北京市第一零九中学 七年级下学期期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第一零九中学 七年级下学期期中数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1. 4的平方根是（ ）
A. 2B. 16C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案．
【详解】解：4的平方根是．
故选：D．
2. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：将不等式的两边同时减去b，得，故A错误；
将不等式的两边同时减去3，得，故B错误；
将不等式的两边同时乘（-1），得，故C正确；
将不等式的两边同时乘，得，故D错误．
故选C．
【点睛】此题考查的是不等式的变形，掌握不等式的基本性质是解决此题的关键．
3. 在下面的四个图形中，能由如图经过平移得到的图形是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质判断即可．
【详解】解：C选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是平移的概念，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
4. 若是关于和的二元一次方程的解，则的值等于（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入即可得到答案.
【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解，
∴，
解得：，
故选A
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，熟记二元一次方程的解的含义是解本题的关键.
5. 在平面直角坐标系中，如果点在第三象限，那么的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据第三象限内点的坐标特征可得出答案．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对直角坐标系与解不等式知识点的掌握，分析直角坐标系中第三象限坐标特点为解题关键．
6. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD．若∠BOE=72°，则∠AOF的度数为（ ）
A. 72°B. 60°C. 54°D. 36°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义得出∠BOC=2∠BOE=144°，由邻补角定义求出∠AOC=180°-∠BOC=36°，再根据垂直定义即可求出∠AOF的度数．
【详解】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE=72°，
∴∠BOC=2∠BOE=2×72°=144°，
∵∠BOC与∠AOC是邻补角，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-144°=36°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-36°=54°．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线、邻补角、角平分线的定义；弄清各个角之间的数量关系是解题的关键．
7. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 两条直线相交形成的对顶角一定相等
B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，根据对顶角的概念、平行线的性质、平行公理、垂直的定义判断．
【详解】解：A、两条直线相交形成的对顶角一定相等，命题正确，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角一定相等，命题正确，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题不正确，符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，命题正确，不符合题意；
故选：C．
8. 在参观北京世园会的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在正方形网格中，她以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示丝路驿站的点的坐标为.如果表示丝路花雨的点的坐标为，那么表示青杨洲的点的坐标为；如果表示丝路花雨的点的坐标为，那么这时表示青杨洲的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可知，当表示丝路花雨的点的坐标为，可知图中每个小方格表示2个单位长度，即可得出答案．
【详解】解：由表示丝路花雨的点的坐标为可知下图中每个小方格表示2个单位长度，则此时表示青杨洲的点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是用坐标表示位置，掌握点的坐标的有关性质是解题的关键．
9. 对有理数x，y定义运算：，其中a，b是常数．如果，，那么的值为（ ）
A. 6B. 10C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查新定义的运算和解二元一次方程组，先根据，，得到方程组，求得a和b的值，再根据新定义求解即可．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
则．
故选：A
10. 不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别解出不等式的解集,然后再结合不等式组的解集为即可确定a的取值范围．
【详解】解：
由①得：x＞2
由②得：x＞a+1
∵不等式组的解集为
∴a+1≥2，即a≥1
故答案D．
【点睛】本题主要考查了解不等式、解不等式组以及根据不等式组的解集确定字母的取值范围，正确的解出不等式的解集是解答本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 写出一个大于﹣3的负无理数___．
【答案】﹣（答案不唯一）
【解析】
【分析】由两个负数绝对值大的反而小从而可得出答案．
【详解】解：∵9>5
∴3>．
∴﹣3．
故答案为：﹣．（答案不唯一）
【点睛】本题考查无理数的估算、实数的大小比较，熟知两个负数绝对值大的反而小是解答的关键．
12. 若点P（+6，3）在轴上，则点P的坐标为___________.
【答案】(0,-12)
【解析】
【详解】分析：根据y轴上的点的横坐标为0得出2x+6=0，求出x的值即可得出点P的坐标．
详解：∵点P（2x+6，3x-3）在y轴上，
∴2x+6=0，
解得：x=-3，
∴点P的坐标为（0，-12）．
故答案为（0，-12）．
点睛：本题考查了坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0．
13. 在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是________________________________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得．
【详解】解：由图可知，，
所以这种画平行线方法依据是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键．
14. 若的整数部分为a，小数部分为b，则___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查无理数整数部分的有关计算，先求出，，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为，
∴，，
∴．
故答案为：．
15. 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据二元一次方程组的解法求出x与y的值，再将x与y代入即可求出k的值．
【详解】解：由，
得：，
将代入x﹣3y＝6，
∴3k+3k＝6，
∴k＝1
故答案为：1
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组与一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
16. 已知关于的一元一次不等式的解集是，如图，数轴上的四个点中，实数对应的点可能是________．
【答案】A
【解析】
【分析】求出不等式的解集，根据已知条件得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于的一元一次不等式的解集是，
∴，
∴，
∵数轴上只有点A表示的数小于-2，
∴实数对应的点可能是A．
故答案为：A．
【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解此题的关键．
17. 若关于x的不等式组有且只有2个整数解，则m的取值范围是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先求出，则，再结合关于x的不等式组有且只有2个整数解，故，即可作答．
【详解】解：解不等式，得
∴关于x的不等式组的解集是，
∵关于x不等式组有且只有2个整数解，
∴．
故答案为：
18. 我们规定：在平面直角坐标系中，任意不重合的两点之间的折线距离为．例如图①中，点与点之间的折线距离为．如图②，已知点，若点的坐标为，且，则的值为______．

【答案】或7
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值方程等知识点，正确理解折线距离以及绝对值方程的解法是解题的关键．
根据折线距离的定义可得关于t的绝对值方程，解方程即可解答．
【详解】解：∵已知点，若点的坐标为，且，
∴，解得：或7．
故答案为：或7．
三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
19. 解方程组．．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法．把方程②化为，再利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
②，得：③，
，得：，
解得：，
把代入②，得：，
解得：，
∴方程组的解为．
20. 解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解．
【答案】；
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【详解】解：
∵由①，得，
由②，得，
∴原不等式组的解集为：，
∴原不等式组的所有整数解为：0，1，2．
【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组及求其整数解，解决此类问题的关键是正确解得一元一次不等式组的解集．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，若把三角形向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别为，，．
（1）写出点的坐标为 ；
（2）在图中画出平移后的三角形；
（3）三角形的面积为 ．
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）7
【解析】
【分析】本题考查了平移作图及坐标与图形、方格纸求三角形面积，掌握平移作图是关键，
（1）根据平移方式找到点的坐标，即可作答；
（2）同理找到，的坐标，再依次连接，画图即可；
（3）利用割补法求解三角形的面积即可；
【小问1详解】
解：根据题意得，点的坐标为
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图，三角形即为所求．
【小问3详解】
解：三角形的面积为；
故答案为：7．
22. 完成下面的证明．
已知：如图，，，．求证：平分．
证明：∵，，
∴，（ ）．
∴．
∴ （ ）．
∴．（两直线平行，同位角相等）．
．（ ）．
又∵，
∴ ．
∴平分．
【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
【解析】
【分析】本题考查了垂直、平行线的判定与性质、角平分线，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据垂直的定义可得，，从而可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，，然后根据等量代换可得，最后根据角平分线的定义即可得证．
【详解】证明：∵，，
∴，（垂直的定义）．
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴．（两直线平行，同位角相等）．
．（两直线平行，内错角相等）．
又∵，
∴．
∴平分．
故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；．
23. 随着我国物流行业市场的成熟发展和技术成熟度的显著提升，物流无人机的市场价格下降很快，物流无人机得到了广泛的应用．已知1架甲型物流无人机与7架乙型物流无人机总价为435万元，2架甲型物流无人机与9架乙型物流无人机总价为845万元．甲型和乙型物流无人机每架各多少万元？
【答案】甲型物流无人机每架400万元，乙型物流无人机每架5万元
【解析】
【分析】设甲型物流无人机每架x万元，乙型物流无人机每架y万元，根据“1架甲型物流无人机与7架乙型物流无人机总价为435万元，2架甲型物流无人机与9架乙型物流无人机总价为845万元”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设甲型物流无人机每架x万元，乙型物流无人机每架y万元，
根据题意得，，
解得：，
答：甲型物流无人机每架400万元，乙型物流无人机每架5万元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据总价找出等量关系是解决问题的关键．
24. 已知：如图，中，D，G为上的两点（不与B，C重合），连接，过点D作交于点E，过点G作交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）请你判断和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）详见解析
（2），详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线定义、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键．
（1）根据平行线的定义解答即可；
（2）由根据平行线的性质得到，由可得，则，最后根据等量代换即可解答．
【小问1详解】
解：如图即为所求．
【小问2详解】
解：，
证明如下：
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
25. 在平面直角坐标系中，已知点，．其中a为整数．点C在线段上，且点C横纵坐标均为整数．
（1）当时，画出线段；
（2）若点C在x轴上，求出点C的坐标；
（3）若点C纵坐标满足，直接写出a的所有可能取值： ．
【答案】（1）详见解析
（2）或
（3）4
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质、无理数的估算、复杂作图．
（1）根据题意，在平面直角坐标系中画出线段即可；
（2）根据条件可知可得a的取值为0，1，2，3，继而确定点C坐标即可；
（3）点C纵坐标满足，点C的横纵坐标均为整数，得到，得到或，解得或，再分别求出点C的横坐标判断即可．
【小问1详解】
解：如图，当时，，，线段即为所求；
【小问2详解】
解：∵点C在线段上，且点C的横纵坐标均为整数，点，．
∴点C的横坐标为，纵坐标为和之间的整数，
∴点C的坐标为或，
∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标为0．
由此可得a的取值为1或2，
因此点C的坐标是或；
【小问3详解】
解：∵点C在线段上，且点C的横纵坐标均为整数，点，．
∴点C的纵坐标为和之间的整数，即或，
∵点C纵坐标满足，点C的横纵坐标均为整数，
∴，
∴或，
解得或，
当时，，，直线解析式为，
当时，不是整数不合题意；
当时，，，直线解析式为，
当时，符合题意；
综上所述，，
故答案为：4．
26. 三角形ABC中，∠ABC的平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，三角形ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．
完成下面求∠EDB的过程．
解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠ABC＝90°，
∴∠AED＝∠ABC．∴（______）．∴∠EDB＝∠______．
∵BD平分∠ABC，∴．
∴∠EDB＝45°．
（2）如图2，三角形ABC是锐角三角形，过点E作，交AC于点F．依题意补全图2，用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明．
（3）三角形ABC是钝角三角形，其中．过点E作，交AC于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．
【答案】（1）同位角相等，两直线平行；
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行解答即可；
（2）延长、交于，利用平行线的性质得，再利用三角形外角的性质可得结论；
（3）由（2）同理解决问题．
【小问1详解】
解：，
．
，
．
（同位角相等，两直线平行）．
．
平分，
．
．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；
【小问2详解】
如图，，
理由如下：延长、交于，
，
，
平分，
，
是的外角，
，
；
【小问3详解】
．如图，
，
，
是的外角，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等于1，即S△MPQ＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）．
（1）在点A（1，2），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是 ；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，直接写出t的取值范围 ．
（3）已知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M在HQ的延长线上，若S△HMN≥S△PQN，求出点N纵坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）或；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）分别根据三角形的面积计算△OPA，△DPB，△DPC，△OPD的面积即可；
（2）分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解；
（3）画出图形，根据S△PQN=1，得到S△HMN≥，分当xN=0时，当xN=2时，分别结合S△HMN≥，得到不等式，求出N点纵坐标的范围．
【详解】解：（1）S△OPA=，则点A是线段OP的“单位面积点”，
S△OPB=，则点B不是线段OP的“单位面积点”，
S△OPC=，则点C是线段OP的“单位面积点”，
S△OPD=，则点D不是线段OP的“单位面积点”，
（2）设点G是线段OP的“单位面积点”，则S△OPG=1，
∵点E的坐标为（0，3），点F的坐标为（0，4），且点G在线段EF上，
∴点G的横坐标为0，
∵S△OPG=1，线段OP为y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，
当为单位面积点时，

当为单位面积点时，

综上所述：1≤t≤2或5≤t≤6；
（3）∵M，N是线段PQ的两个单位面积点，
∴S△PQM=1，S△PQN=1，
∵P（1，0），Q（1，-2），
∴PQ=2，
∴M，N的横坐标为0或2，
∵点M在HQ的延长线上，
∴点M的横坐标为xM=2，
∵S△HMN≥S△PQN，
∴S△HMN≥，
当xN=0时，S△HMN=，
则，
∴或；
当xN=2时，S△HMN=，
则，
∴或．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，并且能够理解单位面积点的定义，解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解．