黑龙江省佳木斯市第一中学2024−2025学年高三第三次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省佳木斯市第一中学2024−2025学年高三第三次模拟考试 数学试题（含解析），文件包含2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型原卷版docx、2026年高考数学复习知识清单全国通用专题05求递推公式之全题型培优归类21题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．若向量与向量共线，则是（ ）
A．B．C．D．
3．已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（ ）
A．B．C．16D．9
4．在某项芯片测试试验中，有5个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．9C．D．13
6．已知不等式，对恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的方程有实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高三年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ）
A．样本中层次身高的女生多于男生
B．样本中层次身高的学生人数占总人数的
C．以频率估计概率，从该地区高三学生中任取4人，恰有2人身高属于层次的概率是
D．已知样本中学生的身高情况为：男生样本平均数175，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为125
10．如图是因不慎丢失部分图象后，函数的局部图象，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是图象的一个对称中心
C．图象的对称轴方程为
D．已知，设与的图象在内的交点为，则
11．如图1所示，在四边形中，，，.如图2所示，把沿边折起，使点不在平面内，连接.则下列选项正确的是（ ）
A．当平面平面时，点到平面的距离为
B．异面直线与所成角的取值范围为
C．、分别为、的中点，在翻折的过程中，存在某个位置，使得
D．三棱锥的外接球的表面积的最小值为
三、填空题
12．已知复数满足，则的最小值为 .
13．已知函数在处的切线过点，则 .
14．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则 ．
四、解答题
15．已知，
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围.
16．如图，在四棱锥中，平面平面，，，为的中点，平面.
（1）证明：.
（2）若，求二面角的正弦值.
17．定义平面凸四边形为没有内角度数大于180°的四边形.如图，已知平面凸四边形ABCD中，，，.
（1）若四边形ABCD被对角线BD分为面积相等的两部分，且；
①求CD的长；
②若，求的值.
（2）若，求四边形ABCD面积的最大值.
18．现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．
(1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率；
(2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；
(3)记n号盒子中红球的个数为，求的期望．
19．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，，
（1）求双曲线C的方程;
（2）若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点
(i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标;
(ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，且，
则，
阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素，
则阴影部分表示的集合为.
故选D
2．【答案】B
【详解】由题意可得，
所以，
则.
故选B.
3．【答案】C
【详解】设正项等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，
所以，则，
即，解得（舍去）或，
所以.
故选C.
4．【答案】A
【详解】五个芯片的排列数为种，其中甲乙相邻的有种，所以甲乙不相邻的有72种，
绑定丙丁，再将甲乙插空有种，
所以在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由，则，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选C.
6．【答案】D
【详解】不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在唯一，使得，即，，
则时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则，即.
故选D.
7．【答案】B
【详解】
由题意，，
，
，
由正弦定理得，又，
所以，，又，
可得，所以椭圆的离心率.
故选B.
【关键点拨】根据题意求得、，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得与的关系，进而求出椭圆的离心率.
8．【答案】C
【详解】∵，∴，而，
∴当时，取到最大值，
∴.
设，，
则问题转化为关于的方程，
即在上存在根的问题.
设，，
则的图象为开口向上的抛物线在轴右侧部分（含轴），
方程的判别式，
①当时，或，此时对称轴，
则函数在有唯一零点；
②当且在有唯一零点时，
或，
解得或；
③当且在有两个零点时，设这两个零点分别为，，
则解得.
综上可知：或.
故选C
9．【答案】AD
【详解】对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为人，
样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人，
所以，样本中层次身高的女生少于男生，故A错误；
对于B，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有，
所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，故B正确；
对于C，样本中层次身高的学生人数为，
所以在抽样的样本中，任取1人，其身高属于层次的概率为，
以频率估计概率，从该地区高三学生中任取4人，恰有2人身高属于层次的概率是
，故C正确；
对于D，总体样本的平均数为，
则总体样本方差为，故D错误.
故选AD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由，以及函数的局部图象，可知该函数的周期，故A正确；
对于B，由A易得，即，由图知： ，解得，
因，则，即，当时， ，故B错误；
对于C，因函数的对称中心为，则对于函数，使，
解得，即得该函数的对称中心为，
又因函数的图象可由的图象保持轴上方图象不变，而将轴下方图象向上翻折得到，
结合函数的图象，可知函数图象的对称轴方程为，故C正确；
对于D，由上分析已得，，
由可得，
化简得： ，解得（另一根小于，舍去），
设，因，则，
作出函数在区间上的图象如图，结合的图象，
可知两者在区间上有两个交点， 为，
由图知， ，则有，解得，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】找中点，作，面，
因为，，所以，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，所以由勾股定理得，
又因，则，解得，
故，，，，
设，则，，
因,故，得，
则，，
由可得，化简得，
即点的轨迹方程是半径为的圆的一部分，
而该圆的参数方程为，，
故，则，
设平面的法向量为，则，解得，
且，令，解得，
得到，易得平面的法向量为.
对于A，当平面平面时，，此时，解得，
此时，而，，
设平面的法向量为，则，
，令，解得，，
故，而
设设点到面的距离为，则，故A正确；
对于B，由已知得，，
设异面直线与所成角为，且，
则，
而，结合余弦函数性质得，
故，由余弦函数性质解得，故B正确；
对于C，因为、分别为、的中点，
所以，，
则，令，
则，则，无解，
所以在翻折的过程中，不存在某个位置，使得，故C错误；
对于D，首先，我们来证明求解外接球半径的鳄鱼模型，
我们给定三棱锥，设分别是的外心，
设外接球球心为，是中点，连接,则，，
所以是二面角的平面角，设，
设，，连接,则面，面，
在四边形中，可得，
所以四点共圆，且设四边形的外接圆半径为，
所以，连接，由正弦定理得，设，
故，而在中，由余弦定理得，
连接，所以，则得，且
设，在直角三角形中，，
所以，即鳄鱼模型得证.
设二面角的大小为，且，
，如图，的外心为，找中点作为外心，
则由中位线性质得，得到，
此时公式变为，
若三棱锥的外接球的表面积的最小，
则其半径一定最小，由上分析可得，
而，结合正弦函数性质可得当时最小，
此时，由球的表面积公式得表面积为，
则三棱锥的外接球的表面积的最小值为，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】设，
由得，
所以，
即点是圆心为，半径为1的圆上的动点，
，表示的是点与点的距离，
所以其最小值为点到圆心的距离减去半径，
即的最小值为.
13．【答案】1
【详解】由题设，则，且，
所以处的切线为，
又点在切线上，故，可得.
14．【答案】
【详解】如图，
过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，
由M为靠近点F的的三等分点，得，
由，得，由抛物线定义知，，则，
在中，，则，
由，得，又，则为等边三角形，
因此，点P的横坐标为，设与x轴的交点为G，
直线的斜率为，
点，则直线的方程为，
由消去y整理得，，解得或，
则点N的横坐标为，轴于G，在中，．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）的定义域为，
，
令，得，
的单调递增区间是.
（2）由已知得，
则，
，则当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
若在上有两个零点，则，
，即，
即实数的取值范围为.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1），
，，
平面，平面，且平面平面，
，
为的中点，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
又，，平面，
平面，平面，
.
（2）连接，中，为的中点，则，
又，所以，为公共边，得，
则，则是等边三角形，
由（1）知，则，即.
（方法一）以为坐标原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则.
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则.
，则，
故二面角的正弦值为.
（方法二）易得，又，为公共边，
则，
又，所以平面，
则，易得.
在直角中，作，垂足为，连接，
易知，则为二面角的平面角.
在直角中，由等面积法易求得，
则在中，，
则，
故二面角的正弦值为.
17．【答案】（1）①；②；
（2）.
【详解】（1）①如图，在中，，，，
由余弦定理可得，
注意到，所以，
又，得，
即，
又因为四边形ABCD为凸四边形，，故，
则在中，由余弦定理可得，所以.
②由①，如图，以为原点，建立平面直角坐标系，
所以，，，D，则.
设，由，
得，
则，
则.
（2）在三角形和三角形中，由余弦定理得，
则，
四边形面积为：，
即，所以
，
当且仅当，即，时，取最小值，
则，
所以四边形面积的最大值为.
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）由题可知2号盒子里有2个红球的概率为；
（2）由题可知可取，
，
，
所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为
（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，
为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，
则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，
且，
化解得，
得，
而则数列为等比数列,首项为，公比为，
所以，
又由求得：
因此．
19．【答案】（1）
（2）(i)；(ⅱ)4
【详解】（1）由题意得，
所以，，
所以双曲线C的方程为
（2）设，则直线PA的方程为，
由，得，
当时，有，此时直线PA与双曲线的渐近线平行，
故直线PA与双曲线只有一个交点，舍去.
当时，有，
所以，所以，
(i)因为，，
由，得，
所以，
即点P的坐标为；
(ⅱ)直线PB的方程为，
由，得，
因为，所以，即，
所以，
当时，有，所以MN的方程为；
当时，直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
即，
所以直线MN恒过定点，
又，所以点G在以HO为直径的圆上，
所以当MN垂直于x轴时，点 G与点H重合，
所以，所以线段OG的最大值为.
1
2
3
P