河北省2026届高三上学期开学学情检测数学试题

这是一份河北省2026届高三上学期开学学情检测数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U=x−1≤x0，y>0，x+2y=2，则4x+2y的最小值为( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2
5.已知函数fx=2x+x，gx=lg2x+x+1，hx=sinx+x−1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. c>a>b
6.已知sinα+π12+sinα−5π12= 23，则sin2α+π6=( )
A. −13B. 13C. −79D. 79
7.若圆O1：x2+y2=1与圆O2：x−a2+y−b2=9a,b∈R有且仅有2条公切线，则3a−4b+5的取值范围为( )
A. 0,5B. 1,5C. 0,25D. 5,25
8.函数fx=lnx与函数gx=x2+1x2−1的图象的所有交点的横坐标之积为( )
A. 1eB. eC. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间(单位：ms)分别为随机变量X，Y，且X∼N300,502，Y∼N300,602，则下列结论正确的是( )
A. EX=300B. DY=60
C. PXPX>320D. PX0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与y轴交于点M，与椭圆C的一个交点为N，若MF2=F2N，F1M⋅F1N=0，则C的离心率为 .
14.在一个棱长为4cm的封闭正四面体容器(容器壁厚度忽略不计)内有四个半径相等的铁球，则铁球的最大半径为 cm.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列an的公差为d，且d=2a1，a2n=2an+1n∈N*.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设数列bn满足bn=an2n，求数列bn的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为 52，实轴长为4.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx−2k>0与C的右支交于A，B两点，O为坐标原点.
(i)求k的取值范围；
(ⅱ)若直线l与y轴交于点P，且PA⋅PB=403，求△OAB的面积.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=4，PB=BC=PC=2 3，且平面PAB⊥平面PBC.
(1)证明：AB⊥平面PBC；
(2)线段BP上是否存在一点E，使得二面角E−AC−B的正切值为 2110，若存在，求出PEEB的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.
18.(本小题17分)
甲、乙两人进行一场投沙包游戏.投一次沙包算作一局游戏，每一局游戏中，其中一人负责投沙包，另一人负责接沙包.若一人投沙包后另一人不能接住，则投沙包者得1分，接沙包者得0分；若投沙包者投沙包后接沙包者能够成功接住，则接沙包者得1分，投沙包者得0分.第一次投沙包者随机确定，然后甲、乙轮流投沙包，已知甲投沙包时甲得1分的概率为23，甲接沙包时甲得1分的概率为12，各局游戏结果相互独立，得分领先2分者获胜.
(1)求甲第一局游戏中得分为1分的概率；
(2)求2局游戏后甲得分X的分布列和期望；
(3)求恰好比赛四局甲获得游戏胜利的概率.
19.(本小题17分)
已知函数fx=ex−mx+n的图象在1,f1处的切线方程为y=x+e−2.
(1)求m，n的值；
(2)讨论方程fx=ax00.(参考数据：ln2≈0.69)
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：易知集合 U=−1,0,1,2 ， A=0,1 ，
故 ∁UA=−1,2 .
故选B.
2.【答案】A
【解析】解：设复数z=a+bi(其中a,b∈R)，则其共轭复数z=a−bi.
将z和z代入方程2z+z=3−6i得：
2(a+bi)+(a−bi)=3−6i
展开并整理左边：
(2a+a)+(2bi−bi)=3a+bi
根据复数相等的条件，有：
bi=−6i，解得b=−6.
因此，复数z的虚部为−6.
3.【答案】A
【解析】解：若 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 成等差数列，则 2a3=a1+a5 成立；
若取 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 依次为1，2，5，6，9，此时满足 2a3=a1+a5 ，
但 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 不成等差数列，故 2a3=a1+a5 不能推出 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 成等差数列，
故“ a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5 成等差数列”是“ 2a3=a1+a5 ”的充分不必要条件，
故选A.
4.【答案】C
【解析】解：由题意得4x+2y=12(x+2y)(4x+2y)=12(4+2xy+8yx+4)≥12(8+8)=8，
当且仅当2xy=8yx，即x=1，y=12时，等号成立，
故选C.
5.【答案】C
【解析】解：因为函数f(x)=2x+x单调递增，f(−1)=−120，
∴−12lnx ，
∵ ex−x−1x=ex−1x−1≥x+e−2−1=x+e−3 ，
只需证 x+e−3≥2lnx ，
令 hx=x+e−3−2lnxx>0 ， h′x=1−2x=x−2x ，
∴ x>2 时， h′x>0 ， 00 ，
所以原命题得证.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】X
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1
2
P
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12
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