重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题及参考答案

这是一份重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题及参考答案，共9页。试卷主要包含了试卷由圈"整理排版等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.试卷由圈"整理排版。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求．
1．已知集合A=x|lg2xa>c D．c>b>a
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．sin2cs3an，则an单调递增
B．若an为等比数列，且an+2>an，则an单调递增
C．若an为等差数列，且a10，则Sn单调递增
D．若an为等比数列，且a10，则Sn单调递增
11．设A，B是一个随机试验中的两个事件，PA|B+PB|A=1，PA∪B=34，则（）
A．事件A，B相互独立
B．若PAB=18，则PA−PB=218
C．PAB≤PAB
D．若PA|B=PA|B，则必有PA=PB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数z满足z1+i=2+i.则在复平面内，z对应的点的坐标是 .
13．已知点A4,2，B0,3和直线l：mx−y−3m+1=0（m∈R），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是 .
14．等差数列 an 的通项公式 an=2n−5，前n项和为Sn，则数列an·Sn的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)从某企业的某种产品中随机抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数x（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品，用X表示这3件产品中质量指标值位于35,45内的产品件数，用频率代替概率，求X的分布列.
16．(15分)已知a=3cs2x,sinx,b=1,csx，函数fx=a⋅b.
(1)当x∈0,π2时，求fx的值域；
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若fA2=3,a=4，求△ABC的面积的最大值.
17．(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，△BAC与△ADC均为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ADC=90°.
(1)若E为PB的中点，求证：AE //平面PDC；
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC=2.
（i）求平面PAB与平面PDC夹角的余弦值；
（ii）求点A到平面PDC的距离.
18．(17分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，焦距等于26，离心率为32
(1)求椭圆G的标准方程;
(2)若直线y=12x+m(m≠0)与椭圆G交于M、N两点，求证：|OM|2+|ON|2为定值;
(3)记B为椭圆上顶点，过点B作相互垂直的两条直线BP，BQ分别与椭圆G相交于P，Q两点.设直线BP的斜率为k且k>0，若|BP|=|BQ|，求k的值.
19．(17分)设函数y=fx的定义域为D，其导函数为f′x，区间I是D的一个非空子集．若对区间I内的任意实数x，存在实数t，使得x+t∈D，且使得fx+t≥t+1⋅f′x成立，则称函数y=fx为区间I上的“Mt函数”．
(1)判断函数fx=csx是否为0,π上的“Mπ2函数”，并说明理由；
(2)若函数gx=x2−ax是0,2上的“M2函数”．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：∀x∈1,2，gx+2≥6lnx−1．
高三上学期11月期中数学试题参考答案
1-8CCABBDCA
9-11ABD ABC BCD
12．1,3
13．−∞,−23∪1,+∞
14．−3
15．（1）由已知得：x=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×0.020×10=25.
（2）因为购买一件产品，其质量指标值位于35,45内的概率为0.2，
所以X∼B3,0.2，所以X=0,1,2,3.
PX=0=1−0.23=0.512，
PX=1=C31×0.2×1−0.22=0.384，
PX=2=C32×0.22×1−0.2=0.096，
PX=3=0.23=0.008，
所以X的分布列为
16．（1）因为函数a=3cs2x,sinx,b=1,csx,fx=a⋅b.
所以fx=3cs2x+sinxcsx=321+cs2x+12sin2x=sin2x+π3+32，
因为x∈0,π2,2x+π3∈π3,4π3，所以sin2x+π3∈−32,1，
可得：fx=sin2x+π3+32∈0,1+32.
（2）因为fA2=sinA+π3+32=3，可得：sinA+π3=32，
因为A∈0,π,A+π3∈π3,4π3，可得：A+π3=2π3，解得：A=π3.
因为a=4,a2=b2+c2−2bccsA，可得16=b2+c2−bc.
b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号）
则16=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，即bc≤16.
S△ABC=12bcsinπ3=34bc.
因为bc≤16，所以S△ABC=34bc≤34×16=43
当且仅当b=c=4时，取等号.
因此，△ABC面积的最大值为43.
17．（1）取BC中点F，连接AF，EF，如图：
因为△BAC与△ADC均为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，∠ADC=90°.
所以四边形ABCD为直角梯形，且BC=2AD，AD⊥CD，AD=CD.
所以四边形AFCD为正方形.
所以AF//CD，CD⊂平面PDC，AF⊄平面PDC，所以AF//平面PDC；
又因为E为PB中点，所以EF//PC，PC⊂平面PDC，EF⊄平面PDC，所以EF//平面PDC，
且AF,EF⊂平面AEF，AF∩EF=F，所以平面AEF //平面PDC.
又AE⊂平面AEF，所以AE//平面PDC.
（2）因为PA⊥平面ABCD，四边形AFCD为正方形，故可以A为原点，建立空间直角坐标系，如图：
因为PA=AC=2，
所以A0,0,0，B2,−2,0，C2,2,0，D0,2,0，P0,0,2.
所以AC=2,2,0，DC=2,0,0，DP=0,−2,2，AP=0,0,2.
设平面PDC的法向量为n=x,y,z，
则n⊥DCn⊥DP ⇒ n⋅DC=2x=0n⋅DP=−2y+2z=0，可取n=0,2,1.
因为AC⊥AB，AC⊥AP，所以平面PAB的一个法向量为：AC=2,2,0.
（i）设平面PAB与平面PDC夹角为θ，则csθ=n⃗⋅AC⃗n⃗⋅AC⃗=23×2=33.
（ii）点A到平面PDC的距离为AP⃗⋅n⃗n⃗=23=233.
18．（1）由已知得c=6，
又e=32=ca,∴a=22，又b2=a2−c2=2.
所以椭圆G的方程为x28+y22=1.
（2）依题意，设Mx1,y1,Nx2,y2，
联立直线与椭圆G有y=12x+mx2+4y2=8，消元得：x2+2mx+2m2−4=0
当Δ=16−4m2>0，即m20)，
则直线BQ的方程为y=−1kx+2，
由x28+y22=1y=kx+2，消去y得1+4k2x2+82kx=0，
∴xP=−82k1+4k2，
∴|BP|=1+k2xB−xP=82k1+k21+4k2，
由x28+y22=1y=−xk+2得1+4k2x2−82xk=0,
∴xQ=82kk2+4，
|BQ|=1+1k2xB−xQ=821+k24+k2，
∵|BP|=|BQ|，
∴821+k24+k2=82k1+k21+4k2，
整理得：k3−4k2+4k−1=0，
∴(k−1)k2−3k+1=0，
∴k=1或k=3±52.
19．（1）因为fx=csx，则f′x=−sinx，
因为fx+π2=csx+π2=−sinx，π2+1⋅f′x=−π2+1⋅sinx．
又x∈0,π，所以sinx≥0，
所以fx+π2≥π2+1f′x对于任意x∈0,π恒成立．
故fx=csx是0,π上的“Mπ2函数”．
（2）（ⅰ）g′x=2x−a，
由条件得x+22−ax+2≥32x−a对任意的x∈0,2恒成立，
即ax−1≤x−12+3任意的x∈0,2恒成立．
①当x=1时，对一切a∈R成立．
②当0≤x