河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章4.4．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的元素特征及交集的定义可得.
【详解】由，所以，得.
所以．
故选：C.
2. 函数的图象恒过定点，则的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数过定点的性质即得
【详解】令，
故的图象恒过定点．
故选：C.
3. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据“狄利克雷函数”的定义，判断“”和“”的互相推出情况，由此可知结果.
【详解】若，则，所以，故，
但当时，可能都是无理数，不妨设，此时，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，化简分析，即可得答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以．
故选：A
5. “空气质量指数（AQI）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则这天可开展户外活动的时长至多为（ ）
A. 6小时B. 8小时C. 16小时D. 18小时
【答案】D
【解析】
【分析】当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动；即小于或等于200时适合开展户外活动，根据分段函数的解析式，分情况讨论求出不等式解集，再求出区间长度即可.
【详解】由AQI大于200表示空气重度污染，不宜开展户外活动，
得当小于或等于200时，可开展户外活动，即，
因为
所以当时，，解得，
当时，，解得．
综上，可开展户外活动的时长至多为小时．
故选:D.
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据的定义得的定义域，进而可得所求结果.
【详解】因为函数的定义域为，所以，
所以的定义域为，
故函数中的需满足得，
故函数的定义域为．
故选：A.
7. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数定义域、奇偶性与函数正负，借助排除法即可得.
【详解】的定义域为，故B错误；
又，则为奇函数，故A错误；
当时，，所以，故C错误.
故选：D.
8. 已知函数，若恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令由题意零点相同，求得；再分和分析是否恒有即可判断.
【详解】由题意的定义域为，
令
由题意零点相同，
所以，得,
若，当时，，不符合题意；
若，
时，，
时，，
时，.
恒有
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数中，与函数为同一个函数的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】逐项比较定义域与解析式进行判断.
【详解】对于A：，定义域为，与已知函数定义域不同，A错误；
对于B：，定义域为，与已知函数定义域相同，解析式相同，B正确；
对于C：，定义域为，与已知函数定义域相同，解析式相同，C正确；
对于D：定义域为，与已知函数定义域不同，D错误．
故选：BC.
10. 已知实数满足，则（ ）
A. 的取值范围为
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案.
【详解】由实数满足，可得，所以，
又由，且，可得，所以，
所以的取值范围为的取值范围为，所以A正确，B错误；
由，因为，
所以，所以的取值范围为，所以C正确；
由，当时，可得，
当时，可得，所以的取值范围为，所以D正确．
故选：ACD.
11. 定义在上的函数，对任意，都有，且当时，，则（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 在上单调递减
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过赋值法可判断A、B；令，，其中，由定义法得到在上单调性即可判断C；根据B中结论将转化为，再利用C中结论得到不等式求解即可判断D.
【详解】对于A，令，则，令，则，A错误．
对于B，令，则，所以为偶函数，B正确．
对于C，令，，其中，
则，即，
因为，所以，即，
所以在上单调递减，C正确．
对于D，因为是偶函数，且，所以．
又在上单调递减，所以，且，解得，且．
故不等式的解集为故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式直接求值可得.
详解】因，令，则.
所以
故答案为：.
13. 已知且，函数在上单调递增，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】先确定每一段在定义域范围内都是单调递增，再根据左半段函数在端点处的最大值小于等于右半段函数在端点处的最小值即可求得.
【详解】因为在上单调递增，所以解得，即的取值范围是.
故答案为：
14. 某品牌的橡胶轮胎经自然降解后的残留量与时间（单位：年）的关系式为，其中为初始量，为光解系数．已知该品牌橡胶轮胎5年后的残留量为初始量的80%．该品牌橡胶轮胎大约需要经过___________年，其残留量为初始量的10%．（参考数据：）
【答案】50
【解析】
【分析】根据已知条件可以得出，将代入结合对数的运算化简即可得结果.
【详解】由，可得，故．
当时，，即，当时，，
两式相除可得
故答案为：50.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质计算可得；
（2）根据对数的运算性质计算可得.
【详解】（1）
.
（2）
16. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合、后，利用并集与补集定义即可得；
（2）由题意可得，再分与讨论即可得.
【小问1详解】
由，解得，则，
由可得，故，则或，
故或；
【小问2详解】
因为，
当时，，符合题意；
当时，，
由，得，所以；
综上，的取值范围为.
17. 已知函数为幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值，并求的解析式；
（2）若存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义直接可得；
（2）先将不等式进行参数分离，再由基本不等式可得.
【小问1详解】
因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，在上单调递增，符合题意；
当时，在上单调递减，不符合题意．
综上所述，的值为的解析式为.
【小问2详解】
因存在，则，
令，则，
当且仅当时，等号成立，即取得最小值.
故，即的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）设．
（i）求的最小值，并求出当取得最小值时的值；
（ii）求的单调递减区间．
（2）对任意、，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）（i）最小值为，；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值；
（ii）利用复合函数法可求得函数的单调递减区间；
（2）令，则可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题可化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
（i）当时，，
的定义域为，
令，，则，
当，即当时，即时，取得最小值，最小值为.
（ii）上单调递增，
在上单调递减，令，解得，
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，令，
可化为．
记函数在上的最大值为，最小值为，
由对任意、，恒成立，得恒成立．
，其图象开口向上且对称轴为直线．
①当时，在上单调递增，
可得，，
由，得，解得，不符合题意；
②当时，函数上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，由，可得，所以，
解得，此时；
当时，由，可得，解得，此时；
③当时，，
由，可得，解得，不符合题意．
综上，的取值范围为.
19. 定义已知函数
（1）求的单调区间．
（2）已知是关于的方程的三个不同的实根．
（i）求取值范围；
（ii）已知，求的最小值．
【答案】（1）单调递减区间为和，单调递增区间为
（2）（i）（0，1）；（ii）2
【解析】
【分析】（1）根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，结合反例函数与二次函数的性质，即可求解；
（2）（i）根据题意，分别求得和时，方程的根，结合题意，列出不等式组，即可求解；（ii）由（i）知，根据不等式的性质，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：当时，，即，
当时，令，可得，即，解得，
所以当时，；当时，，
所以，
当时，，可得在单调递减；
当时，函数，可得在单调递减，在单调递增，
综上可得：函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.
【小问2详解】
解：（i）当时，令，可得；
当时，令，可得，解得或，
因为关于的方程有三个不同的实根，则满足，解得，
所以的取值范围为.
（ii）由（i）可知，
令，所以，
可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．