天津市津南区十校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 （有答案和解析）

这是一份天津市津南区十校联考2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷 （有答案和解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法“方程两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
2. 若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（ ）
A. 8B. C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，两根之积为．根据一元二次方程根与系数的关系求出，的值，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两个根为，
，，
，
故选：B．
3. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入． 四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入49万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，根据题意所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，四月份绿化投入25万元，设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，则五月份的绿化投入为万元，六月份的绿化投入为万元，据此即可获得答案．
【详解】解：设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为x，
根据题意，可得．
故选：C．
4. 关于x的一元二次方程的实数根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 实数根的个数与实数b 的取值有关
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排28场比赛，则为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键．
设计划组织x支球队参加，根据计划安排28场比赛列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：计划组织支球队参加，每两个球队之间都要比赛一场，
则需比较场，
根据题意可知：，
整理得：，
解得：，（舍去）
则计划组织8支球队参加，
故选：C
6. 抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（ ）
A. 向左平移个，再向下平移个单位
B. 向右平移个，再向下平移个单位
C. 向左平移个，再向上平移个单位
D. 向右平移个，再向上平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移规律，由抛物线，得到顶点坐标为，而平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点坐标的变化寻找平移方法，解题的关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为；抛物线，的顶点坐标，
顶点坐标的平移规则是：先向左平移个单位，再向下平移个单位，
∴平移的方法是向左平移个单位，再向下平移个单位，
故选：．
7. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，
关于直线的对称点是，
∵，
∴，
故选：D．
8. 如图，在中，．在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是旋转的性质，由平行线的性质可求得的度数，然后由旋转的性质得到，然后依据等腰三角形的性质可知的度数，依据三角形的内角和定理可求得的度数，从而得到的度数．
【详解】解：∵，
∴．
∵由旋转的性质可知；，，
∴，
∴．
∴．
故选：C．
9. 风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（ ）度．
A. 60B. 120C. 180D. 270
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为120．
故选：B
10. 如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论：
①该抛物线的解析式为：；
②当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m；
③当水面下降2m时，水面宽度增加了m．
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上，
将代入中，得，
解得，
故抛物线的解析式为，
故①错误；
当水面宽度为时，即，把代入得：
．
原来水面宽时，则水面下降的高度为，
所以②正确．
当水面下降时，即，把代入得：
，则，解得，此时水面宽度为，
原来水面宽，水面宽度增加了，
所以③正确．
综上，正确结论②③，共2个，
故选：C．
11. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．
有下列结论：
①；
②若点均在该二次函数图象上，则；
③方程的两个实数根为，且，则；
④若m为任意实数，则．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，依据题意，由抛物线经过，对称轴为直线，得出，再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与轴交点坐标，从而判断③，由时取最大值可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
，
故①错误；
，
抛物线开口向下．
又点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴距离最大，点到对称轴的距离最小，
，
故②错误；
∵二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线
∴另一个交点坐标为，
方程可以看成与的交点，函数大致图象如下：
∴由图可得，
故③正确；
∵对称轴为直线，抛物线开口向下．
∴抛物线最大值为，
若为任意实数，则，
，
故④正确．
综上，正确有③④．
故选：B．
12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③．
【详解】解：令，则，解得：，，
∴小球从抛出到落地需要，故①正确；
∵，
∴最大高度为，
∴小球运动中的高度可以是，故②正确；
当时，；当时，；
∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误；
故选C．
二、填空题
13. 已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出．
【详解】解：∵二次函数中，图象的开口向上，
又∵二次函数的图象都在x轴的上方，
∴抛物线的图象与轴没有交点，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为．
故答案为：
15. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则代数式的值为_________．
【答案】2020
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，代数式求值．将代数式变形为的形式是关键．
根据根与系数的关系得出，由解的意义得，再将变形为，代入数据即可得出结论．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴
∴
．
故答案为：2020．
16. 关于x 的一元二次方程不含常数项，则m的值为______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，充分理解一元二次方程各项系数，，的位置与要求是解决本题的关键．由题可知，该一元二次方程的二次项系数，且常数项，由此可解得的值．
【详解】解：关于的一元二次方程的常数项为，
，解得．
故答案为：．
17. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．飞机着陆后滑行______才能停下来．
【答案】150
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值即可求解，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，有最大值为，
∴飞机着陆后滑行才能停下来，
故答案：．
18. 如图，已知二次函数图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定A、B、C的坐标，再根据三角形的三边关系得出，进而可得出当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值，然后求出的解析式，进而可求出点P的坐标．
【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、，
∴对称轴直线为：
∴顶点C的坐标为，
如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：，
∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值．
设的解析式为，
则，
解得：
∴的解析式为：，
当时，则，
则点P的坐标为
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键．
三、解答题
19. 解下列方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法计算即可．
（2）利用因式分解法计算即可．
本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵,
∴
解得，．
【小问2详解】
解：∵，
∴
∴
解得，．
20. 已知一元二次方程．
（1）当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根；
（2）当时，请判别方程根的情况．
【答案】（1），方程另外一个根为
（2）原方程有两个不相等的实数根
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点，
（1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可；
（2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可；
熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．
【小问1详解】
时，若方程的一个根为，
解得：，
得到方程为，解得或，
，方程另外一个根为；
【小问2详解】
，
∴
，
原方程有两个不相等的实数根．
21. 已知二次函数．
（1）求该二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象（五点法）；
（3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
【答案】（1）二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、图象绘制以及利用图象求函数值的取值范围，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式、五点法绘图步骤以及函数的增减性．
（1）通过将二次函数解析式化为顶点式来求顶点坐标和对称轴；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）结合画出的函数图象，根据自变量范围确定函数值的取值范围．
【小问1详解】
解：
，
根据二次函数顶点式，其顶点坐标为，对称轴为直线．
所以该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线；
【小问2详解】
解：求与轴交点：令，即，变形为，因式分解得，
解得，
所以与轴交点为和．
求与轴交点：令，则，
所以与轴交点为．
找顶点：由（1）知顶点为．
再找一个对称点：根据对称轴，与对称的点，横坐标为，纵坐标不变为3，即点，
所以选取的五个点为，在平面直角坐标系中描出这五个点，
然后用平滑曲线连接起来，就得到二次函数的图象．
【小问3详解】
解：由图可知，的取值范围是．
22. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，．
（1）求抛物线解析式；
（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______；
（3）根据图象，当时，y的取值范围是_______．
【答案】（1）
（2）与y轴的交点坐标为，顶点坐标为
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式．
（1）将点，代入即可求解；
（2）将代入解析式即可求出与y轴的交点坐标，然后将二次函数的解析式华为顶点式即可求出顶点坐标；
（3首先画出图象，直接由图象可得出y的取值范围．
【小问1详解】
解：把点，代入得
，解得 ，
∴；
【小问2详解】
解：当时，
∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为；
∵
∴顶点坐标为；
【小问3详解】
解：如图所示，
当时，；当时，．
∴根据图象，当时，y的取值范围是．
23. 如图，在平面直角坐标系中，从点O处抛出一个小球，落到斜坡上的点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）在斜坡上的点B处（不与点O，A重合）有一棵树，小球恰好经过树的顶端C．
①当点B的横坐标为1时，求树的高度；
②求树的高度的最大值．
【答案】（1）
（2）①树的高度为2；②树的高度的最大值为
【解析】
【分析】本考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，难度适中利用数形结合是解题的关键．
（1）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；
（2）①过点作轴的垂线，点在直线，求出直线的解析式，进而求B、的纵坐标，据此求解即可；
②设B点坐标为，则C的坐标为，，配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解
【小问1详解】
由点在抛物线上，得，解得．
由，得该抛物线的顶点坐标为
【小问2详解】
①如图，过点分别作轴的垂线，垂足是点, 设直线的解析式为,
直线的解析式为,
点的横坐标为1，
点的横坐标为1.
将代入,
的坐标为点的坐标为
答：这棵树的高度是2．
②点B在直线上，且直线解析式为
设B点坐标为，则C的坐标为
∴，
当时，树的高度的最大值为．
24. 某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元；
（2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？
【答案】（1）2000
（2）①；②该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解答关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用．
（1）根据“总利润每件的利润每天的销量”可得；
（2）①根据“总利润每件的利润每天的销量”列出函数表达式即可求解；
②运用二次函数性质即可解答．
【小问1详解】
解：由题意可得：商场经营该商品原来一天可获利润（元）
故答案为：2000．
【小问2详解】
①依题意得：
∴y与x之间的函数关系式为
②∵，且
∴当时，商店所获利润最大为2250元．
即：该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润．
25. 如图，抛物线经过三点．
（1）求b，c的值；
（2）点P在抛物线上，当，求点P的坐标；
（3）在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案；
（2）先求出，再利用三角形面积公式得到，则，据此求解即可；
（3）如图所示．连接，由抛物线的对称性可知，则当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，求出直线的解析式为，抛物线对称轴为直线，在中，当时，，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，当时，解得或，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或；
在中，当时，此时方程无解；
∴点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图所示．连接，
由抛物线的对称性可知，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，最小，即此时最小，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．