】已知 a ， b  R ，且 a  b  1, 4  1
  4  1 a  b  5  4b  a  5  2
 9.
当且仅当 4b  a 时有最小值 9.
ab
故答案为 9.
 
ab
abab
【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.
已知函数 f  x  ax3  b  5 ，且 f 7  9 ，则 f 7 ．
x
【答案】1
【解析】
【分析】由已知可得 f 7  73 a  b  5  9 ,从而可求73 a  b ,然后代入 f 7 即可求解.
77
【详解】解：Q f  x  ax3  b  5 ,
x
 f 7  73 a  b  5  9 ,
7
73 a  b  4 ,由73 a  b
  73 a  b  ,
777 

则 f 7   73 a  b   5  4  5  1.
7 

故答案为:1.
【点睛】本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值,解题的关键是整体思想的应用.
已知 a  0 ，关于 x 的不等式 x2  ax  6  0 的解集中有且仅有3 个整数 n 1， n ， n 1，则 n 
， a 的取值范围为．
【答案】①. 3②. 11  a  31
25
【解析】
【分析】根据不等式解集中有且只有3 个连续整数，确定解集的区间长度，得出 a 的取值范围，再由对称轴判断出 n 即可.
6
【详解】由题意，   a2  24  0 ，即 a  2，
设不等式的解集为x1 , x2  ，则 x1  x2  a ， x1  x2  6 ，

x  x 4x  x
12

2
12
则 x  x

，
21
因为不等式解集中有且仅有3 个整数，所以2  x2  x1  4 ，
a2  24
a2  24
即2 
 4 ，解得2
 a  2，
7
10
7
所以 y  x2  ax  6 的对称轴 x  a 满足
2
 x  a ，
10
10
2
7
而
 3 ，即离对称轴距离最近的整数只有3 ，
所以 n  3 ，所以三个整数解为2, 3, 4 ，
2 7  a  2 10
4  2a  6  0

所以1 a  6  0

16  4a  6  0
25  5a  6  0
，解得11  a  31 .
25
故答案为： 3 ； 11  a  31
25
【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有3 个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知集合 A  x 3  x  6 ， B  x | 2  x  9．
分别求 A  B ， A ∪ B ；
已知C  {x | a  x  a 1} ，若C  B ，求实数 a 的取值集合．
【答案】（1） A  B  x 3  x  6 ， A ∪ B  x | 2  x  9
（2）a 2  a  8
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集与并集的计算规律计算即可；
（2）先判断C   ，然后因为C  B ，建立不等式求解即可.
【小问 1 详解】
因为 A  x 3  x  6 ， B  x | 2  x  9
所以 A  B  x 3  x  6 ， A ∪ B  x | 2  x  9
【小问 2 详解】
因为 a 1  a ，所以C  
当C  B ，可知2  a  a 1  9  2  a  8
所以实数 a 的取值集合为a 2  a  8
（1）已知 x  2 ，求函数 y  x 
1
x  2
的最小值；
（2）已知0  x  3 ，求函数 y  x 3  2x 1的最大值.
2
17
【答案】（1）4；（2）.
8
【解析】
【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；
（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.
 x  2
1
x  2
【详解】（1） x  2 时， x  2  0 ，根据基本不等式，
可得： y  x 
1
x  2
 x  2 
1
x  2
 2  2
 2  4
当 x  2 
1
x  2
，即 x  3 时取得等号，
故 x  3 时， y 取得最小值是 4；
（2） 0  x  3 ，故3  2x  0 ，
2
11  2x  3  2x 29

根据基本不等式可得： y  2  2x 3  2x  2 2 8 ，

当2x  3  2x ，即 x  3 时取得等号，故 x  3 时，
44
y  x 3  2x 1的最大值是 9 1  17 .
88
某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为 200 平方米.
若矩形草坪的长比宽至少多 10 米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周及中间的宽度均为 2 米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）10 米（2） (424  80 6) 平方米
【解析】
【分析】（1）设草坪的宽为 x 米，长为 y 米，则 y＝ 200 由题意，列出关于 x 的不等式，求解即可；（2）
x
求出整个绿化面的长为2x  6 米，宽为 200  4 米，然后由面积公式以及基本不等式求解最值即可．
x
【小问 1 详解】
设草坪的宽为 x 米，长为 y 米，由面积均为 200 平方米，得 y  200 ，
x
因为矩形草坪的长比宽至少多 10 米，
所以 200  x 10 ，又 x  0 ，
x
所以 x2 10x  200  0 ，解得0  x  10 ，所以宽的最大值为 10 米；
【小问 2 详解】
记整个绿化面积为 S 平方米，由题意得，
S  (2x  6)( y  4)  (2x  6)  200  4   424  8 x  150   424  80 6 ，当且仅当 x  5 6 米时，
 xx 

等号成立，所以整个绿化面积的最小值为(424  80 6) 平方米
已知函数 f (x) ，对于任意的 x, y  R ，都有 f (x  y) 
求 f (0) 的值；
判断 f (x) 的奇偶性和单调性；
f (x)  f ( y) ，当 x  0 时， f (x)  0 ．
设函数 g(x)  f x2  m  2 f (| x |) ，若方程 g(x)  0 有 2 个不同的解，求 m 的取值范围．
【答案】（1） f (0)  0
f (x) 为奇函数；函数 f (x) 是R 上的减函数
{m∣m  1或 m  0} ．
【解析】
【分析】（1）在已知等式中令 x  y  0 ，可得 f (0) ；
令 y  x ，可得奇偶性，再用单调性的定义证明单调性；
由奇函数性质及已知变形 g(x) 的形式，然后在 g(x)  0 中由 f (x) 的单调性化简得
x2  2 | x | m  0 ，即 m  x2  2 x ，作出函数 h(x)  x2  2 x 的图象，它与直线 y  m 的交点个数得结
论．
【小问 1 详解】
令 x  y  0 ，代入 f (x  y)  f (x)  f ( y) 得 f (0)  f (0)  f (0) ，所以 f (0)  0 ．
【小问 2 详解】令 y  x ，
代入 f (x  y) 
f (x)  f ( y) ，可得 f (x)  f (x) 
f (0)  0 ，
所以 f (x)   f (x) ，可得函数 f (x) 为奇函数；任取 x1, x2  R ，且 x1  x2
 f  x1   f  x2   f  x1   f  x2  x1   x1 
 f  x1    f  x2  x1   f  x2   f  x2  x1 
又因为 x  0 时， f (x)  0 ，且 x2  x1  0 ，所以 f  x2  x1   0 ，
所以 f  x2   f  x1   0 ，即 f  x2   f  x1  ，所以函数 f (x) 是R 上的减函数．
【小问 3 详解】
 f (| x |)  f ( | x |) ，即2 f (| x |)  2 f ( | x |)
所以 g(x)  f x2  m  2 f ( x )  f x2  m  2 f ( x )  f x2  m  f ( x )  f ( x )
 f x2  2 x  m ，
令 g(x)  0 ，即 f x2  2 x  m  0  f (0) ，
因为函数 f (x) 是R 上的减函数，所以 x2  2 | x | m  0 ，即 m  x2  2 | x |
x2  2x, x  0,
令 h(x)  x2  2 x  
x2  2x, x  0,
作出h( x) 的图象如图，结合图象，可得：当 m  1或 m  0 时，函数 g(x) 有 2 个零点，即实数 m 的取值范围为{m∣m  1或 m  0} ．
已知函数 f  x  2xa  2ax 的图象经过点 P 2,15 .
求 a 的值；
求不等式 f 3x2   f 2x  1  0 的解集；
若x 0, , f  x  4  m   6 成立，求实数m 的取值范围.
x

【答案】（1） 2
3
（2） ,  1 1, 
（3） 3, 
【解析】
【分析】（1）代入点的坐标可得解析式；
判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式；
利用单调性转化为 x  4  m  1，结合基本不等式可求答案.
x
【小问 1 详解】
因为函数的图象经过点 P 2,15 ，所以22a  2a2  15 ，解得 a  2 .
【小问 2 详解】
f  x  2x2  22 x ，定义域为R ， f x  2 x2  22 x   f  x ，即 f  x 为奇函数；因为 y  2x2 为增函数， y  22x 为减函数，所以 f  x 为增函数，
f 3x2   f 2x 1  0 等价于 f 3x2    f 2x 1 ，即 f 3x2  
f 2x 1 ，
所以3x2  2x 1，解得 x  1 或 x   1 ，故解集为 ∞,  1  1, ∞ .
33 

【小问 3 详解】
由（2）可知函数为增函数， f  x  2x2  22x ，所以 f 1  6 ；
444
f  x  x  m   6 等价于 f  x  x  m  
f 1 ，即 x   m  1在x 0, ∞ 恒成立，
x

因为 x  4  m  4  m ，当且仅当 x  2 时等号成立，
x
所以 x  4  m 在0,  上的最小值为4  m ，
x
所以4  m  1 ，即 m  3 ，
实数m 的取值范围是3, ∞ .