重庆市第一中学2026届高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.试卷由圈整理排版.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合 ，再根据交集运算求解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
，
由 ，得 ，因为 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
.
故选：C.
2. 已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】应用复数的除法化简复数，结合纯虚数的定义即可得.
【详解】 为纯虚数，
所以 ，可得 .
故选：D
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值即可.
【详解】由 .
故选：D
4. 已知某 9 个数的平均数为 5，方差为 .现又加入一个新数 5，此时这 10 个数的平均数为 ，方差为 ，
则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数与方差的计算公式进行计算即可求得结果.
【详解】∵ ，
∴ ，解得 .
故选：B
5. 在 中， 、 、 分别为边 、 、 所对的内角，若 、 、 成等比数列，则角 的范围是
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（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得到 ，再结合余弦定理、基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得： ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故选：B
6. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的前 n 项和为 ，则 成等差数列，即可得出结论．
【详解】设 ，则 ，
等差数列的前 n 项和为 ，则 成等差数列，
即 成等差数列，
公差为 ，故 ，即 ，
，
故选： .
7. 已知棱长为 1 的正方体 ，点 是棱 上的动点（含端点）， 是棱 上的动点，
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满足 ，则 的最小值为（ ）
A. 0 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量表示出 ，
进而求解即可.
【详解】如图，以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，则 ，
所以 ，
则 ，
当且仅当 时等号成立，
则 的最小值为 0.
故选：A
8. 在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的平面角为
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若 为 的中点，结合题设知 是 外接圆的圆心，进而有棱锥 的球心 在过
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且垂直于平面 的直线上，若 平面 ，在平面 内过 作 ，构建合适的空间
直角坐标系，令 并标注出相关点坐标，应用球体半径相等列方程求参数，进而得到半径，即可求
球体面积.
【详解】由题设 为直角三角形且斜边 ，若 为 中点，则 是 外接圆的圆心，
所以棱锥 ，即棱锥 的球心 在过 且垂直于平面 的直线上，
若 平面 ，则球心 在直线 上，在平面 内过 作 ，如图示，
由 ，则 ，所以 是二面角 平面角的补角，为 ，
又 ， ，可得 ，
构建空间直角坐标系 ，设 ，且 ，
所以外接球半径 ，则 ，可得 ，
所以外接球半径 ，其表面积为 .
故选：B
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项是符合题目要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知圆 ，直线 ，则（ ）
A. 直线 与圆 相交
B. 直线 过定点
C. 圆 被 轴截得的弦长为
D. 当圆 被 截得的弦长最短时， 的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线与圆 相关知识和位置关系进行逐项求解即可.
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【详解】对于 A：将直线 变形为 ，则有
，解得 ，所以直线过定点 ，
而 ，所以该定点在圆 的内部，所以直线 与圆 相交，A 正确；
对于 B：将直线 变形为 ，则有
，解得 ，所以直线过定点 ，B 错误；
对于 C：因为圆心 到 轴的距离为 1，所以该圆被 轴截得的弦长为 ，C 正确；
对于 D：由 B 可知直线过定点 ，所以当圆被直线 截得的弦长最短时， .
因为 ，所以直线 与 轴平行，
所以 ，那么此时直线 的方程为 ，所以 D 正确.
故选：ACD.
10. 成语“五脊六兽”源于中国古建筑结构的一种形式，“五脊”指屋顶一根水平放置的正脊加上四条倾斜
放置的垂脊，如左图所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如右图所示.在
结构示意图中，已知四边形 为矩形， ， ， 与 都是边长为 2
的等边三角形，则下列说法正确的有（ ）
A. 几何体 的表面积为
B. 几何体 的体积为
C. 一只蚂蚁经几何体 的表面（不含底面 ），从 到 的最短距离为
D. 直线 与面 所成角的正弦值为
【答案】AC
【解析】
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【分析】对 A，由题求出等腰梯形 的高，分别计算各个表面的面积得解；对 B，几何体 被
分割成两个全等的四棱锥 ， 和直三棱柱 ，计算得解；对 C，将侧面
与 沿 展开铺平，易判断构成平行四边形 ，求出 ，得解；对 D，由题得
即是直线 与平面 所成角，求解判断.
【详解】如图 1，过点 分别作 ， ，垂足分别为 ，
过点 分别作 ， ，垂足分别为 ，连接 .
对于 A，由 ， ，四边形 为矩形， 与 都是边长为 2 的等边三
角形，
所以四边形 和 为全等的等腰梯形，
所以 ，则 ，同理 ，
所以几何体 的表面积
，故 A 正确；
对于 B，如图 1，过点 作 ，垂足为 ，
因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
平面 ， ，所以 平面 ，
，
由题几何体 被分割成两个全等的四棱锥 ， 和直三棱柱 ，
所以几何体 的体积 ，故 B 错
误；
对于 C，如图 2，由 ， ， ，得 ，
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所以 ，又 ，
将侧面 与 沿 展开铺平，则构成平行四边形 ，
此时线段 长即从点 到 的最短距离， ，故 C 正确；
对于 D，如图 1，由 平面 ，连接 ，则 即是直线 与平面 所成角，
所以 ，则 ，故 D 错误.
故选：AC.
11. 设首项为 1 的数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A.
B. 是等比数列
C. 是单调递增数列
D. 若 ，则正整数 的最小值为 19
【答案】BCD
【解析】
【分析】由递推公式依次计算可求出 ；分 为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进
而利用分组求和法及等比数列求和公式求 为偶数、奇数时的前 项和，再结合单调性确定 的值即可．
【详解】由 ，得 ， ， ，
， ，A 错，
当 为偶数时， ，则 ，又 ，
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此时 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 ， ；
当 为奇数时， ，则 ，又 ，
此时 是首项为 4，公比为 2 的等比数列，则 ， ，B 对，
综上， ， 且 ，
则 ，且 ，
所以 是单调递增数列且各项均为正，则数列 单调递增，C 对，
当 为奇数时，
，又 ，
当 为偶数时，
，又 ，
所以正整数 的最小值是 19，D 对.
故选：BCD
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 .
故答案为：
13. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ， ， ，则角 A 的角平分线
______.
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【答案】
【解析】
【分析】运用正弦定理和两角和差公式求解.
【详解】
由正弦定理得 ， 都是锐角，
， ，
，
在 中，由正弦定理得： ；
故答案为： .
14. 在平面直角坐标系 中，已知点 和 ，定义 为“曼哈
顿距离”.若 ， 且 ，则点 的轨迹所围成图形的面积为______；若 为圆
上任意一点，则 最大值是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据已知有 ，应用分类讨论去绝对值求出动点的轨迹，进而得到面
积，数形结合判断 最大对应点 的位置，再应用点线距离公式、圆的性质求距离最大值.
【详解】由题设 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
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当 时， ，
由 ，可得 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，
由 ，可得 ，则 ，
所以点 轨迹所围成图形如下图示，
轨迹是边长为 的正方形，故其面积为 8，
由图及以上分析知，直线 上的线段 存在点 到圆 上点的距离最大，
由 的圆心为 ，半径 ，则 到 的距离为 ，
而 到 的距离为 ，到 的距离为 ，显然 ，
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综上，线段 上到圆上点的最大距离 .
故答案为：8，
四、解答题（共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 如图，记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 的值；
（2）设边 的中点为 ，若 ，求 的面积.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由三角形中 ，结合已知整理得 ，即可得角的大小；
（2）作 ，垂足为 ，设 ，再用 表示出 、 ，应用勾股定理构建方程求参数，
进而求相关边长，即可求面积.
【小问 1 详解】
在 中 ，代入
所以 ，即 ，又 ，则 ；
【小问 2 详解】
如图，作 ，垂足为 ， ，
为 中点，设 ，因为 为 中点，所以 ，
中 ， ，所以 ，
在 中 ， ， ，
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由勾股定理得 ，
， ，则 .
16. 记 为数列 的前 项和，且 ， ，其中 .
（1）证明： 为等差数列，并求出数列 的通项公式；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）由递推关系式化 为 ，整理得 是等差数列，并求通项公式即可；
（2）分离参数得 ，构造数列 ，则只需求其最小项，即可.
【小问 1 详解】
由已知得 ，两式相减并化简得 ，
两边同时除以 得 ，
所以数列 为常数列，亦即为公差为 0 的等差数列.
首项为 ，则 ，即 .
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【小问 2 详解】
由（1） ，
所以 ，
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
，
，则 .
所以实数 的取值范围为 .
17. 刍薨（chúméng）是中国古代数学名著《九章算术》中记载的一种几何体，书中提到其：“下有袤有广，
而上有袤无广.”可翻译为：“底面有长有宽，为矩形；顶部只有长没有宽，为一条棱.”如图，在刍薨
中，四边形 是正方形，面 面 ，
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ， .下面三个条件：① ，②平面 平面
，③平面 平面 中，只有一个能确保这样的刍薨 存在且唯一.请你先选出此
条件（不用说明理由），并据此求出面 和面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）选条件②，
【解析】
【分析】（1）由 ， 即可求证；
（2）由①或③，得到四边形 不为等腰梯形，故选②，通过建系，求得平面法向量，代入夹角公式即
可求解.
【小问 1 详解】
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证明：在正方形 中， ， 不在平面 内， 在平面 ，
平面 .
又因为 在平面 ，平面 平面 ，
所以 .
在正方形 中， ，所以 .
【小问 2 详解】
由（Ⅰ）知 ，又 ， ， ，
所以四边形 为等腰梯形.
若选条件①： ，又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ；而 平面 ，所以 ，
此时四边形 不为等腰梯形，故条件①不符合；
若选条件③：平面 平面 ，又平面 平面 ， ，
平面 ，而 平面 ，
，此时四边形 不为等腰梯形，故条件③不符合；
应选条件②：平面 平面 ；
过点 作 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，
如图，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
在四边形 中， ， ， ，
所以 ， ，在 中， ， ，所以 .
在 中， ， ，所以 .
所以 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则 ，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，
设平面 和平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 和平面 的夹角的余弦值为 .
18. 重庆一中为培养学生综合能力，积极开展围棋选修课，甲、乙两位同学进行围棋对弈训练，已知甲赢下
第一局的概率为 ，且每位同学在前一局已经获胜的条件下，继续赢下后一局的概率都为 .如此重复进
行，每局比赛都无平局.
（1）求甲同学第 2 局获胜的概率；
（2）记甲同学第 局获胜的概率为 （ ）.
（i）求 的表达式；
（ii）若存在正整数 ，使 成立，求整数 的最小值.（参考数据 ，题中 是
自然对数的底数）
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可；
（2）（i）由题意得 时， ，从而可求出 ；（ii）由题意得
，令 ，利用导数可判断 在 上递减，则问题转化为
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求 的最大值，进而可求得答案.
【小问 1 详解】
由题意，甲前 2 局都赢的概率为 ，
甲输第 1 局且赢第 2 局的概率为 ，
所以甲第 2 局获胜的概率为 .
【小问 2 详解】
（i）记事件 ：“在第 局获胜的条件下，第 局也获胜”，则 ，
事件 ：“在第 局落败的条件下，第 局获胜”，则 ，
由全概率公式可得，当 时， ，
即 ，又 ，
所以 是首项和公比都为 的等比数列，所以 ，则 .
（ii）原条件等价于 ，
令 ，则 ，
易知 在 上单调递减且 ，所以 时 ，
则 上单调递减，显然 ，
因此 的最小值是在 最大时取得， 为奇数时， ；
为偶数时， ，此时单调递减，所以 ，
综上， 的最大值为 ，所以 .
因为 在 上单调递减，所以 ，
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而 ， ，
综上所述 ，所以满足 的整数 的最小值为 .
19. 已知关于坐标旋转的结论：在平面直角坐标系 中，将任意向量 绕原点 ，沿逆时针
方向旋转 角，会得到向量 .
（1）将 绕着原点 沿逆时针方向旋转 后得到 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 为曲线 上任意一点，将 绕着原点 沿逆时针方向旋转 后得到 ，记 点的轨迹曲
线为 .
（i）求 的方程；
（ii）若等腰直角 的三个顶点均在曲线 上，求 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）（i） （ii）
【解析】
【分析】（1）由坐标旋转的定义列式求解；
（2）（i）设 和 ，由坐标旋转的定义可得 ，结合点 在曲线
上，代入运算得解；
（ii）将 的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线 的内接等腰直角三角形面积的最小值的问
题，写出面积表达式，再利用导数即可求出最小值.
【小问 1 详解】
设 ， ，
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则有 ，
所以 .
【小问 2 详解】
（i）设 和 ，且 ， ，
则
，
则 ，
在曲线 上，
，将 ， 的表达式代入化简得 ，故 的方程为 .
（ii）由（i）知 的内接等腰 面积的最小值，等于曲线 的内接等腰 面积的最小值.
如图，设 为直角顶点， ， ，
则 ，
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则 斜率 ， 斜率 ，
， ，即 … ，
， ，化简得：
，
即 ，显然 ，
所以 ，
将 式代入得 … ，易知 ，
将 式和 式代入 式得
，
令 ，则 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以曲线 的内接等腰直角三角形面积的最小值为 .
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