黑龙江省佳木斯市第一中学2025-2026学年高三上学期第四次调研考试数学试题（Word版附解析）

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时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据交集的运算与定义可得，结合复数的除法、乘法运算即可求解.
【详解】由题意知，，
得.
故选：C
2. 已知a，，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，利用函数在单调递增检验充分必要性即可求解.
【详解】令，在上都为增函数，在单调递增，
又a，，所以，
即“”是“”的充要条件，
故选：C
3. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解.
【详解】设数列的公比为，则，即，
所以.
故选：D.
4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天.
（参考数据：，，
A. 9B. 15C. 25D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】设经过天“进步”值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解.
【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则，
所以，
故选：D.
5. 平行四边形中，，，，分别是的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性运算用表示，再利用向量的数量积运算求解.
【详解】由题，，，
.
故选：A.

6. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数与函数单调性的关系：函数的单调递增区间对应导数大于的区间，单调递减区间对应导数小于的区间.
【详解】对于函数，求导得：，
区间内存在单调递增区间，也就是在内有解，整理得在内有解，
令，其对称轴为，在区间内，
计算端点值：，
所以在上的最大值为，
因为在内有解，所以，即实数的取值范围是.
故选：C.
7. 设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状.
【详解】因为，所以，
则，因为，所以，
又，所以，
由，所以，，
所以为等腰直角三角形.
故选：D.
8. 已知函数.若函数有8个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出函数的图象并利用函数与方程的思想结合图象可知方程有两个不相等的实数根，且，再由二次函数根的分布解不等式可得a的取值范围.
【详解】根据题意对于函数可得；
当时，令，可得，
所以时，，可得在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减；
因此在处取得极小值，也是最小值；
画出函数的图象如下图所示：
令，可得，
若函数有8个不同的零点，可知方程有两个不相等的实数根，
结合图象可知，
所以需满足，解得
故选：D
【点睛】方法点睛：在求解复合函数根的个数问题时，经常利用函数与方程的思想画出函数图象并根据图象之间的交点个数来限定参数所满足的不等关系，解不等式即可得出结论.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 设向量，则下列说法错误的是（ ）
A. 若与的夹角为锐角，则
B. 的最小值为
C. 与共线的单位向量只有一个，为
D. 时，在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合向量的夹角、模长、共线单位向量、投影向量等知识点，逐一分析每个选项.
【详解】选项A，若与的夹角为锐角，则它们的点积大于0，
点积，当夹角为锐角时，，即，因此A正确；
选项B，向量的模长，
因为，所以当时，取得最小值， 因此B错误；
选项C，与共线的单位向量包括同向和反向两种情况，因此C错误；
选项D，当时，，计算在上的投影向量为，
点积， ，
因此投影向量为，而非，因此D错误.
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若的最小正周期是，则
B. 当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为
C. 当时，
D. 若在区间上单调递增，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A.根据正切函数最小正周期公式计算即可；对于B.整体代入正切函数的对称中心公式计算即可；对于C.写出函数解析式代入计算即可；对于D.整体代入正切函数的单调区间，求出关于的单增区间，再根据题意列出不等式计算出取值范围.
【详解】当的最小正周期是时，，则，故A选项正确；
当时，，所以令，，解得，，所以函数对称中心的坐标为，故B选项不正确；
当时， ，，故C选项不正确；
令，，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，，另一方面，，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确．
故选:BCD
11. 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则数列是无界的B. 若，则数列是有界的
C. 若，则数列是有界的D. 若，则数列是有界的
【答案】BC
【解析】
【分析】利用有界数列与无界数列的定义，结合放缩法与等比数列的前项和公式即可得解.
【详解】对于A，恒成立，
存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，A错误；
对于B，，，
，
，
所以存在正数，使得恒成立，
则数列是有界的，B正确；
对于C，因为，
所以当为偶数时，；当为奇数时，；
，存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，C正确；
对于D，，
；
在上单调递增，，
不存在正数，使得恒成立，
数列是无界的，D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分
12. 已知，，与的夹角为，则=________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件计算，再计算，进而得结果.
【详解】由，，与的夹角为，
则，
所以.
故答案为：.
13. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，结合奇函数的性质即可求解.
【详解】由可得，
又为奇函数，故，
故答案为：
14. 如图，已知，，为边上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于______.
【答案】##
【解析】
【分析】由题设足，考虑三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得.
【详解】
如图，不妨设,分别记的面积为,
则①②
由①，②两式左右分别相乘，可得：,故得：.
设，在中，由余弦定理，，因，则，当且仅当时，等号成立，
此时，因，故，取得最大值，此时的面积等于.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论，之后易于想到余弦定理和基本不等式求出边长和角即得.
四、解答题：本题共5个小题，每小题5分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 如图，在平面四边形中，，，，，．
（1）求边的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中利用正弦定理可得解；
（2）在中，先由余弦定理得，进而得，最后利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
在中，，
由正弦定理得．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得
．
∴．
∴．
16. 已知数列的前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数列的递推公式和，即可求出结果；
（2）由（1）求出数列的通项公式，再根据错位相减法即可求出数列的前n项和为.
【小问1详解】
因为，所以当时，，解得.
当时，，整理得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，，所以.
所以，
，
两式相减，得
，
所以.
17. 已知向量，函数.
（1）求函数的最小正周期及对称中心；
（2）在锐角中，若且，求周长的取值范围
【答案】（1）最小正周期为，对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积运算以及三角恒等变换化简得的表达式，再利用三角函数的对称性可求得结果；
（2）由结合（1）可求得，又为锐角三角形，可得，由此利用正弦定理，三角恒等变换可求得的范围，从而得解.
【小问1详解】
因为，
则，
所以最小正周期为，
由，解得，
所以的对称中心为.
【小问2详解】
由（1）及，即，
又，所以，解得，
又为锐角三角形，即，即，解，
，
又，，
，
所以周长的取值范围为.
18. 在数列中，，，且
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记，数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对恒成立，求的取值范围；
（3）证明：.
【答案】（1）数列是首项为2、公差为1的等差数列，证明见详解.
（2），证明见详解.
（3）不等式成立，证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，建立和的关系，判断是否为常数.
（2）利用，结合第一问的结果，求出的表达式从而化简，根据，求出数列的前项和，将转化为关于的函数，从而求出的最小值.
（3）利用进行放缩，对放缩后的不等式进行求和得到：，判断求和后的不等式是否成立，从而得出结论.
【小问1详解】
已知，两边平方得：，
利用三角恒等式，代入得：，
解此方程得：，
取倒数得：，
因此，是公差为1，首项为的等差数列.
【小问2详解】
由（1）得，
又，所以
，
，
，
，
则，单调递增，
故恒成立，可得.
小问3详解】
由（1）得，左边和式为：，
放缩通项：需证，
令，则不等式化为，
构造，求导得：
，
令，
递增，，不等式成立，
求和：.
19. 已知函数.
（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；
（2）将函数在区间上的极值点从小到大排列，形成数列，数列满足：，证明：
①；
②
【答案】（1）有两个极值点，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案；
（2）①根据（1）可得所在区间，根据极值点的必要条件，进一步缩小其所在区间，根据三角函数的诱导公式，将变为，使其在同一个单调区间，根据函数的单调性，可得与2大小关系，可得答案；②由①可得，进而得到当为偶数或奇数时，和与零大小关系，再根据变形即可证明.
【小问1详解】
因为，
设，则，
当时，在上单调递减，
得，在上无零点；
当时，在上单调递增，
且，在上有唯一零点；
当时，在上单调递减，
，在上有唯一零点.
综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，
故函数在区间内恰有两个极值点.
【小问2详解】
①由（1）知在无极值点；在有极小值点，即为；
在有极大值点，即为，
同理可得，在有极小值点，在有极值点，
由得，，
，
由函数在单调递增，得，
，
由在单调递减，得，
.
②同理，
，
由在上单调递减得，
所以，且，
当为偶数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，
即；
当为奇数时，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，多出最后一项也负值，
即，
综上，对一切成立，得.
又，所以，