黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了 圆 与圆 的位置关系为．等内容，欢迎下载使用。
考生注意
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径 0.5 毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
一､选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知直线 的斜率为 ，直线 经过 ， 两点，且直线 与 垂直，则实数 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线 与 垂直，可得直线 的斜率为 ，再通过两点间的斜率公式列方程求出 m 即可.
【详解】由于直线 的斜率为 ，且直线 与 垂直，
所以直线 的斜率为 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
2. 若平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为
，则（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
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【解析】
【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断 A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量
共线计算可判断 B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断 C；根
据法向量垂直则面面垂直可判断 D.
【详解】对于 A，由 ，得 ，则 ，解得 ，故 A 错误；
对于 B，由 ，得 ，则 ，解得 ，故 B 错误；
对于 C，由 ，得 ，则 或 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，得 ，则 ，故 D 正确.
故选：D.
3. 已知 ，点 在 轴上，则 的最小值为（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 N 关于 轴对称 点为 ，再利用对称性可求得 的最小值.
【详解】设 ，则 N 关于 轴对称的点为 ，
所以 的最小值为 ；
故选：B.
4. 圆 与圆 的位置关系为（ ）．
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据 得到答案.
【详解】 ，即 ，圆心 ，半径 ，
，圆心为 ， ，
，故两圆外切.
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故选：C.
5. “ ”是方程“ ”表示双曲线的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程 表示双曲线，求得 或 ，结合充分条件、必要条件的判定方法，
即可求解.
【详解】若方程 表示双曲线，则满足 ，解得 或 ，
所以“ ”是方程“ ”表示双曲线的充分不必要条件.
故选：A.
6. 若椭圆 的弦被点 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【详解】设弦的两个端点分别为 ， ，
则 ， ，
两式相减可得 ，
所以 ，
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所以弦所在的直线方程为 ，即 .
故选：B.
7. 已知实数 满足方程 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出 的图像，设 ，问题转化为直线 和曲线有共同点时，
斜率取值范围的问题，数形结合计算即得.
【详解】 可知 ，
两边平方整理可得， ，
该方程表示的是圆心为 ，半径为 的圆的右半部分曲线，如下图：
设 ，则 是通过定点 的直线，
显然该直线通过 时，斜率 最大，最大斜率 ，
当直线和圆相切于 时，斜率 最小。
由圆心 到直线 的距离是 ，解得 ，即 ，
于是 ，即 .
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故选：A
8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 ， 在该椭圆上，四边形
是等腰梯形，且 ， ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，根据条件求得 ，由椭圆定义得 ，从而
利用 求得离心率.
【详解】设椭圆 的半焦距为 ，依题意， ，又 ，
如图，
设 ， 四边形 为等腰梯形，
，即 ， ；
由椭圆定义知， ， ，
解得 .
故选：B.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知正方体 的棱长为 1，则以下说法正确的是（ ）
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A. 直线 与平面 所成角的正切值为
B. 二面角 所成角的大小为
C. 直线 与直线 所成的角为
D. 点 到平面 的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量夹角的余弦公式与点到平面距离公式逐项计算即可得.
【详解】以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则有 、 、 、 、 、
、 、 ；
对 A：由 轴 平面 ，则平面 的法向量可为 ，
又 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
则 ，故 A 正确；
对 B： 、 ，
设平面 的法向量为 ，
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则有 ，取 ，则 ，
设二面角 所成角的大小为 ，
又平面 的法向量为 ，
则 ，
故二面角 所成角的大小为 ，故 B 正确；
对 C： 、 ，
设直线 与直线 所成的角为
则 ，
故直线 与直线 所成的角为 ，故 C 正确；
对 D： 、 、 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，取 ，则 ，
则点 到平面 的距离 ，故 D 错误.
故选：ABC.
10. 以下四个命题中，正确的是（ ）
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A. 设 ， ，动点 满足 ，则动点 的轨迹为双曲线
B. 若曲线 表示椭圆，则
C. 方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 椭圆 与双曲线 有相同的焦点
【答案】CD
【解析】
【分析】根据双曲线的定义判断 A；由曲线方程表示椭圆列不等式求参数范围判断 B；解一元二次方程，结
合双曲线、椭圆离心率的性质判断 C；根据方程直接写出椭圆、双曲线的焦点坐标判断 D.
详解】对于 A，由 ，
结合双曲线的定义易知动点 P 的轨迹为双曲线的右支，故 A 错误；
对于 B，由曲线为椭圆，则 ，解得 且 ，故 B 错误；
对于 C， ，可得 或 ，
可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故 C 正确；
对于 D，椭圆 中 ，则焦点为 ，
双曲线 中 ，则焦点为 ，
即焦点相同，故 D 正确.
故选：CD.
11. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点 ， 距离之比是常数
的点 的轨迹是圆.若两定点 ， ，动点 满足 ，则下列
说法正确的是（ ）
A. 圆方程为 B. 点 的轨迹围成区域的面积为
C. 点 的轨迹关于 对称 D. 点 在圆内
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【答案】ABC
【解析】
【分析】设点 ，结合两点间距离公式化简即可得 A；利用圆的面积公式可得 B；由直线过圆心可
得 C；将点 代入圆的方程即可得 D.
【详解】对 A：设 ，则有 ，
化简得 ，故点 的轨迹是圆 ，故 A 正确；
对 B：由点 的轨迹是圆 ，
则点 的轨迹围成区域的面积为 ，故 B 正确；
对 C：由点 的轨迹是圆 ，圆心为 ，
又直线 过点 ，故点 的轨迹关于 对称，故 C 正确；
对 D： ，故点 在圆外，故 D 错误.
故选：ABC.
三､填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若双曲线 的右支上一点 到右焦点的距离最短为 ，则双曲线为 的渐近线方程为
_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的性质得到 ，即可求出双曲线方程，从而求出渐近线方程.
【详解】双曲线 ，则 ，
又右支上一点 到右焦点的距离最短为 ，即 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以双曲线 ，则双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为：
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13. 已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则弦长 的取值范围
是________．
【答案】
【解析】
【分析】求出直线 所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围.
【详解】由直线 l： ，得直线 l 恒过定点 ，
由圆 C： ，得 ，圆心 ，半径为 ，
又 ，即点 在圆内，
当直线 l 经过圆心 时， ，
当直线 时， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为：
.
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故答案为：
四､解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 经过点 ，求满足下列条件的直线方程：
（1）直线 与直线 平行：
（2）直线 在两个坐标轴上 截距相等.
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）由平行关系可假设直线 ，代入点 即可；
（2）分别讨论直线 过坐标原点和不过坐标原点的情况，结合直线截距式和点 坐标可求得结果.
【小问 1 详解】
设直线 ，
过点 ，
，解得： ，
直线 方程为 .
【小问 2 详解】
若直线 过坐标原点，则直线方程为： ，满足题意；
若直线 不过坐标原点，可设直线 ，
，即直线 ；
综上所述：直线 方程为： 或 .
16. 已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 作圆的切线，求切线方程．
【答案】（1） ；
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（2） 或
【解析】
【分析】（1）设圆心 ，通过半径求得 ，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意设圆心 ，
因为 ，即 ，
解得 ，即 ，半径 ，
所以圆 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
当切线的斜率不存在时，则切线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过 的切线方程为 ，
即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ，
此时切线的方程为： ，即 ，
综上所述：过 的切线方程为 或 ．
17. 如图，六面体 是直四棱柱 被过点 的平面 所截得到的几何体，
底面 ，底面 是边长为 2 的菱形， ， ，
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（1）求证： ；
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得 ，由 ，结合线面垂直的判定定理与性质即可
证明；
（2）建立如图空间直角坐标系 ，利用空间向量法求面面角即可．
【小问 1 详解】
直四棱柱 中， ，则点 F 在平面 内，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又底面 为菱形，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以底面 为正方形，所以 ，由条件可求出 ，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
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则， ， ，所以
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，
因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量；
设平面 与平面 的夹角为 ，
则
所以平面 与平面 的夹角余弦值为 ．
18. 已知双曲线 的离心率为 为 上一点．
（1）求 的方程；
（2）过 的右焦点且倾斜角为 的直线 交 于 两点， 为坐标原点，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知条件建立关于 的方程组解出即可；
（2）设 ，根据条件写出直线 的方程，联立直线与双曲线方程求出 两点的
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坐标，求出 ，利用点到直线的距离公式求出 的高，代入公式求解即可.
【小问 1 详解】
由题得: ，
解得 ，
所以双曲线 的方程为： .
【小问 2 详解】
设 ，如图所示：
由题得直线 的方程为 ，
联立得： ，
整理得： ，
所以 ，
所以
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所以
又因为点 到直线 的距离为：
，
所以 的面积为 .
19. 已知椭圆 ，左右焦点分别 ， ，左右顶点为 ， ，离心率为 ，
点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 是椭圆 上的点，且以点 及焦点 ， 为顶点的三角形面积等于 ，求点 的坐标：
（3）若直线 与椭圆 交于 两点，直线 不过原点、椭圆顶点且不垂直于 轴．设直线
和 的斜率分别为 ， ，用 表示 ．
【答案】（1）
（2） 或 或 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，求出 即可.
（2）首先求出 ， 的坐标，设 ，由面积公式求出 ，再由点在椭圆上求出 ，即可得解；
（3）联立直线 与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出 .
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【小问 1 详解】
由椭圆 的离心率为 ，得 ，解得 ，
由椭圆 过点 ，得 ，解得 （负值已舍去），则 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
则 ， ，所以
设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 点的坐标为 或 或 或 ；
【小问 3 详解】
由 ，消去 整理得 ，
设点 ，则 ，
而 ，依题意 ，
所以
.
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