精品解析：黑龙江省佳木斯市第一中学2022-2023学年高三第一次调研考试数学试题（解析版）

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佳一中2022－2023学年度高三学年第一次调研考试
数学试题
时间：120分钟 总分：150分
一．单选题（本题共8道小题，每题5分，共40分）
1. ，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式不等式和绝对值不等式的解法先求出集合与的具体取值，然后再利用交集的概念即可求解.
【详解】因为，
又因为或，
所以，
故选：D.
2. 设命题p：，使得，则为（ ）
A. ，使得 B. ，使得
C. ，都有 D. ，都有
【答案】C
【解析】
【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】为，都有.
故选：C
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；
【详解】解：对于A：当时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确；
故选：D
4. 十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意依次写出即可.
【详解】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即从左到右第四个区间为.
故选：C.
5. 设a，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得“”是“”的必要条件，反之，举出反例可得“”是“”的不充分条件，综合可得答案．
【详解】根据题意，若，则有，又由，则，
反之，若，当，时，，故不一定成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故选:B
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，对于函数，
则有，解得或.
因此，函数的定义域为.
故选：A.
7. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分析知，，函数单调递减，则也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.
【详解】显然当时，为单调减函数，
当时，，则对称轴为，
若是上减函数，则 解得，
故选：A.
8. 函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确是（ ）
A. 是偶函数 B. 是R上的减函数
C. 在上的最小值为 D. 若，则实数x的取值范围为
【答案】C
【解析】
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
二．多选题（本题共4道小题，每题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.
【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，
则，即，A错误；
不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；
，C错误；
不等式化为，即，解得或，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：BD
10. 已知函数f(x)的定义域为A，若对任意，都存在正数M使得总成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】可求每个选项函数的值域，然后求出的范围即可得出该函数是否为有界函数．
【详解】对于A：的定义域为,，令，则，
，，
不存在正数，使得总成立，不是有界函数；
对于B：的定义域为，
，所以，
存在，使得，是有界函数；
对于C：，
，
存在，使得，是有界函数；
对于D：，
由于时，单调递增，此时，
故不存在正数，使得总成立，不是有界函数；
故选：BC．
11. 以下四个命题中，说法正确的是（ ）
A. 在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好
B. 若经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位，响应变量增加1.8个单位
C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D. 成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数越接近1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据决定系数以及相关系数定义可判断AD，根据残差的定义可判断C，根据回归方程的计算可判断B.
【详解】对于A，决定系数越接近1，则拟合效果越好，由于，所以的拟合效果好，故A正确，
对于B，经验回归方程为，当解释变量x每增加1个单位时，，故响应变量增加0.8个单位，故B错误，
对于C，残差带状图区域越窄，模型拟合的精度越高，故C正确，
对于D，成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值越接近1，故D错误，
故选：AC
12. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，．下列说法正确的是（ ）
A. 3是函数的一个周期
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据可得即可确定周期求解选项A；根据为奇函数，可得即可求解选项B；根据题设条件可得即可求解选项C；利用函数的周期性和函数值可求解选项D.
【详解】对A，因为，
所以，即，
所以3是函数的一个周期，A正确；
对B，因为为奇函数，所以，
所以函数的图象关于点中心对称，B错误；
对C，因为，
所以，
即，即，
所以函数是偶函数，C正确；
对D，，
所以，
所以，D正确；
故选:ACD.
三．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）
13. 函数的单调递增区间是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.
【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，
函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，
于是得在是单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
14. 定义在R上的函数满足，且当，则＝______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据函数的周期性即可代入求解.
【详解】由可得，所以，故为周期函数，且周期为8，
，
故答案为：
15. 已知函数，求使成立的实数t的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数单调性和奇偶性得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得的定义域为，其定义域关于原点对称，
，故函数为奇函数，
当时，，
则当时，单调递增，因为为奇函数，则在上单调递增，
，即，
即，则，则.
故答案为：.
16. 已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先对关系式进行恒等变换, 进一步整理得 , 最后利用基本不等式的应用求出结果.
【详解】已知正数 满足 ,
所以 所以:
则:





，当且仅当时，取等号；
要使 恒成立, 只需满足 即可,
故 .
故答案为: .
四．解答题（本题共6道小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式化简，即可由交集为空集，分情况讨论，
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【小问1详解】
由得，
由，
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数m的取值范围为．
【小问2详解】
由已知A是B的真子集，知，且两个端点不同时取等号，解得．
由实数m的取值范围为．
18. 溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50

（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）
（2）我们认为性别与了解安全知识的程度有关
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率；
（2）根据列联表求，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设.
【小问1详解】
200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，
因此按性别进行分层抽样得：
样本中男生人数为：人，
样本中女生人数为：人，
设这3名学生中有至少一名女生为事件，则
；
【小问2详解】
根据列联表可：，
根据小概率值的独立性检验，
我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
19. 已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且．
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解，
（2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解.
【小问1详解】
，且，所以为奇函数，
将代入可得，即，所以，
即，因为，所以，代入可得，
解得，故；
，函数为奇函数，满足，故．
【小问2详解】
只要，设，则，
∵，∴，∴，即，
故函数在[1，2]上单调递增，最小值为．
法一：[1，2]上恒成立，只要，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
故当时，，所以．
法二：，，
当时，，，解得，舍去；
当时，，，解得，因此，
综上所述：．
20. 为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万
【解析】
【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.
【小问1详解】
当，时，
；
当，时，
；
综上所述：
【小问2详解】
当，时，，则当时，的最大值为650；
当，时，
（当且仅当，即时等号成立）；
∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.
21. 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
y
56.5
31
22.75
17.8
15.95
14.5
13
12.5
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.

（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中）：








0.34
0.115
1.53
184
5777.555
93.06
30.705
13.9
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
【答案】（1）
（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，
（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果
（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论
【小问1详解】
令，则可转化为，
因为，
所以，
所以，所以，
所以y关于x的回归方程为
【小问2详解】
与的相关系数为

因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，
把代入回归方程得（元），
所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元
【小问3详解】
因为，所以，
因为样本标准差为，
所以，
所以非原料成本y服从正态分布，
所以
因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因
22. 已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）求出的导函数，讨论与0的大小关系即可求解；
（2）由题意可得，设，当时，利用放缩、构造函数、求导可知满足题意；当时，证明在上有唯一的零点即可.
【小问1详解】
的定义域为，
当时，在上单调递增；
当时，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，在上单调递减．
当时，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，在上单调递减.
综上所述，时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
由题意，即为，
设，
①当时，，
设，
则，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以恒成立，即，
又，所以在上恒成立，从而在上单调递增，
因为，所以，又，所以，满足题意；
②当时，，
设，
则，
因为当时，，所以恒成立，
故在上单调递增，
设，则，
所以在上单调递增，
又，所以恒成立，即，从而，
所以当时，必有，
又，所以在上有唯一的零点，且当时，，
从而在上单调递减，结合知当时，，
所以在上不能恒成立，不合题意.
综上所述，实数的取值范围是．
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.