安徽省安庆市2023_2024学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份安徽省安庆市2023_2024学年高一数学上学期期末试题含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再利用交集的定义可求.
【详解】或，故，
故选：C．
2. 函数的零点所在区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理进行求解即可.
【详解】由条件知函数在上单调递增，
又，，
根据零点存在性定理知该函数的零点所在区间为，
故选：B
3. （）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】C
【解析】
分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.
【详解】，
故选：C．
4. 命题“”为真命题，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求解出函数在区间上的最小值，然后根据恒成立条件得出结果.
【详解】解：因为命题“”为真命题，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，，
所以只需.
故选：A．
5. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（）
AB. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.
【详解】依题意，该扇面的面积为.
故选：B
6. 已知定义在R上的函数满足，则（）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用赋值法进行求解即可.
【详解】在中，
令，得，
令，得，
令，，解得：，
故选：A
7. 已知，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合对数函数的单调性计算即可得.
【详解】由条件知，
，因此.
故选：B．
8. 已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知不等式化为，结合函数在上单调性，即可判断各选项的正误.
【详解】由题意得原不等式可化为，因，
所以在上恒成立，
又函数在上单调递增，且，
当时，；当时，．
于是且，于是，，，
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知实数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A由对数的真数大于0可以排除；B由二次函数的性质可得；C由简单幂函数的性质可得；D可通过简单例子进行排除.
【详解】因为，所以b的正负无法判断，所以A可能无意义；
，故B正确；
由于为定义域R上的单调递增函数，又因为，所以，
所以，故C正确；
当时，，但是，故D错误；
故选：BC.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）
A. B.
C. 点是函数图象的一个对称中心D. 直线是函数图象的一条对称轴
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图象即可求出三角函数的解析式，则AB可解；将代入函数的解析式即可验证C选项；将代入函数的解析式即可验证D选项.
【详解】根据图象和题目条件可知，，
所以，解得，A正确；
将代入，可得，解得，B正确；
所以，
令得，， C错误，
令得，，故是函数的一条对称轴，D正确，
故选：ABD．
11. 已知表示不超过的最大整数，则下列关于函数的判断，其中正确的是（）
A. 函数是以为周期的周期函数B. 函数的最大值为
C. 函数在上单调递减D. 当时，
【答案】AD
【解析】
【分析】根据周期函数的定义判断选项A的正确与否；取特殊值可判断出选项B的正确与否；根据函数定义可判断出选项C的正确与否；由函数的周期和选项C的结论得出选项D的正确性.
【详解】选项A：因，，
所以，于是函数是以为周期的周期函数，选项A正确；
选项B：由函数周期可得，只需考虑的情况，
而，所以选项B错误；
选项C：当时，，所以，
则，此时函数是常数函数，所以选项C错误；
选项D：根据周期性以及选项C的结论，可知当时，，所以选项D正确．
故选：AD.
12. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）
A. 为奇函数，为偶函数
B.
C. 函数在上的最小值为1
D. 函数在R上只有一个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数的奇偶性即可验证A；由题干给的定义式进行化简即可验证B；由基本不等式即可验证C；由题干给的定义式，结合换元法求解零点可得D.
【详解】，定义域为，，所以为奇函数，
，定义域为，，所以为偶函数，故A正确；
，B错误；
因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确；
由题意得：
令，结合C选项可得，
于是由，得，解得或（舍去），于是，
因此函数在上只有一个零点，D正确，
故选：ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据分段函数性质，直接代入计算即可.
【详解】因，所以，
故答案为：1.
14. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解.
【详解】由已知，不等式的解集为，
故，且，为方程的两根，
所以，解得，故不等式为，
即，解得或.
故答案为：．
15. 若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】时，结合正弦函数的图像和性质，确定的范围，由不等式求解的取值范围.
【详解】因，，所以，
因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得．
则的取值范围是.
故答案为：
16. 已知且，则的最大值为______，最小值为______．
【答案】 ①. ②. ##0.4
【解析】
【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】由,可得，
当且仅当，即时取到等号,
即的最大值为；
，可得，
当且仅当，即或时取到等号，
即的最小值为；
故答案为：；
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，解集合中的不等式，求集合中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求；
（2）由题意，集合是集合的真子集，分类讨论解集合中的不等式，由包含关系求实数的取值范围．
【小问1详解】
当时，，
，
所以．
【小问2详解】
因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集．
当时，，所以只需，解得；
当时，是集合的真子集，符合题意，
综上所述，实数取值范围是．
18. 已知，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦二倍角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据诱导公式，结合辅助角公式进行求解即可.
【小问1详解】
由题意可知，，
展开整理可得，
即，
解得（舍去）.
因为，所以．
【小问2详解】
．
19. 已知幂函数是定义在R上的偶函数．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．
【答案】（1）
（2）当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为7
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式；
（2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.
【小问1详解】
根据题意可得，即，
所以，解得，
又函数是定义在R上的偶函数，
所以，即函数的解析式为．
【小问2详解】
由（1）可知
因，所以，
所以当，即，函数的最小值为；
当时，，函数的最大值为7．
20. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且使成立的的最小值为．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设函数，求函数的最大值．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）由图象平移得的解析式，根据已知得函数周期求出，整体代入法求单调递减区间；
（2）由解析式，通过换元，利用基本不等式求最大值.
【小问1详解】
由题意可知，
于是函数最大值为1，最小值为，
根据使成立的的最小值为，则是相邻的最大值点和最小值点，
函数的最小正周期满足，解得，
所以，解得，所以，
于是，解得，
因此函数的单调递减区间.
【小问2详解】
由（1）知，
令，则，
于是
，
所以当且仅当，即时，函数的最大值为．
21. 茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：
①（为常数，且）；
②（为常数，）．
（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；
（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：）
【答案】21.
22. 2.5分钟
【解析】
【分析】（1）分别代入得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；
（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.
【小问1详解】
若选用①，根据条件可得，解得，
所以．
此时，随着的增大而减小，符合生活实际；
若选用②，根据条件可得，解得，
所以．
又，当时，随着的增大而增大，不符合生活实际，应舍去．
所以该函数模型为．
【小问2详解】
由（1），令，
于，两边取常用对数得，又，
故，
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．
22. 已知函数且过点．
（1）判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；
（2）若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）是定值，定值为
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点可计算出函数解析式，结合指数运算可计算出；
（2）由题意可转化为有两不等实数根，结合绝对值进行分类讨论可得，结合题意计算即可得的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，所以，解得，
故，
则
，
所以是定值，定值为．
【小问2详解】
由，即，
即有，即，
令，
因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，
方程有两不等实数根，所以且，
于是：，，
所以，，
由得，
又，解得，