2024-2025学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷 含详解，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在平面直角坐标系中，点（7，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣7）B．（﹣7，2）C．（﹣7，﹣2）D．（7，﹣2）
2．（3分）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）解方程4x2＝16的结果为（ ）
A．x1＝x2＝4B．x1＝x2＝﹣4
C．x1＝2，x＝﹣2D．该方程无实数根
4．（3分）抛物线y＝x2﹣4x的对称轴是（ ）
A．直线x＝2B．直线x＝﹣4C．直线x＝﹣2D．直线x＝4
5．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，1），点（4，1）和点（2，0），则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＜0
C．a＜0，b＜0，c＝0D．a＞0，b＜0，c＞0
6．（3分）如图，过平行四边形ABCD的对角线AC的中点O的一条直线，交边AD，BC于点E，F（E，F不与四边形ABCD的顶点重合），下列叙述不正确的是（ ）
A．OE与OF一定相等
B．EF与AC一定相等
C．四边形ABFO与四边形CDEO一定全等
D．平行四边形ABCD被直线EF分成了两个全等的梯形
7．（3分）下列两个两位数相乘的运算中，请你利用二次函数的性质判断“积”最大的是（ ）
A．72×78B．74×76C．75×75D．77×73
8．（3分）已知函数y＝﹣x2+2x﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．当x＜1时，y随x的增大而增大
B．当x＞2时，y随x的增大而增大
C．当﹣2＜x＜2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
9．（3分）某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝（1﹣x）2B．y＝200（1﹣x）2
C．y＝﹣200x+200D．y＝200（1+x）2
10．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2可以看作是将抛物线y＝x2（ ）
A．向左平移2个单位得到的
B．向右平移2个单位得到的
C．向上平移2个单位得到的
D．向下平移2个单位得到的
11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（ ）
A．AB＝EDB．EA⊥BC
C．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2；
②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2；
③△BPQ面积的最大值为50cm2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的交点的坐标为 ．
14．（3分）把图中的等边三角形绕着它的两条中线的交点O旋转，要使旋转后的三角形能与自身重合，则旋转角的度数至少为 ．
15．（3分）一个矩形的面积为50cm2，且长是宽的2倍，则这个矩形的周长为 cm．
16．（3分）若抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，求实数a的值是 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，点P在BC边上，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，连接CA′，若AD＝9，AB＝5，CA′＝2，则BP＝ ．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点．
（Ⅰ）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，AO的长度为 ；
（Ⅱ）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段AB关于点O的中心对称图形A'B'（A的对应点为A'，B的对应点为B'），并简要说明点A'和点B'的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）（Ⅰ）解方程（x﹣7）2＝4；
（Ⅱ）解方程x2+5x+7＝3x+11．
20．（8分）小强用配方法求解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的过程如下：
解：二次项系数化1，得x2+＝0……第一步
移项，得x2+……第二步
配方，得x2+•⋯⋯第三步
即……第四步
直接开平方，得x+……第五步
即x1＝，x2＝……第六步
请问：小强的求解过程有错误吗？如果有错，请你指出在第 步开始出错了，并加以改正．
21．（10分）如图，△ABD和△ACE都是等边三角形，∠BAC＝100°，连接BE，DC．
（Ⅰ）求证：△ADC≌△ABE；
（Ⅱ）△ADC可以看作是△ABE经过 得到的（填：平移，轴对称或旋转）；说明得到△ADC的具体过程；
（Ⅲ）若AB＝6，BC＝8，∠ABC＝30°，则BE的长为 ．
22．（10分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了20米木栏．
（Ⅰ）若a＝5米，所围成的矩形菜园的面积为32平方米，求利用旧墙AD的长；
（Ⅱ）若a＝12米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
23．（10分）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是 ；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为 ；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为 ；
（Ⅲ）请继续完成本题的解答．
24．（10分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
（Ⅰ）直接写出∠BAD+∠CAE的度数 ；
（Ⅱ）在旋转过程中，试证明BD2+CE2＝DE2始终成立．
（提示：由于BD2+CE2＝DE2符合勾股定理的形式，若通过将△ABD或△AEC进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使BD，CE，DE转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．）
25．（10分）抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x，0）和（x2，0），与y轴交于点A，点E为抛物线顶点．
（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E和点A的坐标；
（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；
②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）时，是否存在PA+PE的最小值，若不存在，说明理由，若存在，求b的值．
2024-2025学年天津市河西区九年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【解答】解：点（7，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣7，2）．
故选：B．
2．【解答】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．【解答】解：4x2＝16，
x2＝4，
∴x＝±2，
∴x1＝2，x＝﹣2．
故选：C．
4．【解答】解：∵二次函数可化为y＝（x﹣2）2﹣4，
∴对称轴是直线x＝2，
故选：A．
5．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，1），点（4，1）和点（2，0），
∴对称轴为直线x＝＝，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，当x＜时，y随x的增大而减小，
∴a＞0，c＞0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣5a＜0，
故选：D．
6．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，OE＝OF，
∴DE＝BF，
∴OE与OF一定相等、四边形ABFO与四边形CDEO一定全等、平行四边形ABCD被直线EF分成了两个全等的梯形，故A、C、D叙述正确，不符合题意，
EF与AC不一定相等，故B选项叙述不正确，符合题意，
故选：B．
7．【解答】解：设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），
根据题意得：y＝（70+x）[70+（10﹣x）]
＝﹣x2+10x+5600
＝﹣（x﹣5）2+5625，
∴当x＝5时，y取得最大值，
∴75×75的积最大．
故选：C．
8．【解答】解：∵函数y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，开口向下，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
故选：A．
9．【解答】解：根据题意得：y＝200（1﹣x）2．
故选：B．
10．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2向右平移2个单位，可得到抛物线y＝（x﹣2）2．
故选：B．
11．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，
∴AB＝AD，∠BAD＝α，
∴∠B＝＝90°﹣，
故选：C．
12．【解答】解：由题意得：AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，
∴S△PBQ＝BP•BQ＝×（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10t）（cm2），
∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，
∵﹣2＜0，
∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故③错误；
当t＝3时，△PBQ的面积为：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正确；
令S△PBQ＝16，则﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0，
解得t＝2或8，
∵t＝8时，BQ＜BC，故t＝8符合题意，故②正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．【解答】解：当x＝0时，y＝02﹣1×0﹣2＝﹣2，
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的交点的坐标为（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
14．【解答】解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120°．
15．【解答】解：设宽为x cm，长为2x cm，
则2x×x＝50，
解得x＝5或x＝﹣5（舍去），
则宽为5cm，长为10cm，
则矩形的周长为2×（5+10）＝30（cm）．
故答案为：30．
16．【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x+a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0，即9﹣4a＝0．
解得：a＝．
故答案为：．
17．【解答】解：过A′点作A′H⊥BC于H点，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝9，∠B＝90°，
∵将PA绕点P顺时针旋转90°得到PA′，
∴PA＝PA′，
∵∠PAB+∠APB＝90°，∠APB+∠A′PH＝90°，
∴∠PAB＝∠A′PH，
在△ABP和△PHA′中，
，
∴△ABP≌△PHA′（AAS），
∴PB＝A′H，PH＝AB＝5，
设PB＝x，则A′H＝x，CH＝9﹣x﹣5＝4﹣x，
在Rt△A′CH中，x2+（4﹣x）2＝（2）2，
解得x1＝x2＝2，
即BP的长为2．
故答案为：2．
18．【解答】解：（1）AO＝＝．
故答案为：．
（2）如图，线段A′B′即为所求．
方法：取格点M，N连接MN交网格线于点B，B′，连接AO，延长AO交网格线于点A′，线段A′B′即为所求．
故答案为：取格点M，N连接MN交网格线于点B，B′，连接AO，延长AO交网格线于点A′，线段A′B′即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．【解答】解：（1）（x﹣7）2＝4，
∴x﹣7＝±2，
∴x1＝9，x2＝5；
（2）x2+5x+7＝3x+11，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5，
∴x+1＝或x+1＝﹣，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
20．【解答】解：有错误，在第五步．
错误的原因是在开方时对b2﹣4ac的值是否是非负数没有进行讨论．
正确步骤为：，
①当b2﹣4ac≥0时，
x+，
即x1＝，x2＝；
②当b2﹣4ac＜0时，原方程实数根．
故答案为：五．
21．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，\
在△ADC和△BAE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（Ⅱ）解：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△ADC．
故答案为：旋转；
（Ⅲ）解：∵△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝90°，
∴CD＝＝＝10，
∵△ADC≌△ABE，
∴CD＝BE＝10．
故答案为：10．
22．【解答】解：（1）设AB＝x米，则BC＝（20﹣2x）米，由题意得：
x（20﹣2x）＝32，
解得：x1＝2，x2＝8，
当x＝2时，20﹣2x＝16＞5，不合题意舍去；
当x＝8时，20﹣2x＝4＜5，
答：AD的长为8米；
（2）设BC＝x米，则
S＝x（20﹣x）
＝﹣（x﹣10）2+50，（0＜x≤12）
∴x＝10时，S的最大值是50．
答：当x＝10时，矩形菜园ABCD面积的最大值为50平方米．
23．【解答】解：（Ⅰ）设主干长出了x个支干，则每个支干长出x个小分支，
∴主干、支干和小分支的总数为1+x+x2，
当x＝2时，1+x+x2＝1+2+22＝7；
当x＝3时，1+x+x2＝1+3+32＝13；
当x＝2时，1+x+x2＝1+4+42＝21；
故答案为：7，13，21；
（Ⅱ）设主干长出了x个支干，则每个支干长出x个小分支，
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是1+x，
故答案为：1+x；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为x2，
故答案为：x2；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为1+x+x2，
故答案为：1+x+x2；
（Ⅲ）依题意得：1+x+x2＝111，
整理得：x2+x﹣110＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣11（不符合题意，舍去），
答：每个支干长出10个小分支．
24．【解答】（Ⅰ）解：45°，
理由：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AGF＝90°，
∴AG＝FG，
∴∠GAF＝∠F＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAC﹣∠GAF＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
（Ⅱ）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
将△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，连接DH，则BH＝CE，AH＝AE，∠ABH＝∠C＝45°，∠BAH＝∠CAE，
∴∠DBH＝∠ABC+∠ABH＝45°+45°＝90°，
∴BD2+CE2＝BD2+BH2＝DH2，
∵∠HAD＝∠BAD+∠BAH＝∠BAD+∠CAE＝45°，∠EAD＝∠GAF＝45°，
∴∠HAD＝∠EAD，
在△HAD和△EAD中，
，
∴△HAD≌△EAD（SAS），
∴DH＝DE，
∴BD2+CE2＝DE2．
25．【解答】解：（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时y＝0，
即y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3），
即b＝2，c＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3；
∴A（0，3），E（1，4）；
（Ⅱ）①由已知可得E（，），
∵E在直线y＝x上，
则＝，
∴c＝﹣b2+b，
②由①知，c＝＝﹣（b﹣1）2+，
则点A的坐标为（0，﹣（b﹣1）2+），
∴当b＝1时，点A是最高点，
则A（0，﹣b2+b），
∴y＝﹣x2+x+；
（Ⅲ）存在，理由：
∵抛物线经过点M（﹣1，0），
∴﹣1﹣b+c＝0，
∴c＝b+1，
∵E（，），A（0，c），
∴E（，），A（0，b+1），
∴点E关于x轴的对称点E'（，﹣），
设过点A，P的直线为y＝kx+t，将点A（0，b+1），P（1，0）代入，
∴y＝﹣（b+1）（x﹣1），
把E'代入，得﹣＝﹣（b+1）（﹣1），
∴b2﹣6b﹣8＝0，
解得b＝3±，
∵b＞0，
∴b＝3+．
x（主干长出支干的个数）
2
3
4
主干、支干和小分支的总数