2025-2026学年内蒙古通辽市科左后旗金宝屯镇九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年内蒙古通辽市科左后旗金宝屯镇九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.有下列图案中属于中心对称图形的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k＞1B. k＜1C. k＞1且k≠0D. k＜1且k≠0
3.把二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的图象对应的二次函数表达式为（ ）
A. y=2（x+3）2-4B. y=2（x-3）2-4C. y=2（x+3）2+4D. y=2（x-3）2+4
4.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为（ ）
A. x（x-12）=864B. x（x+12）=864
C. 2x+2（x+12）=864D. 2x+2（x-12）=864
5.如图，将ABC绕点A逆时针旋转55°得到ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）
​​​​​​​
A. 65°B. 70°C. 75°D. 80°
6.抛物线y=x2-4x+c的图象经过点A（-3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（ ）
A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y2＜y1＜y3D. y2＜y3＜y1
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2.下列结论，正确的是（ ）
①abc＜0；
②9a+3b+c＞0；
③若点M，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；
④.
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9.三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2-10x+24=0的根，则该三角形的周长为 .
10.已知二次函数y=ax2+4ax+3a在-3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 .
11.巴黎奥运会网球女子单打冠军中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场.如果计划安排36场组内循环赛，共有 名选手参加组内循环赛.
12.如图，把矩形ABCD绕点C顺时针旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD上，连接BE，BG，BG交CE于点H，连接FH.若FH平分∠EFG，有下列结论：①AE+CH=EH；②∠DEC=2∠ABE；③BH=GH；④CH=2AB.其中正确的有 .
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
解方程：
（1）x2-2x-3=0.
（2）2x（x+1）=3（x+1）.
（3）2x2+3x-1=0.
14.(本小题8分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，求线段BC旋转过程中扫过的面积（结果保留π）.
15.(本小题10分)
已知关于x的方程（k+2）x2+（k-1）x-3=0.
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个根x1和x2，且，求k的值.
16.(本小题10分)
红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对的进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
17.(本小题12分)
如图①在正方形ABCD中，连接BD，点E是边AB上的一点，EF⊥AB交BD于点F，点P是FD的中点，连接EP、CP.

（1）如图①，探究EP与CP有何关系，并说明理由；
（2）若将△BEF绕点B顺时针旋转90°，得到图②，连接FD，取FD的中点P，连接EP、CP，请问在该条件下，（1）中的结论是否成立，并说明理由；
（3）如果把△BEF绕点B顺时针旋转180°，得到图③，同样连接FD，取FD的中点P，连接EP、CP，请你直接写出EP与CP的关系.
18.(本小题12分)
已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】9
10.【答案】或-3
11.【答案】9
12.【答案】①②③
13.【答案】（1）x1=3，x2=-1 （2） （3）
14.【答案】（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图1即为所求； （2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C，如图2即为所求；

15.【答案】（1）证明：①当k+2≠0时，
∵△=（k-1）2-4（k+2）×（-3）=k2-2k+1+12k+24=k2+10k+25=（k+5）2≥0，
∴方程总有实数根；
②当k+2=0时，原方程化为-3x-3=0，方程的解为x=-1．
∴无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）依题意有x1+x2=-，x1x2=-，
∵，
∴（-）2-2×（-）=10，
解得k1=-1，k1=-3，
经检验，k1=-1，k1=-3都是原方程的解．
故k的值是-1或-3．
16.【答案】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，由题意得：
=，
解得x=26，
经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，
∴x+9=26+9=35，
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．
（2）①y=（50+x-35）（98-2x）=-2x2+68x+1470，
答：y与x之间的函数解析式为：y=-2x2+68x+1470．
②∵a=-2＜0，
∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=-=17，
物价部门规定其销售单价不高于每对65元，
∴x+50≤65，
∴x≤15，
∵x＜17时，y随x的增大而增大，
∴当x=15时，y最大=2040．
答：乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．
17.【答案】解：（1）EP=CP，且EP⊥CP．
证明：过PH⊥AB于点H，延长HP交CD于点I，作PK⊥AD于点K．

则四边形PIDK是正方形，四边形AKPH是矩形，
∴AK=HP，KD=DI=PI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HP，
∵AD∥PH∥EF，P是DF的中点，
∴HA=HE，
∴HE=PI，
在Rt△HPE和Rt△ICP中，
，
∴Rt△HPE≌Rt△ICP（SAS），
∴EP=CP，∠HPE=∠PCI，∠HEP=∠CPI，
∴∠HPE+∠CPI=90°，
∴∠EPC=90°，
∴EP⊥CP；
（2）成立．

证明：图2中，作PH⊥BC，
则EF∥PH∥CD，
又∵P是DF的中点，
∴EH=CH，
则PH是EC的中垂线，
∴PE=CP，
∵EF=EB，BC=CD
∴EF+CD=EC，
∵P是DF的中点，EH=CH，
则，
∴，
∴△EPC是等腰直角三角形，
∴EP=CP，且EP⊥CP；
（3）图3中，延长FE交DC延长线于M，连MP．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（2）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FP=DP
∴．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴EF+EM=CM+DC，
即FM=DM，
又∵FP=DP，
，
∴∠F=∠PMC．
在△PFE和△PMC中，
，
∴△PFE≌△PMC（SAS）．
∴EP=CP，∠FPE=∠MPC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FP=DP，
∴MP⊥FD，
∴∠FPE+∠EPM=90°，
∴∠MPC+∠EPM=90°，
即∠EPC=90°，
∴EP⊥CP．
18.【答案】解：（1）将A（-1，0）、C（0，3）代入y=-x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3．
（2）连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示．
当y=0时，有-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=kx+d中，
得：，
​​​​​​​解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵当x=1时，y=-x+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）．
（3）设点M的坐标为（1，m），
则CM==，AC==，
​​​​​​​AM==．
分三种情况考虑：
①当∠AMC=90°时，有AC2=AM2+CM2，即10=1+（m-3）2+4+m2，
解得：m1=1，m2=2，
∴点M的坐标为（1，1）或（1，2）；
②当∠ACM=90°时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m-3）2，
解得：m=，
∴点M的坐标为（1，）；
③当∠CAM=90°时，有CM2=AM2+AC2，即1+（m-3）2=4+m2+10，
解得：m=-，
∴点M的坐标为（1，-）．
综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为（1，1）、（1，2）、（1，）或（1，-）．