重庆市第十一中学教育集团2026届高三上学期第四次质量检测数学试卷（Word版附解析）

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2025.11
注意事项：
1．本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知 是虚数单位，则复数 的共轭复数 （ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法和除法运算及共轭复数的定义即可求得.
【详解】因为 ，所以复数 的共轭复数 .
故选：D
2. 已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合 ，根据交集的概念以及真子集的个数结论求出.
【详解】 ，得 ，则 ，
则 ，其真子集个数为 .
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故选：C
3. 已知 ， 为两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】在正方体中举反例可判断选项 ACD；对于选项 B：利用线面垂直的性质定理可判断.
【详解】对于 A：在正方体 中，平面 平面 ，
直线 平面 ，直线 平面 ，但 与 为异面直线，故选项 A 错误；
对于 B：利用线面垂直的性质定理可直接得到，故选项 B 正确；
对于 C：在正方体 中， 平面 ，且平面 平面 ，
但 平面 ，两者不平行，故选项 C 错误；
对于 D： 正方体 中，平面 平面 ， 平面 ，
但 平面 ，两者不平行，故选项 D 错误.
故选：B
4. 几何证明中的“终极优雅”是通过极简的图形构造等方式，让复杂定理在几何图形中展现．如图所示的
矩形便能达到正弦和余弦的二倍角公式的“终极优雅”证明，根据图中条件可推导 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意、结合直角三角形中三角函数的定义，准确化简，即可求解.
【详解】在 中，因为 ,可得 ,
在直角 中，可得
在直角 中，可得 ,
所以 .
故选：C.
5. 已知函数 奇函数，则 （ ）
A. －1 B. 1 C. 0 D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数定义结合余弦函数的诱导公式计算求参即可
【详解】因为函数 为奇函数，
所以
，
所以 ，即得 恒成立，
所以 .
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故选：B.
6. 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. 20 D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】 ，
其展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
而 的展开式的通项公式为：
，
令 ，则 的展开式中 的系数为:
,
故选：A.
7. 若数列 满足 （ 且 ），则称 为“对数 m 底数列”．已知正项数列
是“对数 2 底数列”且 ，则当 且 时， （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义 ，即 ，再利用累乘，平方后再由 根据递推关系可得答案.
【详解】因为正项数列 是“对数 2 底数列”所以 ，所以 ，
所以 ， 且
以上式子相乘得 ，所以 ，
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所以 ，得 ，
且 ，则 ，所以 ， ，
故 .
故选：A.
8. 已知函数 ，若 图象上存在两点 P，Q，使得 （其中 O 为坐标原
点），则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 的定义域为 ，题意可转化为 在 上有解，从而 ，利用
导数求最小值即可得解.
【详解】 定义域为 ，
，
令 得
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时， 取得最小值， .
因为 图象上存在两点 P，Q，使得 ，
所以 在 上有解
所以 ，即 ，解得 .
故选：A.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分．
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9. 如图，函数 的部分图象与坐标轴分别交于点 ，且 的面
积为 ，则（ ）
A. 在 上单调递增
B. 的对称中心是
C. 点 的纵坐标为
D. 的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据周期求得 ，利用面积公式求得 判断 C；进而利用 求得解析式，利用整体法求
得单调递增区间判断 A；求得对称中心判断 B；解不等式 判断 D.
【详解】最小正周期 ，故选项 C 正确；
由 ，
令 ，
当 时， 单调递增且 ，此时 单调递增，
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在 上单调递增，故选项 A 正确；
，
所以函数 的对称中心为 ，故选项 B 错误；
，故选项 D 正确.
故选：ACD.
10. 中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位
同学共 3 人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ）
A. 3 人选择的作品均不同的方法总数为 24
B. 恰有 2 人选同一部作品的方法总数为 27
C. 恰有 1 人选《红楼梦》的概率是
D. 若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解.
【详解】首先分析总情况：3 人每人选 4 部作品中的一部，总方法数为 种.
对于 A 选项，3 人选择的作品均不同的方法总数为 ，故 A 选项正确.
对于 B 选项,恰有 2 人选同一部作品:先选重复的作品，再选这 2 人，最后第 3 人选剩下的 3 部之一，方法
数为 ,故 B 选项错误.
对于 C 选项,恰有 1 人选《红楼梦》：先选这一人，另外 2 人从剩下 3 部中选，方法数为
，概率为 ,故 C 选项正确.
对于 D 选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有 4 种选择，总情况为 种，
“至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为 ，
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所以概率为 ,故 D 选项正确.
故选：ACD.
11. 已知正方体 的棱长为 ，点 E，F 分别是棱 BC， 的中点，下列选项中正确的
是（ ）
A. 直线 EF 与 所成的角为
B. 若点 P 满足 ，其中 ，则棱锥 的体积为定值
C. 用一张正方形的纸把正方体 完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形
纸的面积的最小值为 96
D. 为球心，4 为半径作一个球，则该球面与三棱锥 表面相交的交线长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，通过 即可求解；对于 B，通过 P 点在线段 上， 即可判断；
对于 C，由正方体 侧面展开图可以看出五个边长为 的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一
个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，计算其面积即可判断；对于
D，由 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以 为圆心，圆心角为 以 4 为半径的
圆弧， 是直角三角形，球面与这个面的交线是以 B 为圆心，圆心角 ，半径为 2 的圆弧，
是等边三角形，球面与这个面的交线是以 为圆心，圆心角 ，半径为 4 的圆弧，进而可求解.
【详解】
对于 A，连接 因为 E，F 分别是棱 BC， 的中点，所以
所以直线 EF 与 所成的角为
因为几何体 是正方体，所以 为等边三角形，
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所以 ，即直线 EF 与 所成的角为，故 A 错误；
对于 B，因为 ，其中 ，所以
，
所以 ，所以 P 点在线段 上 ，
又因为 与 平行， 平面 平面 ，
所以 P 到平面 的距离为定值，三角形 的面积为定值，
所以 为定值.故 B 正确；
对于 C，
由正方体的侧面展开图，结合上图可以看出五个正方形及上下左右四个三角形组成一个正方形，
可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求正方形，
对角线长为 ，所以面积为 ，故 C 正确；
对于 D，因为 是直角三角形，球面与这两个面的交线和为以 为圆心，
圆心角为 以 4 为半径的圆弧，其弧长为 ，
是直角三角形，球面与这个面的交线是以 B 为圆心，圆心角 ，半径为 2 的圆弧，
其弧长为 ，
是等边三角形，球面与这个面的交线是以 为圆心，圆心角 ，半径为 4 的圆弧，
其弧长为 ，
所以球面与三棱锥 表面的交线长为 ，故 D 正确.
故选：BCD.
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三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 记等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ______．
【答案】36
【解析】
【分析】列出 的方程组，求出其值，再根据等差数列的前 项和公式求出.
【详解】设等差数列的公差为 ，则由题意得， ， ，
得 ，
则 .
故答案为：
13. 在等腰梯形 中， ， ， ，该梯形绕直线 旋转一周形成
的面围成的几何体体积为______．
【答案】
【解析】
【详解】根据题意，得到几何体为一个圆柱挖去两个圆锥，结合圆柱和圆锥的体积公式，即可求解.
【点睛】如图所示，因为等腰梯形 中， ， ， ，
将等腰梯形 绕直线 旋转一周，得到如图所示的组合体，
过 作 ，过 作 ，垂足分别为 ，可得 ，
设 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即圆锥和圆柱的半径为 ，
设圆柱 ，圆锥 和 的体积分别为 ，
则圆柱 的体积 ,
圆锥 和 的体积为 ，
所以将梯形 绕直线 旋转一周，所得几何体的体积为 .
故答案为： .
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14. 在 中， ，它的面积是 10， ，E，F 分别在 AB，AC 所在的直线
上，且满足 ， 对任意 ， 恒成立，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积求得 ，根据题意分析可得 ， ，再由 ，
结合三角形 和三角形 面积公式，推出 和 ，最后根据向量数量积的定义式即可
求得.
【详解】因为 ，则 ，且 ，
又因为 的面积为 10，则 ，解得 ，
由图知 表示直线 上一点到点 的向量，
而 则表示直线 上一点到点 的距离，
由 对任意 恒成立可知， 的长是点 到直线 上的点的最短距离，
此时 ，同理可得 ，则 ，
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可得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ， ．
（1）若对任意 ， 恒成立，求实数 m 的取值范围；
（2）判断 的极值点个数并说明理由．
【答案】（1）
（2） 有且仅有一个极值点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）化简恒成立的不等式可得 ，由 可得 取值范围；
（2）令 ，利用导数可知 单调递减，结合零点存在定理可得 存在唯一零点，进而
得到 单调性，根据极值点定义可得出结论.
【小问 1 详解】
在 上恒成立，
在 上恒成立，
当 时， 在 上取得最大值 ，
，即实数 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
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由（1）知： ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，则 ，
在 上单调递减，又 ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述： 在 上单调递增，在 上单调递减，
有且仅有一个极值点.
16. 某商场在双十一期间举办优惠促销活动，顾客消费满 500 元（含 500 元）可抽奖一次，抽奖方案有两种
（顾客只能选择其中的一种）．
方案 1：从装有 3 个红球，2 个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出 3 个球．每摸
出 1 次红球，立减 100 元，若 3 次都摸到红球，则额外再减 100 元（即总共减 400 元）；
方案 2：从装有 3 个红球，2 个黑球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出 3 个球．中奖
规则为：若摸出 3 个红球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球，则打 5 折；其余情况无优惠．
（1）顾客小明选择抽奖方案 2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）顾客小红恰好消费了 500 元，试从实付金额的期望值角度，分析他选择何种抽奖方案更合理．
【答案】（1） ；
（2）选择方案 1 更合理，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）设他第一次摸出红球为事件 A，他能够享受优惠为事件 B，分后两次取得 1 个红球或两个红球
两种情况可得 ，然后由条件概率公式可得答案；
（2）分别写出两种方案下实付金额对应期望，即可得答案.
【小问 1 详解】
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设他第一次摸出红球为事件 A，则 .
设他能够享受优惠为事件 B，剩余球为 2 红 2 黑，
则他第一次摸出红球，剩下两球均为红色的情况有 种，
他第一次摸出红球，剩下两球为 1 红 1 黑的情况有 种，
则 ，则他第一次摸出红球，他能够享受优惠的概率为：
；
【小问 2 详解】
若选方案 1，设实付金额数为 ，则 的可能值为 .
注意到有放回地摸到一次红球的概率为 ，摸到一次黑球的概率为 ，
则 ， ，
， .
则 ;
若选方案 2，设实付金额数为 ，则 的可能值为 .
由（1）可得无放回摸出三球的情况有 种，
则 ， ，
，
则 .
因 ，则他选择方案 1 更合理.
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17. 已知 为数列 的前 n 项和，且满足 ， ， ，数列 的
前 n 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式及 的前 n 项和 ；
（2）是否存在正整数 m，n（ ），使得 ， ， 成等比数列？若存在，求出所有的 m，n 的值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据 与 之间的关系分析可知数列 为等差数列，即可求通项公式，再通过裂项相消
法求出数列 的前 项和；
（2）根据题意等比中项整理可得 ，然后求解 的值.
【小问 1 详解】
因为 ，则 ，
当 时，则 ，
两式相减可得 ，
整理可得 ，即 ，
可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
所以 .
又因为 ，
所以 .
【小问 2 详解】
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若存在正整数 ，使得 成等比数列，
则 ，即 ，
整理可得 ，解得： ，
因为 且 ，可得 ，
故存在正整数 ，使得 成等比数列．
18. 在正三棱台 中， ，Q 是 AC 的中点．
（1）求证： 平面 .；
（2）若 ，求直线 AC 与平面 所成角的正弦值；
（3）若一只电子猫从点 出发，每次等可能地沿着棱去向相邻的另一个顶点，设在 次运动后电
子猫仍停留在下底面 的概率为 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得 且 ，得到四边形 为平行四边形，得到
，结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）取正三棱台的上下底面的中心为 和 ，以 坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，
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求得 和平面 的法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）设下底面 为集合 ，上底面 为集合 ，求得相应的概率，设 为 次移动后在 的概率，
得到 ，且 ，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【小问 1 详解】
证明：在正三棱台 中，可得 ，
因为 ， 是 的中点，可得 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
解：取底面正 的中心为 ，上底面正 的中心为 ，
以 坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，以过 点垂直于平面 的直线为 轴，建立空间
直角坐标系，如图所示，
设 ，且 ，可得 ，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
又由向量 ，
设直线 与平面 所处的角为 ，则 ，
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所以直线 AC 与平面 所成角的正弦值 .
【小问 3 详解】
解：电子猫从点 出发，每次等可能移动到相邻顶点，
设下底面 为集合 ，上底面 为集合 ，
可得从任意 顶点，移动到 的概率为 ，移动到 顶点的概率为 ，
从任意 顶点，移动到 的概率为 ，移动到 顶点的概率为 ，
设 为 次移动后在 的概率，则 ，
当 时， ，
可得 ，即 ，
所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以在 次运动后电子猫仍停留在下底面 的概率为 .
19. 造型 可以看作图中曲线 C 一部分，已知 C 过坐标原点 O，且 C 上的点满足横坐标大于 ，到点
的距离与到定直线 的距离之积为
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（1）求 a 的值;
（2）当点 在 C 上时，求证：
（3）如图，过点 F 作两条互相垂直的弦，分别交曲线 C 于 ， ， ，
，其中 ，求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据曲线 C 上的点满足的条件，结合 可求 a 的值；
（2）当点 在 C 上时，方法一：利用 解不等式求解；方法二：
利用 求解；方法三：设点 P 在 x 轴与直线 上的射影分别为 Q，R，利
用 求解即可.
（3）讨论直线 的斜率，当斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ，其中 ，利用弦长
公式，三角形面积公式可得 ，再结合换元法以及三角函有界性可求
四边形 面积的最小值.
【小问 1 详解】
因为 O 在曲线上，所以 O 到 的距离为 ，而 ，
所以有 ，即
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【小问 2 详解】
方法一：因为 ，所以曲线 C 的方程为 ，
可化为 ，即 ，
因此 ，
所以 ，当且仅当 且 时取等号.
方法二：同上曲线 C 的方程为 ，
因此 ，
所以 ，当且仅当 且 时取等号.
方法三：如图设点 P 在 x 轴，直线 上的射影分别为 Q，R，
则根据定义 ，
因此 ，即 ，
所以 ，当且仅当 且 时取等号.
【小问 3 详解】
由 ，得
当其中一条直线的斜率为 0 时，另一条直线的斜率不存在，此时
当两条直线斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的斜率为 k，倾斜角为 ，由对称性不妨设 ，
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，则直线 AB 的方程为 ，其中 ，直线 的方程为 ，
联立
化简得到 ，
所以
则 ，
故 ，
，
同理 ，所以 ，
令 ，
令 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 在 上单调递增，当 ，即 时， ，
此时 ，
综上所述四边形 面积的最小值为
【点睛】方法点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定
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义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数
的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
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