2025-2026学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷（有答案和解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个正方体的表面积为60cm2，则这个正方体的棱长为( )
A. 10cmB. 6cmC. 6cmD. 10cm
2.窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，可以看作中心对称图形的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.函数y=2x2+1的最小值为( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
4.一元二次方程x2−2x=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O的一条直线，分别交边AB，DC于点E，F，则下列结论一定正确的是( )
A. AE=BEB. OE=DF
C. △AEO与△DFO全等D. 四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等
6.某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为( )
A. 10%B. 20%C. 22%D. 44%
7.如图，在△ABC中，以点C为中心，将△ABC顺时针旋转25∘得到△DEC，边DE，AC相交于点F，若∠A=35∘，则∠EFC的度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 120∘
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−2,0)，(1,1)，和点(4,1)，则( )
A. a>0，b>0，c=0B. a0，c0D. a>0，b0
9.如图，在平面直角坐标系中，点P是正六边形ABCDEF的边AB与y轴的交点，C(−4,0)，F(4,0)，点A在第一象限.将△OAP绕点O顺时针旋转90∘后点A的对应点的坐标为( )
A. (3,− 3)
B. (4,−2 3)
C. (0,−4)
D. (2 3,−2)
10.下列关于二次函数y=x2−2x−3的说法正确的是( )
A. 该函数图象过点(0,3)(1,0)
B. 该函数图象的对称轴是直线x=2
C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4
D. 该函数图象可以看作是将y=x2向下平移3个单位
11.如图，△ABC中∠BAC=150∘，将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△ADE，点B，C的对应点分别为D，E，连接BD，BE，EC.则下列结论一定正确的是( )
A. EB=ED
B. AC=DE
C. AB+AE=BC
D. EC=3BD
12.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，AC+BD=10cm，有下列结论：
①当对角线AC与BD互相平分时，四边形ABCD是菱形；
②当AC的长度为4cm或6cm时，四边形ABCD的面积均为12cm2；
③四边形ABCD面积的最大值为15cm2.
其中，正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.写出在抛物线y=x2−4x−4上的一个点______.
14.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B=30∘，∠C=90∘，则∠BAC′=______ ∘.
15.一个矩形的面积为80cm2，且长比宽多2cm，则这个矩形的周长为 cm.
16.已知二次函数y=x2+2x−3，当−2≤x≤2时，函数值y的取值范围是 .
17.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在CD的延长线上，若AG平分∠EAF，交CD于点G.
(Ⅰ)∠EAG的度数为 .
(Ⅱ)若BE=1，则DG的长度为 .
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别落在格线上.
(Ⅰ)当O为所在小正方形一边的中点，A为四等分点(距右方格点近)时，则AO的长度为 ；
(Ⅱ)以A为顶点的矩形ABCD，满足点O为对角线的交点.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点B，点C和点D，并简要说明这三个点的位置是如何找到的(不要求证明) .
(注意：点A与点O不再满足(I)中的条件)
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
请你利用“配方”和“因式分解”两种方法求解方程x2−6x−16=0.
(I)配方法；
(Ⅱ)因式分解法.
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.
(I)若点D落在边BC上，画出旋转后的图形，并求出点D的坐标；
(Ⅱ)若旋转角为120∘，直接写出点D的坐标______，点E的坐标______.
21.(本小题10分)
在二次函数y=ax2+bx+c中，x与y的几组对应值如下表所示.
(I)求该二次函数的表达式(写成一般式)；
(Ⅱ)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出函数的草图；
(Ⅲ)若将该函数图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移之后的图形所表示的函数解析式为______(写成一般式，直接写出答案即可).
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′.
(I)若旋转角为α，则∠B′DC的度数为______(用含α的式子表示)；
(Ⅱ)若AC=4，CD=3，求CC′的长度.
23.(本小题10分)
优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它做出重要贡献.优选法中有一种方法应用了约等于0.618的黄金分割数.下面我们以“雕像设计”题目为例，求一下黄金分割数.
如图，为了增加视觉美感，在设计人体雕像时，将雕像AB分为上下两部分，要使雕像的上部AC(腰部以上)与下部BC(腰部以下)的高度比等于下部BC与全身AB的高度比.这个高度比就叫做黄金分割数，其中C为AB的黄金分割点.
设AB=1，BC=x，根据题意，回答下列问题：
(I)填空(用含x的式子表示)：
①AC可以表示为______；
②AC与BC的高度比可以表示为______；
③BC与AB的高度比可以表示为______；
(Ⅱ)由题目中的等量关系，请你列出方程，求出黄金分割数.(结果保留根号)
24.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，∠BAD=120∘，AB=5cm，AD=9cm，BC=16cm.动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为ts.
(I)当t=143s时，判断线段CN与DM的长度是否相等，并说明理由；
(Ⅱ)当点M在边AB上运动时，求△BMN面积的最大值；
(Ⅲ)是否存在t的值，使得△BMN的面积为39cm2？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2−4ax+c(a为常数，a0，
∴函数图象开口向上，
∴二次函数y=2x2+1，有最小值1.
故选：B.
判断出二次函数开口向上，有最小值，在顶点处取最小值．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由条件可得Δ=(−2)2−4×1×0=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
根据Δ>0，即可判断根的情况．
本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AO=CO，AB//CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，OE=OF，△AOE的面积=△COF的面积，
∴BE=DF，
∴平行四边形ABCD被直线EF分成了两个全等的梯形，
∴四边形BCOE与四边形DAOF的面积相等，
故A、B、C不正确，不符合题意，D选项叙述正确，符合题意，
故选：D.
根据平行四边形的性质证明△AOE≌△COF(ASA)，得AE=CF，OE=OF，△AOE的面积=△COF的面积，然后进行逐一判断即可．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
6.【答案】B
【解析】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，
根据题意得：25(1+x)2=36，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)，
∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.
故选：B.
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，利用该景区2024年接待游客人次数=该景区2022年接待游客人次数×(1+该景区这两年接待游客的年平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵将△ABC顺时针旋转25∘得到△DEC，
∴∠A=∠D=35∘，∠ACD=25∘，
∴∠EFC=∠D+∠ACD=60∘，
故选：B.
由旋转的性质可得∠A=∠D=35∘，∠ACD=25∘，由三角形外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,1)，点(4,1)和点(−2,0)，
∴对称轴为直线x=1+42=52，
∴当x>52时，y随x的增大而减小，当x0，
故选：C.
求得对称轴，然后根据对称轴和增减性即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵C(−4,0)，F(4,0)，
∴OC=OF=4，
∴正六边形ABCDEF边长为4，中心与原点O重合，AB//x轴，
∴AP=PB=2，
∴OA=AB=4，
∴OP= OA2−AP2= 42−22=2 3，
∴OP在x轴的正半轴上，点A在第四象限，此时点A的坐标为(2 3,−2).
故选：D.
解直角三角形求出OP可得结论．
本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：将x=0代入y=x2−2x−3，
得y=−3，
∴该函数图象过点(0,−3).
令x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴该函数图象过点(−1,0)，(3,0).
故A选项不正确，不符合题意；
该函数图象的对称轴是直线x=−−22×1=1，
故B选项不正确，不符合题意；
∵该函数图象过点(−1,0)，(3,0)，
∴该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为3−(−1)=4，
故C选项正确，符合题意；
∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴该函数图象可以看作是将y=x2向右平移1个单位，向下平移4个单位，
故D选项不正确，不符合题意．
故选：C.
将x=0代入y=x2−2x−3，得y=−3，令x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，可知该函数图象过点(0,−3)，(−1,0)，(3,0)；该函数图象的对称轴是直线x=−−22×1=1；该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为3−(−1)=4；根据y=x2−2x−3=(x−1)2−4，可知该函数图象可以看作是将y=x2向右平移1个单位，向下平移4个单位．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
11.【答案】A
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60∘得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=60∘，∠BAC=∠DAE=150∘，
∴∠BAE=360∘−∠BAD−∠DAE=360∘−60∘−150∘=150∘，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(SAS)，
∴EB=ED，故选项A正确，符合题意；
不能证明选项BCD正确，故选项BCD不符合题意；
故选：A.
证明△BAE≌△DAE(SAS)，可得EB=ED，即可得到答案．
本题考查旋转的性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
12.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴当对角线AC与BD互相平分时，四边形ABCD是菱形，故①正确；
∵AC+BD=10cm，
∴当AC的长度为4cm或6cm时，BD的长度为6cm或4cm，
∴四边形ABCD的面积为：12AC⋅BD=12×6×4=12(cm2)，故②正确；
设AC=xcm，则BD=(10−x)cm，
∴S四边形ABCD=12AC⋅BD=12x(10−x)=−12(x2−10)=−12(x−5)2+252，
∵−12