北京师范大学第二附属中学上学期12月月考八年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京师范大学第二附属中学上学期12月月考八年级数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。
2024．12
一、选择题（共16分，每题2分，每题只有1个正确的选项）
1. 七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在下面这些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】第一个图形不是轴对称图形，
第二个图形是轴对称图形，
第三个图形是轴对称图形，
第四个图形不是轴对称图形，
第五个图形是轴对称图形，
第六个图形是轴对称图形，
综上所述，是轴对称图形的有4个．
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题要注意不考虑拼接线．
2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法的知识解答即可．
【详解】解：绝对值小于1的数利用科学记数法表示，一般形式为，n为原数左边第一个不为零的数字起前面的0的个数．
即：．
故选：D．
【点睛】本题用科学记数法的知识点，关键是掌握绝对值小于1的数用科学记数法表示时负指数与0的个数的关系．
3. 若分式有意义．则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选D．
4. 下列式子是因式分解是（ ）．
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查判断是否是因式分解，将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、等式右边含有分式，不符合题意；
故选C．
5. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值不变，进行判断即可．
【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意；
B、，等式不成立，不符合题意；
C、，等式成立，符合题意；
D、，等式不成立，不符合题意；
故选C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．
【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a-b=0．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．
7. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可．
【详解】解：，解得：，
由题意，得：且，
∴且，
解得：且；
故选D．
8. 如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（ ）
A. 2B. 2或6C. 4或6D. 2或4或6
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
∵
∴
∴，
即，
解得；
（2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，，
综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分）
9. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键．
先提取公因式3，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 当_________时，分式的值为0．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，理解“分式且”是解题的关键．
根据题意令分子为零，即，解得；将代入，结果不为零，即可得出．
【详解】解：要使分式的值为0，
，
解得：，
当时，；
故答案：．
11. 计算：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加即可．
【详解】解：；
故答案为：．
12. 如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______．
【答案】（a+b）2-2ab = a2+b2
【解析】
【分析】利用各图形的面积求解即可．
【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b）2-2ab，
故可得： （a+b）2-2ab = a2+b2
故答案为：（a+b）2-2ab = a2+b2
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积．
13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则＝_____．
【答案】80
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质，利用数形结合的思想是解题的关键．
由等边对等角即可得出，再结合三角形外角性质即可求出，从而求出的大小．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：80．
14. 如图，，于点．若，则_____________（用含的式子表示）．

【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
15. 如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝________．
【答案】2
【解析】
【分析】延长CD交AB于点E，根据垂线及角平分线的性质可得，，然后利用全等三角形的判定定理和性质可得，再由等角对等边可得，由此即可得出线段长度．
【详解】解：如图所示：延长CD交AB于点E，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查角平分线和等角对等边性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
16. 如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为___________．
【答案】3
【解析】
【分析】连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长，再根据垂线段最短，得到时，的值最小，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点．
，，，
，
，
，
∴，
∴
，
，
最小时，值最小，
当时，的值最小，
此时，
∴，
∴
的最小值为3，
的周长的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共10小题，17题，5分，18题6分，19-20题，7分，21题，6分，22、23、25题，7分，24题8分，28题8分，共68分）
17. 计算∶．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，先去绝对值，进行负整数指数幂和零指数幂的计算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行完全平方公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项进行化简，然后利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，
∴原式
．
19. 解分式方程∶
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：，
检验，经检验，是原方程的解．
20. 化简:，并选择一个适当的的值代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算即可化简，再代入合适的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
∵，，，
∴，，
∴当时，原式．
21. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由条件证得，由全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）是解题关键．
22. 某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词．
【答案】求测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词．
【解析】
【分析】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并依照等量关系列出方程求解．
【详解】解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入个单词．
由题意，得．
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
所以．
答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词．
23. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)，
（1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ；
（2）设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点的坐标是 ；
②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）作图见解析，（1，2），（1，-2）；（2）①（5，1）；②P点位置见解析；③（2-m，n）
【解析】
【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数．
（2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）．
②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点．
③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n）
【详解】（1）平面直角坐标系xOy如图所示
由图象可知C点坐标为（1，2）
点是 C点关于x轴对称得来的
则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数
即点坐标为（1，-2）．
（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1
①A点坐标为（-3，1），
关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变
则为坐标为（5，1）
②连接①所得B，B交直线x=1于点P
由两点之间线段最短可知为B时最小
又∵点是点A关于直线l的对称点
∴
∴为B时最小
故P即为所求点．
③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）
有（m+x）÷2=1，y=n
即x=2-m，y=n
则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2
即对称点坐标为（2-m，n）．
【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键．
24. 阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是： ；
②思路二的辅助线的作法是： ．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．
【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．
理由如下：∵BG＝BF，
∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：
则∠G＝∠CAD，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，
∴△ADC≌△GDB（AAS），
∴AC＝BG，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．
25. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律
（1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：_____________，_____________，不难发现，结果都等于_____________．（请完成填空）
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
（3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数_____________．
【答案】（1）15，15，15．
（2）见解析 （3）11
【解析】
【分析】（1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
（2）分别表示出四个数再进行计算即可得到答案；
（3）分别用含有a的代数式表示出最大的数和最小的数，根据题意列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：；
；
不难发现，结果都等于15
故答案为：15；15；15；
【小问2详解】
证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则，
所以，
；
【小问3详解】
∵正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数最中间的数为a，
∴最大的数为，最小的数为，
根据题意得，
∴
∴
∵
∴
故答案为：11
【点睛】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算以及日历上的方程等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
26. 在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点．
（1）如图①，判断的形状并证明；
（2）如图②，，
①补全图形；
②用等式表示，，之间的数量关系并证明．
【答案】（1）等腰三角形，理由见解析
（2）①补全图形见解析，②，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键．
(1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形．
(2) ①根据题意补全图形即可；
②过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以．
【小问1详解】
解：的形状等腰三角形．证明如下：
∵，是边的中线，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
①补全图形，如图．
②之间的数量关系是．
证明：过点E作于点H．
∵，是边的中线，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴，
∴．
∵由（1）知：，
考生须知
1．本试卷共6页，共四道大题，26道小题．考试时间100分钟，试卷满分100分．
2．除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．