重庆市第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设随机变量 服从正态分布 ，则 的值为（ ）
A. 7 B. 14 C. 21 D. 28
3. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，则命题“p 且 q”为真命题
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
D. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
4. 设函数 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：℃）满足函数关系 ，其中 k 为常数
.若该食品在 20℃的保鲜时间为 48 小时，则在 30℃的保鲜时间是（ ）
A. 20 小时 B. 24 小时 C. 28 小时 D. 32 小时
6. 已知甲乙丙 3 名同学从学校的 2 个科技类社团，2 个艺术类社团，1 个体育类社团中选择报名参加，每人
只能报名参加一个社团，则有人报名参加体育类社团且仅有一人报名科技类社团的概率为（ ）
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A. B. C. D.
7. 已知函数 的极大值小于 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知关于 的方程 有两根为 满足 ，若
，满足 ，则函数 在 的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 的展开式中，则（ ）
A. 的系数为-9 B. 第 3 项与第 4 项的二项式系数相等
C. 所有项的二项式系数和为 32 D. 所有项的系数和为 32
10. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 在椭圆 上，则（ ）
A. B. 的面积为 2
C. 椭圆 离心率为 D. 的内切圆半径为
11. 已知函数 ， 的图象与直线 分别交于 A、B 两点，则（ ）
A. 最小值为
B. 使得曲线 在 A 处 切线垂直于曲线 在 B 处的切线
C. 使得曲线 在 A 处的切线平行于曲线 在 B 处的切线
D. 曲线 与曲线 的公切线有 2 条
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
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12. _____.
13. 已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为_______.
14. 设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则
______.
四、解答题：共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第 百分位数（即下四分位数）与第 百
分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成
四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边
对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图 1 所示.
已知 A，B 两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图 2 所示.
（1）据统计，两个班级中高于 分的共 人，其中 A 班 人，B 班 人，从中抽取 人作学习经验分享，
设这 人中来自 B 班的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望.
（2）在两个班级中随机抽取一名学生，该生的分数大于 分的概率是多少?
16. 已知 ，函数 ， .
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
17. 如图，在椭圆 中， ， 分别为椭圆的左、右焦点，B、D 分别为椭圆的左、右
顶点，A 为椭圆在第一象限内的任意一点，直线 交椭圆于另一点 C，交 y 轴于点 E，且点 、 三等
分线段 .
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（1）求 a 的值；
（2）设 ， ，已知 ，求直线 的斜率.
18. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有 只
白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 ，被感染的白鼠数用随机变量 X 表示，假设每只白鼠是否
被感染之间相互独立
（1）若 ，求数学期望 ；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 与参数
的取值有关.团队 A 提出函数模型为 ，团队 B 提出函数模型为
.现将 100 只接种疫苗后的白鼠分成 10 组，每组 10 只，进行实验，随机变量
表示第 组被感染的白鼠数，将随机变量 的实验结果
绘制成频数分布图，如图所示.
（i）试写出事件“ ”发生 概率表达式（用 表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 时使得概率 最大，称 是 的最大似然
估计.根据这一原理和团队 A，B 提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出 的最大似然估计，并
求出最大似然估计.参考数据： .
19. 若函数 满足“定义域内任意的 ，都有 ”则称函数 具有“广义对称性”，
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已知函数 .
（1）判断 是否具有“广义对称性”；
（2）若 有 3 个零点 ， ， ，其中
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）设 为 的所有极值点，证明： .