北京理工大学附属中学2024~2024学年上学期期中考试八年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京理工大学附属中学2024~2024学年上学期期中考试八年级数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列长度三根小木棒能构成三角形的是( )
A. 2cm，3cm，5cmB. 7cm，4cm，2cmC. 3cm，4cm，8cmD. 3cm，3cm，4cm
【答案】D
【解析】
【详解】A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误，不符合题意；
B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误，不符合题意；
C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误，不符合题意；
D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解决此题的关键是熟练运用三边关系解决相关题型．
2. 下列是几种著名的数学曲线：

其中不是轴对称图形的是（ ）
A. 蝴蝶曲线B. 笛卡尔心形线
C. 科赫曲线D. 费马螺线
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
4. 如图，是的高的线段是（ ）
A. 线段B. 线段C. 线段D. 线段
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高”，根据三角形的高的画法即可得，正确认识三角形的高是解题的关键．
【详解】解：由三角形的高的定义可知，选项C中的线段是的高，
故选：C．
5. 如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A. 三个角的角平分线的交点B. 三角形三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点D. 三角形三条中线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
6. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ）
A. 80°B. 20°C. 80°或20°D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】已知条件中的外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况进行讨论，再结合三角形的内角和为，即可求出顶角的度数．
【详解】解：∵①当顶角的外角等于时，则该顶角为：；
②当底角的外角等于时，则该底角为，又由于是等腰三角形，故此时顶角为：．
∴综上所述，等腰三角形的顶角为或．
故选：C
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及邻补角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
7. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）
A. 第1块B. 第2块C. 第3块D. 第4块
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定条件可得结论．
【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
8. 如图，小华从O点出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，…这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到图形是一个正多边形，结合外角和定理求出边数即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，图形是一个正多边形，
∵前进5米后向右转，
∴，
∴一共走了：（米），
故选：C
【点睛】本题考查正多边形外角和的应用，熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．
9. 如图所示：在中，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质、全等三角形的判定定理等知识，根据题中条件，由等腰三角形性质即可验证各个结论正确与否，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，则，②正确；
，即是等腰顶角的角平分线，
由等腰三角形“三线合一”可知，③④正确；
，，，
，①正确；
综上所述，结论正确的有①②③④四个，
故选：D．
10. 如图，和中，下列能判定的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：、根据，，，不能判断，故不符合题意；
、根据，，，不能判断，故不符合题意；
、根据，，，不能判断，故不符合题意；
D、根据，，，可通过判断，故符合题意；
故选：D．
11. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B，C所在直线为x轴、队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机E的坐标为(40，a)，则飞机D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，
∵飞机E的坐标为(40，a)，
∴飞机D的坐标为(-40，a)，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A、C，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B．由已知条件无法判断选项D．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，
∴，，
故选项A、C正确，
∴，
∵，，
∴，
故选项B正确，
由已知条件无法得到，故选项D中说法不一定正确．
故选：D．
13. 如图，在中，，，是经过点的一条直线，且，在的两侧，于，于，，，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】证明，得出，，根据即可求解．
【详解】解：∵，，,
∴，
∴,
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
14. 将一副三角板如图所示放置，则图中的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三角形外角的性质．根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”以及对顶角相等的性质即可得到结论．
【详解】解：由外角的性质可得：，

故选：A．
15. 如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，
以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，
∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．
二、填空：（每题3分共3×8＝24分）
16. 如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是__________(只填一个即可)．
【答案】OB＝OD(答案不唯一)
【解析】
【分析】添加条件OB=OD，可利用ASA定理证明△AOB≌△COD．
【详解】解：添加条件OB=OD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为OB=OD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17. 如图，，，点D、E为垂足，，当____时，点P在的平分线上．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题关键．根据角平分线的判定定理求解即可．
【详解】解：，，
当时，点P在的平分线上
故答案为：7．
18. ______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了积的乘方和单项式的乘法．先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可．
【详解】解：，
故答案为：
19. （科研考古）如图，考古学家发现在地下处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在，处开工挖出“”字形通道．如果，，那么的度数是_______．

【答案】##75度
【解析】
【分析】先求出，再根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，解题的关键是掌握三角形的内角和为．
20. 如图，在中，是边的垂直平分线． 若，，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键，根据垂直平分线的性质，可知，进而可求出的周长．
【详解】解：∵DE是BC边的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
21. 如图，在中，，点D边在上，将其沿折叠，点B落在边上的点处，，则___．
【答案】##36度
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
22. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是________．
【答案】120°
【解析】
【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解．
【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N
如图所示，此时△AMN的周长最小
∵∠ABM=90°
∴∠EBM=90°
在△AMB和△EMB中
∴△AMB≌△EMB
∴∠BEM=∠BAM
∴∠AMN=2∠BAM
同理可得：△AND≌△FDN
∴∠NAD=∠NFD
∴∠ANM=2∠NAD
设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y
∵∠BAD=120°
∴
解得：
即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键．
23. 含角的直角三角板与直线，的位置关系如图所示，已知，，以下三个结论中正确的是______（只填序号）①；②为正三角形；③④
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、等角对等边、含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，本题属于中等题型．
根据含角的直角三角形的性质即可判断①，根据得到，由已知即可判断②，由是等边三角形得到，则，即可判断③④．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∵，
∴
故①错误；
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
故②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故③④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（24题6分，25题4分，26—30每题5分，31题6分，共46分）
24. 计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了整式的乘法运算．
（1）利用单项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）利用多项式乘以多项式的法则计算即可．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
25. 如图，已知和线段，点M，N在射线，上．
（1）尺规作图：作的角平分线和线段的垂直平分线，交于点P，保留作图痕迹，不写作图步骤；
（2）连接、，过P作，，垂足分别为点C和点D，求证：，请补全下列证明．
证明：∵P在线段的垂直平分线上，
∴，（ ）
P在的角平分线上，，，
∴，（ ）
请补全后续证明．
【答案】（1）见解析 （2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到角的两边距离相等；后续证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线和角平分线的基本作图方法进行作图即可；
（2）根据证明即可．
【小问1详解】
解：的角平分线和线段的垂直平分线，如图所示．
【小问2详解】
解：证明：∵P在线段的垂直平分线上，
∴，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
P在的角平分线上，，，
∴，（角平分线上的点到角的两边距离相等），
∵和为直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到角的两边距离相等．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线基本作图，角平分线和垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
26. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
（1）画出关于轴对称的图形，并写出顶点的坐标；
（2）在边上画出点，使的面积恰好是的面积的一半；
（3）已知为轴上一点，若与的面积相等，写出点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析 （3）或．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化-轴对称，三角形的中线的含义，割补法求图形面积，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
（1）在直角坐标系中找出A、B、C关于x轴的对称点，B，，然后顺次连接即可得到，最后写出点坐标即可；
（2）利用三角形的中线等分三角形的面积，结合D的横坐标为2，画图即可；
（3）根据与的面积相等求出，然后写出P的坐标即可．
小问1详解】
解：如图，即为所求，
∴；
【小问2详解】
如图，D即为所求；
．
【小问3详解】
∵，，
∴，
∴，
又，
∴或．
27. 已知，m，n为正整数，求．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的逆用及幂的乘方的逆用运算法则即可求出答案．
【详解】解：，
【点睛】本题考查同底数幂的逆用及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练运用同底数幂的逆用及幂的乘方的逆用运算法则，本题属于基础题型．
28. 如图，已知，，求证．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用证明，根据全等三角形的性质可得，，再由，，即可得出
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29. 如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】根据ABBD，DEBD，ACCE，可以得到， ，，从而有，可以验证ΔABC和全等，从而得到AB=CD．
【详解】证明：
∵，，
∴
∴，
∴
在ΔABC和中
∴ΔABC≌
故．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．
30. 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．写出两个结论（∠BAD＝∠CAD和DE＝DF除外），并选择一个结论进行证明．
（1）____________；
（2）____________．
【答案】（1）∠ADE=∠ADF；证明见解析；（2）AE=AF；证明见解析．
【解析】
【分析】（1）∠ADE=∠ADF，根据DE⊥AB，DF⊥AC及AD为∠BAC角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；
（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF．
【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∴∠ADE=∠ADF；
（2）结论2：AE=AF，证明如下：
由（1）可知：△AED≌△AFD，
∴AE=AF．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．
31. 先阅读材料，再解决问题：
已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值．
解：，
，
原式，
．
请运用“降次代换法”，解答下列问题：
（1）若，则代数式的值为________
（2）若，求代数式的值；
（3）已知：，求代数式的值．
【答案】（1）3 （2）
（3）9
【解析】
【分析】（1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可；
（2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可；
（3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
故答案为：3；
【小问2详解】
，
，
，
故答案为：；
【小问3详解】
，
，
，
即代数式的值为9．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键．
32. 在中，，延长至，使，在的右侧作线段，使，连接交于点．

（1）如图1，在线段上取点，使，连接，求证：；
（2）若，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】（1）证出，由等腰三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出；
（2）在上截取，连接，由（1）可知，得出，，证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，则可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：．
理由如下：
作出图形如下：在上截取，连接，

由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．