2024-2025学年上海市松江区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市松江区九年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在△中，，，，下列结论正确的是
A．B．C．D．
2．（4分）已知、是抛物线上两点，那么与的大小关系是
A．B．C．D．无法确定
3．（4分）如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
4．（4分）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是
A．B．
C．D．
5．（4分）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是
A．4B．5C．6D．7
6．（4分）下列命题中，错误的是
A．一组对边平行的四边形是梯形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是菱形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）求值： ．
8．（4分）人体内有一种细胞的直径为0.000105米，数据0.000105用科学记数法表示为 ．
9．（4分）化简： ．
10．（4分）若和互为相反数，则的值为 ．
11．（4分）如果反比例函数是常数，的图象经过点，那么当时，的值随的值增大而 ．（填“增大”或“减小”
12．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为 ．
13．（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过几天，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼 条．
14．（4分）如果乘坐出租车所付款金额（元与乘坐距离（千米）之间的函数图象由线段、线段和射线组成（如图所示），那么乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为 元．
15．（4分）如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么 （用含、的式子表示）
16．（4分）如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为 ．
17．（4分）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，，若是“匀称三角形”，那么 ．
18．（4分）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在△中，，，．
（1）求的长；
（2）在边上取一点，使，联结，求的正切值．
22．（10分）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如表所示（有两个数据被遮盖）．
（1）在数据被遮盖的情况下，我们可以计算出 （多选）．
（A）中位数；
（B）众数；
（C）第五日数据；
（D）方差．
（2）直接写出第（1）小题你选择的所有数据．
（3）当表格的信息中日期一、二、三、四中又有一个日期被遮盖，那么可以计算出的结果相较于原先最多少了 个．
23．（12分）已知：如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，、分别交于点、，且，联结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．
（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；
（3）若射线与射线相交于点，求的大小．
25．（14分）如图①，已知梯形中，，，，，，点是边上的动点，联结，作，设射线交线段于，交射线于．
（1）求的度数；
（2）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；
（3）设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）在△中，，，，下列结论正确的是
A．B．C．D．
解：已知，，，
则，
故选：．
2．（4分）已知、是抛物线上两点，那么与的大小关系是
A．B．C．D．无法确定
解：由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
，
故选：．
3．（4分）如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
解：根据数轴可知，，
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论正确，该选项符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意．
故选：．
4．（4分）如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是
A．B．
C．D．
解：，
函数经过第二、四象限，且过原点，故、错误；
，
函数经过第二、四象限，故错误；
故选：．
5．（4分）已知两圆相交，当每个圆的圆心都在另一个圆的圆外时，我们称此两圆的位置关系为“外相交”．已知两圆“外相交”，且半径分别为2和5，则圆心距的取值可以是
A．4B．5C．6D．7
解：、相交，
，即，
两圆“外相交”，
且，
两圆的圆心距的取值范围为．
两圆“外相交”时的圆心距的取值范围是．
故选．
6．（4分）下列命题中，错误的是
A．一组对边平行的四边形是梯形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．一组邻边相等的平行四边形是菱形
解：、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误；
、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）求值： ．
解：．
故答案为：．
8．（4分）人体内有一种细胞的直径为0.000105米，数据0.000105用科学记数法表示为 ．
解：．
故答案为：．
9．（4分）化简： ．
解：
．
故答案为：．
10．（4分）若和互为相反数，则的值为 ．
解：和互为相反数，
，，
解得：，，
．
故答案为：6．
11．（4分）如果反比例函数是常数，的图象经过点，那么当时，的值随的值增大而 增大 ．（填“增大”或“减小”
解：反比例函数的图象经过点，
，
，
当时，的值随的值增大而增大，
故答案为：增大．
12．（4分）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为 ．
解：设有辆车，则可列方程：
．
故答案为：．
13．（4分）为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过几天，再捕捞30条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，因此可估计鱼塘中约有鱼 240 条．
解：所抽取的样本中，带有标记的鱼所占比例为，
估计鱼塘中做标记的鱼所占比例约为，
据此可估计鱼塘中鱼的数量约为（条，
故答案为：240．
14．（4分）如果乘坐出租车所付款金额（元与乘坐距离（千米）之间的函数图象由线段、线段和射线组成（如图所示），那么乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为 26 元．
解：乘坐该出租车8（千米）需要支付的金额为：（元．
故答案为：26．
15．（4分）如图，已知、分别是的边、上的点，且，联结，如果，，当时，那么 （用含、的式子表示）
解：，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（4分）如图，在半径为2的中，弦与弦相交于点，如果，，那么的长为 ．
解：如图，过点作，，垂足为、，连接，
则，，
在中，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
17．（4分）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”．在中，，，若是“匀称三角形”，那么 ．
解：根据题意作图如下：
，
，
设，则，，
，
，
故答案为：．
18．（4分）如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ．
解：过作，交于，过作，交于，过作延长线，交延长线于，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
菱形绕点旋转至菱形，
，，，
是等腰三角形，，，，
，
，，
，，，
，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（10分）解方程组：．
解：由②得，，，
得到方程组，，
第一个方程组的解为：，
第二个方程组的解为：．
所以方程组的解：，．
21．（10分）如图，在△中，，，．
（1）求的长；
（2）在边上取一点，使，联结，求的正切值．
解：（1）如图，过点作于点．
，，
，
，
，，
，
；
（2）过点作于点．
，，
，
，
，
，
，
，，
△△，
，
，
，，
，
．
22．（10分）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如表所示（有两个数据被遮盖）．
（1）在数据被遮盖的情况下，我们可以计算出 （多选）．
（A）中位数；
（B）众数；
（C）第五日数据；
（D）方差．
（2）直接写出第（1）小题你选择的所有数据．
（3）当表格的信息中日期一、二、三、四中又有一个日期被遮盖，那么可以计算出的结果相较于原先最多少了 个．
解：（1）某市连续五日最高气温及中位数、平均数如表所示（有两个数据被遮盖）．
根据平均数可得五日气温总和为，
前四天气温和为，
第五日气温为，
选项可计算，
排序气温为，0，1，2，4，
中位数为中间数1，
选项可计算，
所有数仅出现一次，无法确定，
选项不可计算，
方差需要平均数和所有数据已知，
选项可计算．
综上所述，是正确的，
故选：；
（2）由（1）可得，第五日数据为4，中位数为1，
方差为
；
（3）假设星期一被遮住了，
则五日气温总和为，
星期二、星期三、星期四的气温和为，
星期一、星期五的气温和为，
但无法知到星期一、星期五的具体温度，
选项和选项不可计算，
数据无法排序，
选项无法计算，
故答案为：3．
23．（12分）已知：如图，在四边形中，点、分别是边、的中点，、分别交于点、，且，联结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）点、分别是边、的中点，，
是的中位线，是的中位线，
，，
四边形是平行四边形；
（2）如图，连接交于，连接，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，
，
点、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
即，
平行四边形是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），与轴交于点，且．
（1）求这个函数的解析式，并直接写出顶点的坐标；
（2）点是二次函数图象上一个动点，作直线轴交抛物线于点（点在点的左侧），点关于直线的对称点为，如果四边形是正方形，求点的坐标；
（3）若射线与射线相交于点，求的大小．
解：（1）二次函数的图象与轴交于和点（点在点的左侧），
设点，的横坐标分别为，，则，是的两个根，
，．
，
，即，
，
解得，
，
点的坐标为．
（2）由题意可知，且和相互平分，则四边形是菱形，若四边形是正方形，则只需要满足，
设点的横坐标为，
，，
，
，
，，
，解得（舍或，
．
（3）如图，连接，
由（1）知，
令，则，
；
令，则或，
，，
，
．
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
令，解得；
，，
，，，
，
，
，
．
25．（14分）如图①，已知梯形中，，，，，，点是边上的动点，联结，作，设射线交线段于，交射线于．
（1）求的度数；
（2）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；
（3）设，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
解：（1）如图①，过点作于点，则，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
；
（2）设，则，
在图①△中，，
如图②，，
，
△△，
，
，
，，
在中，，
，
整理得：，
，
，，（舍去），
或5；
（3）如图③，在上取点，连接，使，则，
，
，
，
，
△△，
，即，
，
根据题意，，，
当时，
解得：或，
，
当时，，
故关于的函数解析式为，定义域为．
日期
一
二
三
四
五
中位数
平均数
最高气温
2
1
0
■
■
1
日期
一
二
三
四
五
中位数
平均数
最高气温
2
1
0
■
■
1