辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附答案）

这是一份辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．全集，集合，，则（ ）
A．B．或
C．D．
2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（ ）

A．，，B．，，C．，，D．，，
5．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．5C．D．7
6．设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
9．下列指数幂运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知两个实数、满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为 .
14．非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为 .
四、解答题
15．函数满足对任意，都有，且，当时，.
(1)判断并证明在上的单调性；
(2)求不等式的解集.
16．已知函数（且）的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在上的最大值.
17．大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．
(1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；
(2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．
18．已知二次函数，其中且.
(1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是；
(2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根.
19．我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
(1)若函数满足为偶函数，求的值；
(2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形?如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，解关于的方程.
参考答案
1．C
【详解】，解得或，集合或，
，，
，解得，集合，
．
故选：C．
2．D
【详解】因为命题“，”为真命题，
所以，恒成立，所以.
因为“”是“”的充分不必要条件；
“”是“”的充分不必要条件；
“”是“”的充要条件；
“”是“”的必要不充分条件.
故选：D
3．A
【详解】由题意：在上恒成立.
若，则不等式可化为，在上恒成立；
若，由在上恒成立，可得.
综上可知：.
故选：A
4．B
【详解】如下图：

作直线，得直线与指数函数的交点，根据交点的纵坐标，及，
可知对应，对应，对应.
故选：B
5．D
【详解】，，且，
，，
，
当且仅当，即等号成立，
的最小值为7．
故选：D．
6．C
【详解】由题意可知,当时,,则此时在上为单调递减,且值域为,
当时,由可知,函数是以为周期的周期函数,
且,
结合函数的图像,当满足时,与有且仅有两个交点，
即有且仅有两个解.
故选：C.
7．B
【详解】不妨设，令
则，
则函数在上单调递增，
对于不等式 ，由定义域可知，
所以不等式可化为，即，
因为在上单调递增；所以或（舍去），
所以不等式的解集为.
故选：B
8．A
【详解】，①．
则交换可得，,
化为②
由①②可得③，
③中令可得，
化简可得，当时等号成立，
所以的最大值等于．
故选：A
9．BCD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD
10．ABCD
【详解】因为两个实数、满足，
由重要不等式可得，故，
当且仅当时，即当或时，等号成立，B对；
另一方面，可得，
当且仅当时，即当或时，等号成立，A对；
对于CD选项，由题意可得，
由重要不等式可得，可得，
当且仅当时，即当或时，等号成立，D对；
因为，故，
所以，即，
当且仅当时，即当或时，等号成立，
又，C对.
故选：ABCD.
11．ACD
【详解】对A：令，由，
由，故A正确.
对B：因为即，所以函数过点，该点关于的对称点为.
但，即函数过点，不经过，故B错误；
对C：由，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
对D：由；
由，用代替，可得，
所以.
所以，，…，，又，
所以，故D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为，令时，.
故答案为：.
13．
【详解】因为函数有两个零点，，所以.
又因为，，所以或，
由；
由.
综上可知：.
故答案为：
14．17
【详解】设参加傣族孔雀舞的学生集合为，参加傣族泼水节的学生集合为，参加傣族织锦技艺的学生集合为.
由题意：，，，，
，，，
又，
所以.
即三项活动都参加的人数为17.
故答案为：17
15．(1)在上是单调递减的函数，证明见解析；
(2)
【详解】（1）在上是单调递减的函数，
理由如下：
任取，则，由已知得，
则，
∴，∴在上是单调递减函数．
（2）令 ，得 ，所以 ．
令 ，得 ，
所以，所以为奇函数；
由于，则，所以，
又因为，所以．
因为
又因为，所以，
由于在上是单调递减，
，即，即，
所以不等式的解集为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，
所以，所以，所以，
（2），
令，则，
当时，对称轴为，所以在上单调递增，
所以，
当时，，所以在上单调递增，所以，
当时，对称轴为，
若，即时，在上单调递增，，
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上的最大值为.
17．(1)答案见详解
(2)商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元
【详解】（1）因为投入10万元，即，
若只经销商品，则所获得的收益为万元；
若只经销商品，则所获得的收益为万元.
（2）设商品投入万元，则商品投入万元，
可知总收益，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以在上的总收益最大值为16万元；
若，则，
可知的图象开口向下，对称轴为，则，
所以在上的总收益最大值小于万元；
因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，
则由韦达定理得：，即；
充分性：若成立，此时方程一元二次方程的，
方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根.
所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.
（2）当时，为奇数，
当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数，
所以同为奇数或同为偶数，
假设有整数根，则，
1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数，
所以为奇数，所以，与假设矛盾；
2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数，
所以为奇数，所以，与假设矛盾；
若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数，
所以为奇数，所以，与假设矛盾；
综上，假设不成立，所以方程无整数根.
19．(1)；
(2)是，；
(3).
【详解】（1）函数，则
显然函数是偶函数，即是偶函数，
所以.
（2）函数，，
则，因此函数是奇函数，
所以函数的图象是中心对称图形，其对称中心为.
（3）令，则，
方程化为，解得或，
当时，，即，解得；
当时，，无解，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
C
B
A
BCD
ABCD
题号
11









答案
ACD